三章 坐标变换

第三章 坐标变换

3.1 时空矢量图

根据电路原理，凡随时间作正弦变化的物理量（如电动势、电压、电流、磁通等）均可用一个以其交变频率作为角速度而环绕时间参考轴（简称时轴t ）逆时针旋转的时间矢量（即相量）来代替。该相量在时轴上的投影即为该物理量的瞬时值。我们这里介绍的时空矢量图表示法是一种多时轴单相量表示法，即每相的时间相量都以该相的相轴作为时轴，而各相对称的同一物理量用一根统一的时间向量来代表。如图3-1所示，只用一根统一的电流相量1

I （定子电流）即可代

表定子的对称三相电流。不难证明，1I 在A 上的投影即为该时刻A i 瞬时值；在B 上的投影即为该时刻B i 瞬时值；在C 上的投影即为该时刻C i 瞬时值。

有了统一时间相量的概念，我们就可以方便地将时间相量跟空间矢量联系起来，将他们画在同一矢量图中，得到交流电机中常用的时空矢量图。在图3-2所示的时空矢量图中，我们取各相的相轴作为该相的时轴。假设某时刻

m

A

I i +=达到正最大，则此时刻统一相量A

I

应与A 重合。据旋转磁场理论，这时由定子对称

三相电流所生成的三相合成基波磁动势幅值应与A 重合，即1

F 应与A 重合，亦即与1

I 重

合。由于时间相量1I 的角频率ω跟空间矢量1F 的电角速度1ω相等，所以在任何其他时刻，1F 与1

I 都始终重合。为此，我们称1

I 与由它所生

成的三相合成基波磁动势1F 在时空图上同相。在考虑铁耗的情况下，1B 应滞后于1F 一个铁

耗角Fe α，磁通相量m

Φ 与1B 重合。定子对称三相电动势的统一电动势相量1

E 应落后于m

Φ 为90度。

由电机学我们知道，当三相对称的静止绕组A 、B 、C 通过三相平衡的正弦电流A i 、B i 、

c i 时产生的合成磁势F ，它在空间呈正弦分布，并以同步速度ω（电角速度）顺

着A 、B 、C 的相序旋转。如图3-3-a 所示，然而产生旋转磁势并不一定非要三相电流不可，三相、四相等任意多相对称绕组通以多相平衡电流，都能产生旋转磁势。如图3-3-b 所示，所示为两相静止绕组α、β，它们在空间上互差90度，当它们流过时间相位上相差90度的两相平衡的交流电流αi 、βi 时，也可以产生旋转磁动势。当图3-3-a 和图3-3-b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图3-3-a 中的两相绕组和图3-3-b 中三相绕组等效。再看图3-3-c 中的两个

图3-2 时空矢量图

匝数相等且相互垂直的绕组d 和q ，其中分别通以直流电流d i 和q i ，也能够产生合成磁动势F ，但其位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含两个绕组在内的整个铁芯以ω转速旋转，则磁势F 自然也随着旋转起来，称为旋转磁势。于是这个旋转磁势的大小和转速与图3-3-a 和图3-3-b 中的磁势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前两套固定的交流绕组等效了。

图 3-3 等效交直流绕组物理模型

当观察者站在图3-3-c 中的两相旋转绕组d 、q 铁芯上与绕组一起旋转时，在观察者看来这时两个通以直流电流的相互垂直的静止绕组。这样就将对交流电机的控制转化为类似直流电机的控制了。 在交流励磁电机中，定子三相绕组、转子三相绕组都可以等效成这样的两相旋转绕组。由于相互垂直的原因，定子两相轴之间和转子两相轴之间都没有互感，又由于定子两相轴与转子两相轴之间没有相对运动（因为定、转子磁势没有相对运动），其互感必然是常数。因而在同步两相轴系电机的微分方程就必然是常系数，这就为使用矩阵方程求解创造了条件。 习惯上我们分别称图3-3-a,b,c 中三种坐标系统为三相静止坐标系（a-b-c 坐标系）、两相静止坐标系（0--βα坐标系），两相旋转坐标系（d-q-0坐标系）。要想以上三种坐标系具有等效关系，关键是要确定A i 、B i 、C i 与αi 、βi 和d i 、q i 之间的关系，以保证它们产生同样的旋转磁动势，而这就需要我们引入坐标变换矩阵。 坐标变换的方法有很多，这里我们只介绍根据等功率原则构造的变换阵，可以证明根据等功率原则构造的变换阵的逆与其转置相等，这样的变换阵属于正交变换。

3.2 坐标变换(3S/2S)

图3-4所示为交流电机的定子三相绕组A 、B 、C 和与之等效的两相电机定子绕组βα、各相磁势的空间位置。当两者的旋转磁场完全等效时，合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和两相绕组的瞬间磁势沿βα、轴的投影相等，即：

图3-4 三相定子绕组与两相定子绕组磁势的空间位置

即：

3

4sin

32sin 03

4cos 32cos

3323332π

πππβαC B s C B A s i N i N i N i N i N i N i N ++=++=

式中，3N 、2N 分别为三相电机和两相电机定子每相绕组匝数。经计算并整理后，

用距阵表示为：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡C B A s s i i i N N i i 232321

212301βα （3-1）

简记为：i C i

s s 23>-= 为求其逆变换，引入另一个独立于s i α、s i β的新变量0i ，称之为零序电流，并定义：

)(2

3

0C B A Ki Ki Ki N N i ++=

（3-2） 式中,K 为待定系数。 对两相系统而言，零序电流是没有意义的，这里只是为了纯数学上的求逆的需要而补充定义的一个其值为零的零序电流（相应坐标系才称为0--βα坐标系）。需要说明的是，这并不影响总的变换过程。 式3-1 和式3-2合并后，s s C 23>-成为：

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡

-

--=>-K K K N N C s

s 23230212112323

将s s C 23>-求逆，得到：