数列教学案例

课题：§2.1数列 教材：苏教版 必修5 第二章

一、教学目标：

知识与技能：了解数列有关概念及其表示方法；理解数列的通项公式的有关概念；会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列会根据其前几项写出它的通项公式。

过程与方法：给出问题情境，引导学生经历观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程进行反思、交流，培养学生的观察分析能力和探索归纳能力。

情感、态度、价值观：通过本节的学习，使学生体会数学来源于生活，感受数学发现的愉快，体会从实际问题中抽象出数列模型的能力，从而享受解决问题成功的快乐。培养辩证唯物主义的价值观。

二、教学重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊的函数，体

会数列是反映自然规律的数学模型，探索并掌握数列的几种简单表示法。 教学难点：用函数的观点理解数列的概念。

三、教学方法与教学手段：采用探究式教学方法

四、教学过程：

(一）．创设情境，课题导入：

1．情境：

细胞分裂的个数: 2，4，8，16，．．． （1）

＂一尺之棰＂每日剩下的部分: 1，12，14，18，116

，．．． （2） 我国参加8次奥运会获金牌数: 15，5，16，16，28，32,

51, 38． （3） 2．问题：

（1）观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义）

（2）这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？

(二)．学生活动

上述例子的共同特点是：（1）有一定顺序；（2）均是一列数.

(三)．建构数学

1．数列：按照一定次序排列的一列数称为数列．

数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，．．．，n a ，．．．，简记为{}n a ．

2．项：数列中的每个数都叫做这个数列的项．

1a 称为数列{}n a 的第1项（或称为首项），2a 称为第2项，．．．，n a 称为第n 项．

思考：（1）{}n a 与n a （2）n a 的含义（双重含义）

说明：数列的概念和记号{}n a 与集合概念和记号的区别：

（1）数列中的项是数，而集合中的元素不一定是数；

(2)数列中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；

(3)数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．

3．数列的分类：

按项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列

无穷数列：项数无限的数列

4．数列与函数

在数列{}n a 中，对于每一个正整数n （或{}1,2,...,n k ∈），都有一个

数n a 与之对应，因此数列可以看成以正整数集*N （或它的有限子集{}1,2,...,k ）为定义域的函数()n a f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数()y f x =，如果()f i （1,2,3,...i =）有意义，那么我们可以得到一个数列(1)f ，(2)f ，

(3)f ，

．．．，()f n ，．．．．（强调有序性） 说明：数列的图象是一些离散的点

5．通项公式

下面研究这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？ 这一关系可否用一个公式来表示？（引导学生进一步理解数列的定义，从而发现数列的通项公式）举一个细胞分裂例子来引导：

序号 1 2 3 4 5… n

…

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

项 2 22 32 42 52… n a … 由此可见，这个数列的项与这一项的序号可用一个公式：2n n a = 来表示其对应关系。也就是说，数列的项与序号之间存在着内在的、必然的规律。（给出通项公式的概念）

如果数列｛n a ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。

写出下列数列的一个通项公式：

（1） 1,2,4,8,L L

（2） 1111,,,,234

L L （3） 4,5,6,7,8,9,10

（4） 1,1,1,1,L L

（5） 1,1,1,1,--L L

（6） 15,5,16,16,28,32,51,38

分析引导学生如何发现序号n 与项n a 之间的关系，注意范围问题。 总结:并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一; 通项公式的作用：（1）求数列中任意一项；

（2）检验某数是不是该数列中的项

(四)．学以运用

例1．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （１）1

n n a n =+； （２）(1)2n n n a -=． 分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，

即可得到数列的前5项

解：（1）12345123451,2,3,4,5.,,,,23456n a a a a a ====== (2) 12345111111,2,3,4,5.,,,,2481632

n a a a a a ==-==-==- 说明：数列的图象是一些离散的点

数列的图象与函数的图象的关系

例2．写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：

（1）112

⨯，123-⨯，134⨯，145-⨯，（2） 0，2，0，2；

（1）分析：引导学生从结构特点上观察分两部分：一部分是符号怎么处理，

一部分分母有什么规律

解：这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：()111(1)

n n a n n +=-+ （2）分析:根据数列特点把这些数据可分解成1-1 1+1 1-1 1+1 然后

观察。

解：这个数列的奇数项是0，偶数项是2，所以它的一个通项公式是()11n

n a =+-

思考：还可以用其它公式表示吗？

(五).课堂练习

1．根据数列的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图像：

（1） 2n a n n =+ （2）152n n a -=-

2根据下面数列的前4项的值，写出数列的一个通项公式：

（1）1,2,3,4--；

（2）1,4,9,16；

（3）11111111,,,2233445

---- (六).课时小结

本节课学习了以下内容：数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，根据数列的前几项用观察法求一些简单数列的通项公式。

(七).课后作业

课本[练习]32页 第1题，第3题

教学设计：数列是高中数学的重要内容之一，它有着广泛的应用，是学生今后进一步学习的基础知识，也是培养学生数学能力的良好题材。本节先通过实例归纳出数列的概念，然后介绍数列的通项公式，最后通过例题分析介绍数学思考的方法。高一学生已具有一定的分析能力和归纳概括能力，已经