具有隐式功能函数的结构可靠指标计算的改进矩法
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第 35 卷 增刊(I) 2005 年 7 月
东南大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY (Natural Science Edition)
Vol.35 Sup(I) July 2005
具有隐式功能函数的结构可靠指标计算的改进矩法
周道成 段忠东 欧进萍
(哈尔滨工业大学土木工程学院, 哈尔滨 150090)
摘要: 针对经典 JC 法不能求解隐式功能函数的问题, 提出了改进的一次二阶矩方法. 改进方法采
用差分法求偏导数, 将迭代过程中验算点的功能函数值考虑到可靠指标求解中, 使其更符合实际
情况. 通过对该方法计算过程推导和几何意义分析, 可知该方法计算过程简单、物理意义明确, 同
时算例表明该方法计算效率高, 计算精度高, 能合理考虑材料非线性对功能函数影响的可靠指标
计算问题. 因此本方法更加完善了一次二阶矩方法, 拓展了其应用前景.
关键词: 隐式功能函数; 可靠指标; 一次二阶矩法
中图分类号: TU311.2
文献标识码: A 文章编号: 1001-0505(2005)增刊(I)-0139-05
Improved moment method for reliability index without explicit performance function
Zhou Daocheng Duan Zhongdong Ou Jinping
(School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)
Abstract: Since the method of JC for reliability index cannot apply to the inexplicit performance function, an improved primary second moment method for reliability index without explicit performance function is presented. The difference method is applied to calculate partial derivatives of performance function and the performance function value of confirmatory calculating point in iterating is added into the improved method based on the primary second moment method. Deduction and geometric meaning analysis of the method indicate that its calculating process is simple and its physical meaning is obvious. The examples indicate that its calculating efficiency and precision are fine, and the influence of material non-linearity on performance function can be taken into account. This method perfects primary second moment method and extends its field of application. Key words: inexplicit performance function; reliability index; primary second moment method
JC 法是求解结构点可靠度的经典方法, 但是其必须要求显式的功能函数. 在求解大型复杂结构的构 件可靠指标时, 由于其结构的复杂性, 某些构件的荷载与荷载效应不是线性关系, 若仍按其线性关系建立 其功能函数, 势必使计算的可靠指标不合理, 若考虑荷载与荷载效应的非线性关系, 则很难建立其功能函 数; 另外分析其正常使用极限状态的可靠指标时, 考虑关于其顶层位移的功能函数, 但其顶层位移响应与 结构的尺寸、弹性模量和荷载等不能用一个简单的计算公式来明确表达, 因此很难建立其显式的功能函数. 对于这类功能函数难以确定, 但根据通用有限元程序可求解随机变量具体取值下功能函数值的问题, 可 以应用蒙特卡罗法来求解, 但其需要进行成千上万次的有限元模拟计算, 工作量大, 很不经济; 随机有限 元也是一种求解方法, 它是对确定性的有限元程序加以改造, 形成一个能考虑结构中存在各种随机性的 通用有限元分析程序, 但对于大型复杂结构, 其计算效率低, 不经济; 响应面法是求解这类问题的一种有
收稿日期：2005-05-18. 基金项目：国家高技术研究发展计划(863 计划)资助项目(2001AA602023). 作者简介：周道成(1976－), 男, 博士生; 段忠东(联系人), 男, 博士, 教授, 博士生导师, duanzd@hit.edu.cn.
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东南大学学报(自然科学版)
第 35 卷
效方法, 其思想是选用一个适当的明确表达的函数来近似代替一个不能明确表达的函数, 也就是利用有 限的有限元的计算结果来拟合一个具有明确表达式的响应面来近似代替未知的真实极限状态曲面, 从而 可以应用经典的 JC 法求解, 国内外学者在响应面方法上做了大量工作[1~4], 但是其计算效率还没有有效的 解决; 张小庆等采用数值方法有效地解决了此类问题[5], 但是其方法需要繁琐的双重迭代, 同时在迭代求 解可靠指标时, 其初值的选取直接影响其计算效率, 其给定的初值选取原则并不适合一般情况. 本文以一 次二阶矩法和差分法为基础, 提出了一种求解隐式功能函数可靠指标的改进一次二阶矩法, 以达到适合 于大型复杂结构的构件或某些功能要求的可靠指标计算.
