对数函数换底公式.ppt
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b log 5 100 log 5 52 4
2 log 5 4 2 2 log 5 2
2(
1 a
2 b
)
2
1 loபைடு நூலகம் 2
10
1
1 log
5
2
2
log
10
2
log
5
5
1
log
5
2
2log
10
2
log
10
5
2
例3 :已知log 9 5 m, log 3 7 n,试用m, n
表示log 35 9.
积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN ) loga M loga N
log a
M N
loga
M
loga
N
log a M n n log a M(n R)
log a (M1M2 Mn ) log a M1 log a M2 log a Mn
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
n lg N m lg a
n lg N m lg a
n m
loga N
即证得
log am
Nn
n m
log a
N
证明:由换底公式
log a b • logb a
lg b • lg a 1 lg a lg b
解: m
log 9
5
log
32
5
1 2
log
3
5,
n
log
3
7
log 3 5 2m, n log 3 7
log
35
9
2
log
35
3
2 log 3
35
2
2
log 3 5 log 3 7 2m n
例4 : 方程lg 2 x (lg 5 lg 7) lg x lg 5lg 7 0
的两根分别为x1, x2,求x1 • x2. 解: lg 2 x (lg 5 lg 7) lg x lg 5lg 7 0
log a an n(n R)
log a n M p log a M
P n
1
log a
P n
M
log
aM
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
lg
x1 lg
lg x1 •
x2 lg
x2
(lg lg
5 5
lg lg 7
7)
lg
x1
•
x2
lg
35
lg
351
lg
1 35
x1
•
x2
1 35
即
log a
b
1 log b
a
推论: log a b • log b c • log c a 1
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
log c N log c a p
转换为以10或e为底 的对数，经过查表就
logc N p logc a
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解:
3
31log3 2
1 lg9
100 2
3 3log3 2
102
1 lg9 2
3 2 10lg9 3 2 9 15
例2 : 设4a 5b 100,求2( 1 2)的值. ab
解: 4a 5b 100
a log 4 100 log 22 102 log 2 10
2 log 5 4 2 2 log 5 2
2(
1 a
2 b
)
2
1 loபைடு நூலகம் 2
10
1
1 log
5
2
2
log
10
2
log
5
5
1
log
5
2
2log
10
2
log
10
5
2
例3 :已知log 9 5 m, log 3 7 n,试用m, n
表示log 35 9.
积、商、幂的对数运算法则：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有：
loga (MN ) loga M loga N
log a
M N
loga
M
loga
N
log a M n n log a M(n R)
log a (M1M2 Mn ) log a M1 log a M2 log a Mn
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
n lg N m lg a
n lg N m lg a
n m
loga N
即证得
log am
Nn
n m
log a
N
证明:由换底公式
log a b • logb a
lg b • lg a 1 lg a lg b
解: m
log 9
5
log
32
5
1 2
log
3
5,
n
log
3
7
log 3 5 2m, n log 3 7
log
35
9
2
log
35
3
2 log 3
35
2
2
log 3 5 log 3 7 2m n
例4 : 方程lg 2 x (lg 5 lg 7) lg x lg 5lg 7 0
的两根分别为x1, x2,求x1 • x2. 解: lg 2 x (lg 5 lg 7) lg x lg 5lg 7 0
log a an n(n R)
log a n M p log a M
P n
1
log a
P n
M
log
aM
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
lg
x1 lg
lg x1 •
x2 lg
x2
(lg lg
5 5
lg lg 7
7)
lg
x1
•
x2
lg
35
lg
351
lg
1 35
x1
•
x2
1 35
即
log a
b
1 log b
a
推论: log a b • log b c • log c a 1
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
log c N log c a p
转换为以10或e为底 的对数，经过查表就
logc N p logc a
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
3
31log3 2
1 lg9
100 2
解:
3
31log3 2
1 lg9
100 2
3 3log3 2
102
1 lg9 2
3 2 10lg9 3 2 9 15
例2 : 设4a 5b 100,求2( 1 2)的值. ab
解: 4a 5b 100
a log 4 100 log 22 102 log 2 10