拉伸与压缩例题

C 0.75m A D
B
1m
1.5m
F
材料力学
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
解：(1)由CD杆的许可内力[ FN ]
FN
许可载荷[F]
由强度条件：
FAx
A
D 1.5m
B
[ FN ] [ ] A
FAy
1m
4 F 50.24 kN


0.022 160 106
由平衡条件：
FA FB T EA
100 MPa(压)
这就是温度应力
材料力学
2 6
a 4.5 10 45 kN
两杆分别达到许可内力时所对应的载荷
1杆
Fmax
材料力学
4 4 FN 1,max 30 .15 40 .2 kN 3 3
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算 2杆：
Fmax
确定结构的许可载荷为
4 4 FN 2,max 45 36 kN 5 5
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算
2、F=2 吨时，校核强度 3 3 2 10 9 . 8 FN 1 4 1杆： 1 2 A1 d 4 76.8 MP a [ ]1 150 MPa
2杆：
5 3 2 10 9 . 8 FN 2 2 4 A2 a2
2.5 MP a [ ]2 4.5 MPa
因此结构安全。
材料力学
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算
3、F 未知，求许可载荷[F] 各杆的许可内力为
FN1,max A1 [ ]1 FN 2,max A2 [ ]2

4
d 2 150 106 30.15 kN
x l时，FN ,max Al
（2）应力
m
x
m
x

o
FN ( x) ( x) A
FN ( x) FN max FN
x
max xl l
由强度条件：
max [ ]
材料力学
l
[ ]

拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
FN ( x) dFN
dx m x dx
FN ( x)
（3）变形
取微段

m
FN ( x)dx d (l ) EA
截面m-m处的位移为：
x
l
FN ( x)dx EA
Axdx (l 2 x 2 ) x
l
EA
2E
杆的总伸长，即相当于自由端处的位移：
l
材料力学
x 0
(lA)l 1 Wl 2E 2 EA 2 EA
B
lCD
lCD
[ FN ]lCD EA
10 m
3
D1 1.5m
B
ADD ~ ABB
F
DD1 DD sin
1.67 103 m
DD AD BB AB
材料力学
AD 4.17103 m BB DD /( ) AB
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
N
10 kN
x
或
N图 10 kN 5 kN 20 kN
N BC 5 kN
CD段：
⊕
5 kN
Ө
N CD 20 kN
材料力学
20 kN
例3
已知：[σ]=160MPa， A1=300mm2 ， A2=140mm2 试校核强度。
45 kN
A
A1
B
65 kN
A2
C 50 kN A1
D
30 kN
解： （1）作轴力图
材料力学

例
已知：P， A ，E 。
y A
2a
C
求：AB两端的支座反力。 （1）列平衡方程 解：
A
FA
Y 0
FA FB P 0
(a)
只有一个平衡方程，一次静不定 （2）列变形协调条件
P B
a
C C
l
P
FB
B
l AC l BC l
l AC FA 2a EA
=20cm2
A
A
FA
Y 0
（1）列平衡方程 解：
l
FB FA 0
(a) (b)
FA FB 得： （2）列变形协调条件 lF
FA l l F EA
B

l F
B
FB
（3）列物理条件（胡克定律）
(c )
横截面应力为：
FA E A l
（4）建立补充方程，解出约束反力
2m F 外力 内力 应力
2
C
材料力学
利用强度条 件校核强度
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算
1、计算各杆轴力
1.5m A 1 F 2 B
1
FN 1
FN 2
2
2m
F FN 2 cos FN 1 FN 2 sin
解得
C
FN 1

B
FN 2
材料力学
F
3 FN 1 F（拉） , 4 5 FN 2 F（压） 4
l 2
拉伸与压缩/简单拉压静不定问题 例题 试判断下图结构是静定的还是超静定的？若是超静定，则 为几次超静定？
B
D
E
B
D