1 一次二阶矩法的改进
以 JC 法为代表的经典一次二阶矩法, 其计算过程需要明确的功能函数来求解其对各随机变量的偏导
数和求可靠指标. 然而在实际工程中常遇到功能函数不能明确表达的情况, 下面引入差分法, 解决隐式功
能函数求不能理论求解偏导的问题, 同时结合可靠指标的几何意义, 推导了可靠指标的计算公式, 从而建
立了隐式功能函数求解可靠指标的方法.
1.1 功能函数偏导数的计算
在一次二阶矩法中需要求解的是某些点处偏导数的具体数值, 而不是偏导数的具体表达式, 可以利
用差分法由功能函数的函数值来实现.
根据差分的定义, 可得某一验算点 X 0 处功能函数对各变量的偏导数：
∂g ∂X i
X
0 i
=
g(x10 , x20 ,..., xi0
+ λxi0 ,..., xn0 ) − g(x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0 ) (xi0 + λxi ) − xi0
(1)
为了保证其计算偏导数具有较高的精度, λ 的取值越小越好, 建议取值为 0.001 .
因此, 由功能函数在当前验算点 (x10, x20,..., xi0,..., xn0 ) 以及点 (x10, x20 ,..., xi0 + λxi0,..., xn0 ) 处的函数值, 利用式
(1)就可以很容易求出当前点处功能函数关于 X i 的偏导数, 而不需要功能函数的具体表达式.
1.2 可靠指标的计算
设随机变量 X1, X 2 ,..., X n 为 n 个相互独立的正态的随机变量, 其对应的功能函数为 Z = g( X1, X 2,...X n ) , 将功能函数在某一验算点 X * 处作线性泰勒展开, 即
∑ Z
=
g(X*) +
n i =1
∂g( X ) ∂X i
X * (xi
− xi*)
(2)
Z 的均值和方差分别为
∑ ∑ mZ
=
g(X*) +
n i =1
∂g( X ) ∂X i
(m X *
Xi
− xi*)
,
σ
2 z
=
n ⎡ ∂g( X )
⎢ i =1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 Xi
(3)
根据可靠指标的定义, 则有
∑ β
=
⎡ ⎢
g
(
X
*
)
+
⎣
n i =1
∂g(X ) ∂X i
(m X *
Xi
−
xi*
⎤ )⎥
⎦
∑n ⎡ ∂g(X )
⎢ i=1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 X
i
(4)
因此, 由式(10)计算的可靠指标与功能函数在验算点处的函数值和验算点紧密结合起来, 它比经典 JC 法 不考虑功能函数在验算点处的函数值计算的可靠指标更具合理性.
改进的一次二阶矩法主要求解步骤如下： ①给定初始迭代验算点 X * = {x1*,..., xi*,..., xn*} ; ②根据式(1)计算功能函数对各变量的偏导数;
∑ ③根据公式 α i
= − ∂g( X ) ∂X i
σ / X * Xi
n ⎡ ∂g( X )
⎢ i=1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 X
i
确定αi ;
增刊(I)
周道成等: 具有隐式功能函数的结构可靠指标计算的改进矩法
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④根据式(4)计算可靠指标 β ;
⑤根据公式 xi*' = xi* + αi βσ Xi 求解下一轮迭代验算点 X *' ;
⑥判断收敛条件 g( X *') < ε 是否满足 ( ε 为收敛精度), 如果满足, 则停止迭代; 否则转至步骤②重
新进行循环. 1.3 可靠指标的几何意义
引入标准化的随机变量：
Yi = X i − mXi / σ Xi
(5)
则 X = {X1, X 2 ,..., X n} 空 间 的 随 机 变 量 变 换 到 Y = {Y1,Y2 ,...,Yn} 空 间 , 功 能 函 数 相 应 变 为
Z = g'( y1,..., yi ,..., yn ) , 对应的极限状态方程为 Z = g' ( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 , 其几何意义为 Y 空间中的 n 维超
曲面.
不考虑 g(X*)≠0 的功能函数线性泰勒展开式在 Y 空间中的极限状态方程, 也即是通过验算点
Y * = {y1*,..., yi*,..., yn*} 在超曲面 g'( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 上的超切平面为
∑n
i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* (Yi
−
yi* )
=
0
(6)
考虑 g(X*)≠0 的功能函数线性泰勒展开式式(8)在 Y 空间中的极限状态方程为
∑ g'(Y *) +
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* (Yi
−
yi* )
=
0
(7)
该超平面虽然不过验算点 Y * , 但与通过验算点 Y * 在超曲面 g'( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 上的超切平面的法线矢量
相同, 假定该超平面为同构极限状态超平面.
