多元函数微分学的几何应用

x = x Γ : y = ϕ(x) z =ψ (x)
x − x0
1
y − y0 z − z0 = = ϕ′( x0 ) ψ ′( x0 )
( x − x0 ) + ϕ′ ( x0 )( y − y0 ) +ψ ′ ( x0 )(z − z0 ) = 0
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y x 例：求曲线 = x2 , z = x3上与平面 + 2 y + z = 4平行的 切线方程。 切线方程。 v ′ , z′ ) = (1,2x,3x2 ) T 切线的方向向量 = (1, yx x 解： v 因为切线与平面平行， 因为切线与平面平行， 且平面的法向量 n = (1,2,1) r r 所以， 所以，T ⋅ n = 0 即 ×1 + 2x × 2 + 3x2 ×1 = 0 1 1 2 解得， 解得，x1 = − , x2 = −1 即3x + 4x + 1 = 0 3 1 1 1 1 ( 当x1 = − 时，切点为− , ,− ) 3 3 9 27 3x + 1 9 y − 1 27z + 1 切线方程为 = = 1 3 −2 ( 当x1 = −1时，切点为−1,1,−1) x +1 y −1 z +1 切线方程为 = = 1 3 −2
Γ 的向量方程 r = f (t), t ∈[α, β ] 此方程确定映射 f : [α, β ] → R3 ,称此映射为一元向量
值函数. 即 对Γ 上的动点M , 显然r = OM， Γ 是 r 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .
要用向量值函数研究曲线的连续性 光滑性 连续性和光滑性 连续性 光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念.
x −1 y − 2 z − 3 = = 2 1 3 x y z = = (可见法线经过原点，即球心) 1 2 3
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向量值函数导数的物理意义: 向量值函数导数的物理意义 设 r = f (t) 表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 速度向量：v(t) = f ′(t) 加速度向量： a = v′(t) = f ′′(t)
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例2. 设空间曲线Γ 的向量方程为 r = f (t) = (t 2 +1, 4t − 3, 2t 2 − 6t) 求曲线Γ 上对应于 解: 的点处的单位切向量.
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2. 曲线为一般式的情况 F(x, y, z) = 0 光滑曲线 Γ : G(x, y, z) = 0 ∂ (F,G) Γ 当J = ≠ 0 时， 可表示为 ∂ ( y, z) 曲线上一点M (x0 , y0 , z0 )处的切向量为
T = ( 1, ϕ′ (x0 ),ψ ′ (x0 ) ) x − x0 y − y0 z − z0 = = 切线方程 ϕ′( x0 ) ψ ′( x0 ) 1
切平面方程
z − z0 = f x (x0 , y0 )( x − x0 ) + f y (x0 , y0 ) ( y − y0 )
法线方程
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用 向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n =( − f x ( x0 , y0 ) , − f y ( x0 , y0 ) , 1) 将 f x (x0 , y0 ) , f y (x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则 法向量的方向余弦： 法向量的方向余弦： 方向余弦
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定义: 定义 给定数集 D ⊂ R , 称映射f : D → Rn 为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 r = f (t), t ∈ D
因变量 自变量
向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 进行讨论.
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特别, 特别 当光滑曲面∑ 的方程为显式
时, 令
F(x, y, z) = f (x, y) − z 则在点 (x, y, z),
故当函数 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点( x0 , y0 , z0 ) 有
法向量
n = ( f x (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 ), −1)
法平面方程 ( x − x0 ) + ϕ′ ( x0 )( y − y0 ) +ψ ′ ( x0 )(z − z0 ) = 0
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x2 + y2 + z2 = 6, x + y + z = 0 在点 例5. 求曲线
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解法2 解法 方程组两边对 x 求导, 得
x −1 y −1 z −1 = = 2 1 3 法平面方程为
(x −1) + 2 ( y −1) + 3(z −1) = 0
即
x + 2 y + 3z = 6
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(2) 光滑曲线的方程为 y = ϕ(x) Γ : z =ψ (x)
看成参数， 将x看成参数，得到
切向量 T = (1, ϕ′, ψ ′) 切线方程 法平面方程
设 t = t0 对应点 M, 且 不全为0 . 则 Γ 在
点 M 的切向量 切向量为 切向量
T
M T = (ϕ′ (t0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω′ (t0 )) x − x0 y − y0 z − z0 = = 切线方程为 ϕ′ (t0 ) ψ ′ (t0 ) ω′ (t0 ) 下面证明: ∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 此平面称为 ∑ 在该点的切平面 切平面. 切平面
t→t0
f (t0 + ∆t) − f (t0 ) f ′(t0 ) = lim t→t0 ∆t
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向量值函数导数的几何意义: 向量值函数导数的几何意义 在 R3中, 设 r = f (t), t ∈ D 的终端曲线为Γ , z M OM = f (t0 ), ON = f (t0 + ∆t)