A

C
A

C
FP
(a)静定。未知内力数：3 平衡方程数：3
材料力学
FP
(b)静不定。未知力数：5 平衡方程数：3 静不定次数=2
拉伸与压缩/简单拉压静不定问题
(c)静不定。未知内力数：3 平衡方程数：2 静不定次数=1 FP
材料力学
故钢杆强度符合要求。
例 3 已知：q=40kN/m， [σ]=160MPa
C
试选择等边角钢型号。
（1）计算拉杆的轴力 解：
M
A
0
N B sin 45 2 2q 1 0
N B 56.6 k N
A
45
B
得：
q
2m
XA YA NB B
（2）选择等边角钢型号
N B 56.6 103 2 A 353 . 75 mm [ ] 160 106
FA l EA 材料力学
EA FA FB l
67 MPa(压)
这就是装配应力
例
Y 0
已知：l=1.5m， A E =200GPa, ΔT=40oC 12.5 10 6 / C 求：杆横截面上的应力。 （1）列平衡方程 解： 得： （2）列变形协调条件
=20cm2
M
A
0
[ F ] AB [ FN ] ADsin
[ FN ] ADsin 50.24 1 0.75 / 0.752 1 12.06 kN [F ] 2 .5 AB
材料力学
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形 C 0.75m A 1m D D
(2)、B点位移
查附录Ⅲ
A q
选择40 5角钢， 其横截面面积为379.1mm 2
材料力学
拉伸与压缩/拉（压）时的强度计算 例题4 应力 图示结构，钢杆1：圆形截面，直径d=16 mm,许用
[ ]1 150MPa ；杆2：方形截面，边长 a=100 mm, [ ]2 4.5MPa ,(1)当作用在B点的载荷 F=2 吨时，校核强 度；(2)求在B点处所 1.5m 能 承受的许用载荷。 B A 1 解： 一般步骤：
轴力图： 杆的轴力随截面位置变化的函数图形称为轴力图（拉伸）
1 2
40 kN 30 kN 3 20 kN 3D 20 kN
例1
求轴力并画轴力图。
A
1-1截面
X 0
得：
1 B
40 kN
2C
30 kN
N1 40 30 20 0 N 1 N1 50 kN(拉） N 2 30 20 0 N 2 10 kN(拉）
N3 20 0 N3 20 kN(压）
N 50 kN
2-2截面
X 0
得：
3-3截面
N2
30 kN
20 kN
N3
20 kN
X 0
得：
材料力学
10 kN
x
20 kN
例2
作图示杆的轴力图。
10kN
A
15kN
B C
15kN
D
20kN
解： AB段： N AB 10 kN BC段：
（2）校核强度
N
45 kN
30 kN
N AB 45 103 AB 150 MPa 6 A1 300 10 N BC 20 103 BC 143 MPa 6 A2 140 10
所以 max AB 150 MPa
x
20 kN
由 max 150 MPa [ ] 160 MPa
[ F ] 36 kN
分析讨论：
[ F ] 和 [ FN ] 是两个不同的概念。因为结构中各杆
并不同时达到危险状态，所以其许可载荷是由最先
达到许可内力的那根杆的强度决定。
材料力学
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
例题5
已知AB大梁为刚体，拉杆直径d=2cm,E=200GPa,
[]=160MPa.求：(1)许可载荷[F],（2）B点位移。
A
A
FA
T
l
T
FB FA 0 FA FB
(a) (b)
B
B
FB
l F
lT
lF lT
FA l l F EA
（3）列物理条件（胡克定律）
横截面应力为：
(c )
lT l T
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA T E A
FA l l T EA
例题6 图示为一 悬挂的等截面混凝土直杆，求在
自重作用下杆的内力、应力与变形。已知杆长 l、A、
比重（ N / m3 ）、E。
解： （1）内力
由平衡条件：
FN ( x)
m x
F
x
0
m
dx m
m l
FN ( x) Ax 0
x
FN ( x) Ax
材料力学
x
l
拉伸与压缩/轴向拉（压）时的变形
(b)
（3）列物理条件（胡克定律）
lBC
FB a EA
(d )
(c )
（4）建立补充方程，解出约束反力
FA 2a FB a EA EA
材料力学
P 2P 由(a)和（d）联立可得： FA ，F B 3 3
2 FA FB
例
已知：l=1.5m， A E =200GPa, δ=0.5mm 求：杆横截面上的应力。