数字电路第4章逻辑函数及化简

不是最小
项
(2). n个变量的函数最多有2n个最小
例：Y＝f(A,B,C)为三变量，最多有23＝8项
( 3).最小项的编号 把最小项中的原变量取1，反变量取0，所得 的二进制的数值为最小项的编号。
三变量逻辑函数的最小项
最小项
使最小项为1的变量取值 A B C 对应的十进制 编号 数
ABC ABC A BC A BC AB C AB C ABC ABC
1
1 1 1 1 1 1
0 0
0 0 0 0 0 1 0 1
0 1
1 0 1 1 0 0 0 1
0
1 1 0 1
四输入变 量，16种 组合
0 1
0 1
1 0
1 1
0
1
1 1 1 1
1
2、逻辑表达式
逻辑表达式是用来表达描述输入、输出关系
例 ：Y1 ABC ABC ABC BC( A A) AC( B B) BC AC
运用摩根定律
2、吸收法
（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
Y1 A B A BCD( E F ) A B
运用摩根定律
Y2 A B CD ADB A BCD AD B ( A AD) ( B BCD) A B
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，
为某项配上其所能合并的项。
Y ABC ABC AB C A BC ( ABC ABC ) ( ABC AB C ) ( ABC A BC ) AB (C C ) AC ( B B ) BC ( A A) AB AC BC
2.6 逻辑代数的公式及运算规则
变量（逻辑变量）
原变量 反变量 逻辑函数 逻辑表达式 A
P35
A
Y=F(A,B,C,D,…..)
Y= A•B = AB
一.逻辑代数中的基本公式
P35 AB=BA
与普通 代数相 似的定 律
交换律: A+B = B+A
结合律: A+B+C=(A+B)+C=A+(B+C) ABC=(AB)C=A(BC) 分配律: A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)
Y A B C D E Y A B C D E Y A (B C D E )
运用反演规则时，要注意运算的优先顺序（先 括号、再相与，最后或） ，必要时可加或减扩号。
（3）对偶规则 对任何一个逻辑表达式Y 作对偶变换，可Y的对偶 式Yˊ。 对偶变换：
1
Y
0 1 1 0
二输入变 量，四种 组合
0
0 1 1
0
1 0 1
1
1 1 0
1 0 1 1
1 1 1 1
逻辑函数的表示方法
真值表（四输入变量）
A B C D Y 0 0 0 0 1 A B C D Y
1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
0
0
0
0
7
逻辑代数八个基本定律
二、 逻辑代数的常用公式
A：公因子
B：互补
A是AB的因子
A的反函数 是因子 添加项
与互补变量A相与的 B、C是第三项
常用公式
需记忆
3. 运算规则 （1）代入规则 在任何一个逻辑等式（如 F＝W ）中，如果将等 式两端的某个变量（如 B ）都以一个逻辑函数（如 Y=BC）代入，则等式仍然成立。这个规则就叫代入规 则。
3、逻辑图
逻辑图：是由 表示逻辑运算的逻 辑符号所构成的图 形。 Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
4、波形图
波形图：是由输入变 量的所有可能取值组合的 高、低电平及其对应的输 出函数值的高、低电平所 构成的图形。 Ａ Ｂ Ｃ
A B
B C
& ＡＢ
≥1 & ＢＣ
Ｙ
Ｙ
Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣ
5.卡诺图
例：Y1 ABC ABC ABC
３、配项法 （１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项 配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
Y AB BC B C A B AB BC ( A A ) B C A B(C C ) AB BC AB C A B C A BC A BC AB (1 C ) BC (1 A ) A C ( B B) AB BC A C
(A+B)(A+C) 0 0 0 1 1 1 1 1
A 1 A;
0，1律:
A 0 0
A 0 A
A 1 1;
互补律:
A A 0 A A 1
有关变量 和常量关 系的定律
特逻 殊辑 规代 律数 的
重叠律: A A A
; A A A
否定律: A （还原律）
0
0
0
0
m0
0
0 0 1 1
0
1 1 0 0
1
0 1 0 1
1
2 3 4 5
m1
m2 m3 m4 m5
1
1
1
1
0
1
6
7
m6
m7
（4）最小项的性质： 3 变量全部最小项的真值表 ABC ABC A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
= AB+AB CD
;利用摩根定理
;将AB当成一个变量,
=AB+CD
利用公式A+AB=A+B
4.4
逻辑函数卡诺图化简 P83
一、 最小项和卡诺图 （1)定义：是一个与项（乘积项），它包含全部 变量，并以原变量或反变量必须出现一次，而且 仅出现一次。
例：
Y f ( A, B, C ) AB C A BC AB
４、去消法
利用公式:ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ， 将多余项ＢＣ消掉。
Y1 AB AC ADE C D AB ( AC C D ADE ) AB AC C D
Y2 AB B C AC ( DE FG ) AB B C
例1 将Y ABC ABC ABC ABC ABC 化简为最简与或式。
逻辑函数的表示方法
m7 0 0 0 0 0 0 0 1
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 ②任意两个不同的最小项乘积必为0,即mi· j=0(i≠j)。 m ③全部最小项的和必为1。即∑mi=1（i=0～2n-1）
（5）最小项表达式 例 将Y=AB+BC展开成最小项表达式。
Y AB BC AB (C C ) ( A A) BC
逻辑代数及运算规则
分配律: A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)(A+C) 求证: 分配律第2条 证明: A B C BC A+BC A+B A+C
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1
A
;
A A
反演律: A B A B ; A B A B (靡根定理)
摩根定理 A•B =A+B
证明: 用真值表证明
A B 0
0 1 1
A+B = A•B
A B 0 0 0 1 A+B A • B 1 0 1 0
A•B A+B 1
1 1 0
0
1 0 1
1
1 1 0
1
1
0
1
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项， 并消去一个变量。
Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC BC BC B(C C ) B
运用分配律
运用分配律
Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) ABC A BC A( BC BC ) A
利用代入规则可以扩大公式的应用范围。
（2）反演规则 对任何一个逻辑表达式Y 作反演变换，可得Y 的 反函数 Y 。这个规则叫做反演规则。 反演变换： “﹒”→“﹢” “﹢”→“﹒” “0” → “1” “1” →“0”， 原变量→反变量 反变量→原变量
Y A B CD 0 Y A B (C D) 1
互为对偶式
4. 1 逻辑函数及表示方法
1、真值表 真值表：是由变量的所有 可能取值组合及其对应的 函数值所构成的表格
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B C 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1
Y 0 0 0 1 0 1 1 1
例：举重比赛 A、B、C三个裁判， 判杠铃完全举起为成功，按一下 A B C 按扭，只有当二个或二个以上裁 0 0 0 判判明成功才表明成功，表决电 0 0 1 路灯亮。 0 1 0
A 0
1
m0 m2 1 1
m1 m3
A AB AB A AB AB B A 0 1
1 0 0
2
3
三 变 量 K 图
BC A 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6
BC A 00 0 0
1 4
01 1 5
11 3 7
10 2 6
CD AB 00 01 11 10 四 00 0 1 3 2 变 5 7 6 01 4 量 K 11 12 13 15 14 图 10 8 9 11 10
Y ABC ABC ABC ABC ABC
=AB(C+C)+ABC+AB(C+C)
=AB+ABC+AB
=(A+A)B+ABC
利用C+C=1
=B+BAC
=B+AC
利用A+AB=A+B
例2 将Y化简为最简与或式。
Y =AB+(A+B)CD
解：Y =AB+(A+B)CD ；A=A
= AB+(A+B)CD
A BC 0 00 01 11 10
1
1
1
1
4.3逻辑函数公式化简法 一、逻辑函数化间的意义 用最少门和输入端来实现函数的功能
P81
二 、化简标准
经济、可靠wenku.baidu.com品种单一
三、化简的方法
1、代数法化简
利用公式、定律、对逻辑函数化简
2、卡诺图化简
四. 逻辑函数的代数化简 逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数 的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。 1、并项法
解：
AB C ABC ABC
或：
Y ( A, B, C ) m3 m6 m7 m (3,6,7)
(2).卡诺图的构成 将n变量的全部最小项各用一个小方块表 示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位 置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做 B n变量的卡诺图。 0
二 变 量 K 图 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 mi m0 m1 m2 m3 B B
“﹒”→“﹢”
“﹢”→“﹒”
Y AB A(C 0) Y ( A B )( A C 1)
“0” → “1”
“1” →“0”
运用对偶规则时，同样应注意运算的优先顺序， 必要时可加或减扩号。
对偶定理： 若等式Y=W成立，则等式Y ˊ=Wˊ也成立。 利用对偶定理，可以使要证明和记忆的公式数目 减少一半。
消去多余的变量。
Y AB A C B C AB ( A B )C
1
AB ABC AB C
Y AB C A C D BC D
2
AB C C ( A B ) D AB C ( A B ) D AB C AB D AB C D
设认为杠铃举起为“1”， 不举起为“0”，
0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
表决电路灯亮为“1” ， 不灯亮为“0” 。
Y 0 0 0 1 0 1 1 1
真值表 A B C Y A 1 0 A B Y 0
一输入变 量，二种 组合
0 0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 三输入变 量，八种 组合
几何相邻： 几何上邻接的小方格 所代表的最小项只有一 个变量是互为反变量
3变量的卡诺图 有23个小方块； 四变量卡诺图 相邻 相邻
不 相邻 相邻 相邻
几何相邻”：上下 相邻，左右相邻， 对角线上不相邻。
二、卡诺图化简
1. 用卡诺图表示逻辑函数 （1）从真值表画卡诺图 例： 已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。