根据式(7), 可得中心点(原点)到同构极限状态超平面的距离为
∑ ∑ d
= [g' (Y * ) −
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y*
yi* ] /
n ⎡ ∂g' (Y ) ⎤2
⎢ i=1 ⎣
∂Yi
Y
*
⎥ ⎦
(8)
根据式(3)～(5)可得
∑ ∑ β
= [g' (Y * )
−
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* ( yi* )] /
n ⎡ ∂g' (Y ) ⎤2
⎢ i=1 ⎣
∂Yi
Y
*
⎥ ⎦
(9)
根据式(8)和(9)可得β=d. 从上述分析过程可知, 根据式(4)计算的可靠指标的几何意义表示 Y 空间中心点(原点)到考虑 g(X*)≠0
同构极限状态超平面的距离. 当 g(X*)=0 时, 过验算点的超切平面与同构极限状态超平面重合, 此时采用 改进一次二阶矩法计算的可靠指标与 JC 法计算的可靠指标相等.
2 初始验算点的确定
在 大 量 的 可 靠 度 计 算 实 例 中 , 初 始 验 算 点 通 常 取 为 均 值 点 [6], 也 即 是 {x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0} = {mX1 , mX2 ,..., mXi ,..., mXn } , 在该点 mX ( mX1 , mX2 ,..., mXi ,..., mXn )处根据式(7)计算功能函数对各变量的偏导数, 之后可以根据式(5)～(10)求得验算点的值. 但是对于标准正态随机变量, 当 xi0 = mXi , 也即是 xi0 = 0 , 这样 有可能 g(X0) (功能函数含有某些随机变量为分母)存在奇异的情况而使问题求解失败.
东南大学学报(自然科学版)
JOURNAL OF SOUTHEAST UNIVERSITY (Natural Science Edition)
Vol.35 Sup(I) July 2005
具有隐式功能函数的结构可靠指标计算的改进矩法
周道成 段忠东 欧进萍
(哈尔滨工业大学土木工程学院, 哈尔滨 150090)
摘要: 针对经典 JC 法不能求解隐式功能函数的问题, 提出了改进的一次二阶矩方法. 改进方法采
用差分法求偏导数, 将迭代过程中验算点的功能函数值考虑到可靠指标求解中, 使其更符合实际
情况. 通过对该方法计算过程推导和几何意义分析, 可知该方法计算过程简单、物理意义明确, 同
时算例表明该方法计算效率高, 计算精度高, 能合理考虑材料非线性对功能函数影响的可靠指标
计算问题. 因此本方法更加完善了一次二阶矩方法, 拓展了其应用前景.
关键词: 隐式功能函数; 可靠指标; 一次二阶矩法
中图分类号: TU311.2
文献标识码: A 文章编号: 1001-0505(2005)增刊(I)-0139-05
Improved moment method for reliability index without explicit performance function
Zhou Daocheng Duan Zhongdong Ou Jinping
(School of Civil Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150090, China)
Abstract: Since the method of JC for reliability index cannot apply to the inexplicit performance function, an improved primary second moment method for reliability index without explicit performance function is presented. The difference method is applied to calculate partial derivatives of performance function and the performance function value of confirmatory calculating point in iterating is added into the improved method based on the primary second moment method. Deduction and geometric meaning analysis of the method indicate that its calculating process is simple and its physical meaning is obvious. The examples indicate that its calculating efficiency and precision are fine, and the influence of material non-linearity on performance function can be taken into account. This method perfects primary second moment method and extends its field of application. Key words: inexplicit performance function; reliability index; primary second moment method
JC 法是求解结构点可靠度的经典方法, 但是其必须要求显式的功能函数. 在求解大型复杂结构的构 件可靠指标时, 由于其结构的复杂性, 某些构件的荷载与荷载效应不是线性关系, 若仍按其线性关系建立 其功能函数, 势必使计算的可靠指标不合理, 若考虑荷载与荷载效应的非线性关系, 则很难建立其功能函 数; 另外分析其正常使用极限状态的可靠指标时, 考虑关于其顶层位移的功能函数, 但其顶层位移响应与 结构的尺寸、弹性模量和荷载等不能用一个简单的计算公式来明确表达, 因此很难建立其显式的功能函数. 对于这类功能函数难以确定, 但根据通用有限元程序可求解随机变量具体取值下功能函数值的问题, 可 以应用蒙特卡罗法来求解, 但其需要进行成千上万次的有限元模拟计算, 工作量大, 很不经济; 随机有限 元也是一种求解方法, 它是对确定性的有限元程序加以改造, 形成一个能考虑结构中存在各种随机性的 通用有限元分析程序, 但对于大型复杂结构, 其计算效率低, 不经济; 响应面法是求解这类问题的一种有
收稿日期：2005-05-18. 基金项目：国家高技术研究发展计划(863 计划)资助项目(2001AA602023). 作者简介：周道成(1976－), 男, 博士生; 段忠东(联系人), 男, 博士, 教授, 博士生导师, duanzd@hit.edu.cn.