因此曲线 Γ 在点 M 处的 x − x0 y − y0 z − z0 = = 切线方程 ϕ′(t0 ) ψ ′ (t0 ) ω′ (t0 ) 法平面方程
Π
M
f ′(t0 ) (t
Γ
ϕ′(t0 )(x − x0 ) +ψ ′ (t0 ) ( y − y0 ) +ω′ (t0 )(z − z0 ) = 0
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为法向量
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曲面 ∑ 在点 M 的法向量 法向量: 法向量
n = ( Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
切平面方程 Fx (x0 , y0 , z0 ) (x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y − y0 )
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x = t, y = t 2, z = t3在点 M (1, 1, 1) 处的切线 例3. 求曲线
方程与法平面方程. 解： x′ = 1, y′ = 2t, z′ = 3t 2, 点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 T = (1, 2, 3) 因此所求切线方程为
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Π
M
T
Γ
1. 曲线方程为参数方程的情况 给定光滑曲线
设Γ上的点M (x0 , y0, z0 ) 对应t = t0 , ϕ′(t0 ),ψ ′(t0 ),ω′(t0 )不全
为0, 则Γ 在点M 的切向量为
f ′(t0 ) = (ϕ′(t0 ), ψ ′(t0 ), ω′(t0 ))
令 T = (ϕ′(t0 ) , ψ ′(t0 ) , ω′(t0 ))
n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
切向量 T ⊥ n 由于曲线 Γ 的任意性 , 表明这些切线都在以
的平面上 , 从而切平面存在 .
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、一元向量值函数及其导数 二、空间曲线的切线与法平面 三、曲面的切平面与法线
第八章
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一、一元向量值函数及其导数 z M Γ 引例: 引例 已知空间曲线 Γ 的参数方程: r x = ϕ(t) y O y =ψ (t) t ∈[α, β ] x z = ω(t) 记 r = (x, y, z), f (t) = (ϕ(t),ψ (t),ω(t))
−x −1 dy = 解得 y dx 1
y −x z 1 −1 1 x− y z − x dz = = = , z y z y−z y − z dx 1 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: x2 +y 2 + z2dz 6 = dy 切向量 T = 1 , , = (1, 0, −1) y z d x +dx+ M= 0 x M
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T = (1, 0, −1)
切线方程 即 法平面方程 1⋅ (x −1) + 0 ⋅ ( y + 2) + (−1) ⋅ (z −1) = 0 即
x−z =0
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三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 任意引一条光滑曲线
设 f (t) = ( f2 (t), f1(t), f3 (t)), t ∈ D, 则
极限： 极限 lim f (t) = (lim f1(t), lim f2 (t), lim f3(t))
t →t0 t →t0 t →t0 t →t0
连续： 连续 lim f (t) = f (t0 ) 导数： 导数 f ′(t) = ( f1′(t), f2′(t), f3′(t))
f ′(t0 )
∆ r = f (t0 + ∆t) − f (t0 ) ∆r lim = f ′(t0 ) t→t0 ∆t
设 f ′(t0 ) ≠ 0 , 则
Γ
r
O
∆r N
∆r ∆t
y
x
f ′(t0 ) 表示终端曲线在t0处的
切向量, 其指向与t 的增长方 向一致.
切线的生成
点击图中任意点动画开始或暂停
=6 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 2 2 1 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为( − , − , − ) 3 3 3
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二、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线 切线为此点处割线的极限位 切线 置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面 法平面. 法平面 给定光滑曲线 Γ ：f (t) = (ϕ(t),ψ (t),ω(t)) Γ 则当ϕ′， ′ ω′ 不同时为 0 时， 在 ψ， 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 f ′(t) = (ϕ′(t),ψ ′(t), ω′(t)) 利用 点向式可建立曲线的切线方程 点法式可建立曲线的法平面方程
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Γ
证:
在 ∑ 上,
∴ F(ϕ (t) , ψ (t) , ω (t) ) ≡ 0
两边在 t = t0 处求导,注意t = t0 对应点M,
得
T
M
Γ
Fx (x0 , y0 , z0 ) ϕ′(t0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )ψ ′(t0 )
+ Fz (x0 , y0 , z0 )ω′(t0 ) = 0
复习
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例6. 求球面 x2 + y2 + z2 = 14 在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 法向量
n = (2 x, 2 y, 2 z)
n
(1, 2, 3)
= (2, 4, 6)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 2(x −1) + 4( y − 2) + 6(z − 3) = 0 即 法线方程 即
+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 ∑ 在点 M 的法线 法线. 法线
T
M
Γ
法线方程 x − x0 y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )