数学--数学奥赛辅导 第七讲 抽屉原则、容斥原理

数学奥赛辅导 第七讲

抽屉原则、容斥原理

知识、方法、技能

I ．抽屉原则 10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则. 将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式： 原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ） （1）当n |m 时，至少有一类中含有至少

n m

个元素； （2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[n

m

]+1个元素.

其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[

n m ]表示不超过n

m

的最大整数.

原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至

少有k m 个元素.

原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素.

以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略. 一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果. 对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题： （1）什么是“苹果”？ （2）什么是“抽屉”？ （3）苹果、抽屉各多少？ 用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律. 用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉”. Ⅱ. 容斥原则

当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即

},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖.一个特殊情况是，

集族ϕ中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族ϕ为集合X 的一个（完全）划分.如ϕ为集合X 的划分，则对集合X 的计数可通过熟知的加法公式

||||||||||321n A A A A X ++++= ①

进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算|X|，当集族ϕ中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X 的不完全划分. 对于集合X 的不完全划分，显然有有

||||||||21n A A A X +++< ②

因为在计算|A i |时出现了对某些元素的重复计数，为了计算|X|，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理. 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的. 容斥原理有两个公式. 1．容斥公式

定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i =

∑∑

=≤<≤=-=-++-

=

n

i n

j i i n

i n j i i

i n

i A A A A

A 1

11

1

1||)

1(|||||| ③

证明：当,/,/,,12211

21B A A B A A B A A n ='='== 设时由加法公式有

|

||||||||)||(||)||(|||||||||||,||||||,|||||2121212

12

12122

11A A A A B B A B A B A A B A A A A A B A A B A -+=+-+-=++'+'=''==+'=+'

结论成立.

若n =k 时结论成立，则由

∑∑

∑=≤<≤=+=-+=+=+=+=+=-+-++-

=-+=-+=k

i k

j i k

i i k i k

i k j i i i i k

i k i k

i k i k

i k i k i i k i A A A A A A A A A A A A A A A 1

11

11

1

11

1111

1111

||||)

1(|||||

)(||||||

)(|||||||

∑

≤<≤+=+++-+-+

k

i i k i k

i k

k j k i k A A A A A A A 111

111|)(|)1(|)()(||

∑∑

+=+≤<≤+=-++-

=1

1

1

11

1

||)1(||||k i k j i i k i k

j i i

A A A A

知，

1+=k n 时结论成立.

由归纳原理知，对任意自然数n ，公式③成立. 公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.

如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 21=就是至少具有n

个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合. 因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目. 2．筛法公式 与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即||21n A A A . 为此，我们先引入下面的引理.

引理1 设A 关于全集I 的补集为A ，则

.||||||I A A =+

引理2 ,1

1

i n

i i n

i A A === ,1

1

i n

i i n

i A A ===

引理简单证略. 利用二引理改写公式③便是

定理2 设),,2,1(n i A i =为有限集I 的子集，则||||||||1

1

1

i n

i i n i i n i A I A A ===-==

∑∑

=≤<≤=-+++

-=n

i n

j i i n

i n

j i i

A A A A

I 1

11

||)1(|||||| ④

赛题精讲

例1设ABC 为一等边三角形，E 是三边上点的全体. 对于每一个把E 分成两个不相交子集

的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？（第24届IMO 第4题）

【证明】如图I —3—2—1，在边BC 、CA 、AB 上分别取三点

P 、Q 、R ，使.3

,3,3AB

RB CA QA BC PC ===

显然 △ARQ ，△BPR ，△CQP 都是直角三角形. 它们的锐

角是30°及60°.

设E 1，E 2是E 的两个非空子集，且

==2121,E E E E E 由抽屉原则P 、Q 、R 中