《向量的数乘运算及其几何意义》教学设计

2.2.3 《向量的数乘运算及几何意义》教学设计

温江二中 何汝兵

一、教材分析：

向量具有丰富的实际背景和几何背景，向量既有大小，又有方向.但是引进向量，而不研究它的运算，则向量只是起到一个路标的作用；向量只有引进运算后才显得威力无穷.本章从第二节开始学习向量的加法、减法运算及其几何意义；本节接着学习向量的数乘运算及其几何意义.

向量数乘运算以及加法、减法统称为向量的三大线性运算，向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化.教学时从加法入手，引入数乘运算，充分体现了数学知识之间的内在联系.实数与向量的乘积仍然是一个向量，既有大小，又有方向.特别是方向与已知向量是共线

向量，进而引出共线向量定理.这样平面内任意一条直线l 就可以用点A 和某个向量a

表示了.共线向量定理是本章节的重要的内容，应用相当广泛，且容易出错，尤其是定理的前提

条件：向量a

是非零向量.共线向量的应用主要用于证明点共线或线平行等，且与后学的知识有着密切的联系.

二、学情分析：

学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。

三、教学目标：

1、知识与技能

通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。 2、过程与方法

通过师生互动理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判断两向量是否平行，进而判定点共线或直线平行。 3、情感态度与价值观

通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。

四、教学重难点

教学重点：

1．理解并掌握向量数乘的定义及几何意义； 2．熟练地掌握和运用实数与向量积的运算律； 3．掌握向量共线定理，会判定或证明两向量共线。 教学难点：对向量共线的等价条件的理解以及运用。

五、教具选取

三角板、投影仪、多媒体辅助教学。

六、教学基本流程

七、教学过程

教学环节教学内容教师活动学生活

动

设计意图

复习回顾向量的加法、向量的减法教师提问学生回

答

复习回顾，引发新

知

引入新课已知非零向量a，作出a+a+a和

（a

-）+（a

-）+（a

-）

想一想：它们的大

小和方向有什么

变化？

学生作

图，观

察并思

考

认识和理解向量

数乘的几何意义

必须从几何直观

入手，即通过让学

生自己作图，以及

独立观察、思考，

让学生对向量的

伸缩有一个初步

的感性认识，进而

为下一步对向量

的数乘的定义及

其几何意义的理

性认识作好铺垫。

新课讲解实数与向量的积的定义：

一般地，实数λ与向量a的积

是一个向量，记作a

λ，它的长度

与方向规定如下：

（1）||||||

a a

λλ

=；

（2）当0

λ>时，a

λ的方向与a

的方向相同；

当0

λ<时，a

λ的方向与

a的方向相反；

当0

λ=时，0

a

λ=．

问题1：请大家根

据上述问题并作

一下类比，看看怎

样定义实数与向

量的积？

小组合

作交

流，学

生单独

作答

通过引出向量的

数乘的定义，让学

生体会从特殊到

一般的思想方法

问题2：你能说明

它的几何意义

吗？

小组合

作交

流，学

生单独

作答

从从直观入手，从

具体开始，逐步抽

象。通过师生互

动，得到向量数乘

的几何意义是把

向量a沿a的方

向或反方向伸长

或缩短λ倍。

实数与向量的积的运算律：

)()a a λμ=（结合律）； )a a a μλμ=+（第一分配律）；

a b λλ+（a+b ）=（第二分配律）．

3)4a -⨯；

)2()a b a b a +---；

3)(32)a b c a b c +---+．

练一练教材

是否共线

与试判断，已知，、如图例AE AC BC DE AB AD .332==

引导学生思考

学生思

考作答

共线向量定理的应用一：判断两向量是否共线

的位置关系。

三点、、试判断，已知，变式一：如图E C A .33BC DE AB AD ==

引导学生思考

学生思

考作答

共线向量定理的应用二：判断三点共线

DE

BC C E AB AD //.A 3A 3求证：，已知

，变式二：如图== 引导学生思考

学生思考作答

共线向量定理的应用三：判断直线平行

例 3.如图，已知任意两个向量,

,b a 试

作

出

.

3,2,b a OC b a OB b a OA

+=+=+=你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？

引导学生思考

学生思考作答

这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行.

例4.如图，

ABCD 的两条对角线相交于点M ，且

b AD a AB

==,，你能用b a ,表

示ND MC MB MA ,,,吗？

引导学生思考

学生思考作答

综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.

使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.

课堂小结

一、①

a

λ的定义及运算律；

② 向量共线定理

)0( ≠a ，⇔=a b λ 向量a 与b

共线.

二、 定理的应用：

（1） 证明向量共线；

引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.

1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.

2.运用数学方法，创新素质的小结能让学