140
东南大学学报(自然科学版)
第 35 卷
效方法, 其思想是选用一个适当的明确表达的函数来近似代替一个不能明确表达的函数, 也就是利用有 限的有限元的计算结果来拟合一个具有明确表达式的响应面来近似代替未知的真实极限状态曲面, 从而 可以应用经典的 JC 法求解, 国内外学者在响应面方法上做了大量工作[1~4], 但是其计算效率还没有有效的 解决; 张小庆等采用数值方法有效地解决了此类问题[5], 但是其方法需要繁琐的双重迭代, 同时在迭代求 解可靠指标时, 其初值的选取直接影响其计算效率, 其给定的初值选取原则并不适合一般情况. 本文以一 次二阶矩法和差分法为基础, 提出了一种求解隐式功能函数可靠指标的改进一次二阶矩法, 以达到适合 于大型复杂结构的构件或某些功能要求的可靠指标计算.
1 一次二阶矩法的改进
以 JC 法为代表的经典一次二阶矩法, 其计算过程需要明确的功能函数来求解其对各随机变量的偏导
数和求可靠指标. 然而在实际工程中常遇到功能函数不能明确表达的情况, 下面引入差分法, 解决隐式功
能函数求不能理论求解偏导的问题, 同时结合可靠指标的几何意义, 推导了可靠指标的计算公式, 从而建
立了隐式功能函数求解可靠指标的方法.
1.1 功能函数偏导数的计算
在一次二阶矩法中需要求解的是某些点处偏导数的具体数值, 而不是偏导数的具体表达式, 可以利
用差分法由功能函数的函数值来实现.
根据差分的定义, 可得某一验算点 X 0 处功能函数对各变量的偏导数：
∂g ∂X i
X
0 i
=
g(x10 , x20 ,..., xi0
+ λxi0 ,..., xn0 ) − g(x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0 ) (xi0 + λxi ) − xi0
(1)
为了保证其计算偏导数具有较高的精度, λ 的取值越小越好, 建议取值为 0.001 .
因此, 由功能函数在当前验算点 (x10, x20,..., xi0,..., xn0 ) 以及点 (x10, x20 ,..., xi0 + λxi0,..., xn0 ) 处的函数值, 利用式
(1)就可以很容易求出当前点处功能函数关于 X i 的偏导数, 而不需要功能函数的具体表达式.
1.2 可靠指标的计算
设随机变量 X1, X 2 ,..., X n 为 n 个相互独立的正态的随机变量, 其对应的功能函数为 Z = g( X1, X 2,...X n ) , 将功能函数在某一验算点 X * 处作线性泰勒展开, 即
∑ Z
=
g(X*) +
n i =1
∂g( X ) ∂X i
X * (xi
− xi*)
(2)
Z 的均值和方差分别为
∑ ∑ mZ
=
g(X*) +
n i =1
∂g( X ) ∂X i
(m X *
Xi
− xi*)
,
σ
2 z
=
n ⎡ ∂g( X )
⎢ i =1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 Xi
(3)
根据可靠指标的定义, 则有
∑ β
=
⎡ ⎢
g
(
X
*
)
+
⎣
n i =1
∂g(X ) ∂X i
(m X *
Xi
−
xi*
⎤ )⎥
⎦
∑n ⎡ ∂g(X )
⎢ i=1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 X
i
(4)
因此, 由式(10)计算的可靠指标与功能函数在验算点处的函数值和验算点紧密结合起来, 它比经典 JC 法 不考虑功能函数在验算点处的函数值计算的可靠指标更具合理性.
改进的一次二阶矩法主要求解步骤如下： ①给定初始迭代验算点 X * = {x1*,..., xi*,..., xn*} ; ②根据式(1)计算功能函数对各变量的偏导数;
∑ ③根据公式 α i
= − ∂g( X ) ∂X i
σ / X * Xi
n ⎡ ∂g( X )
⎢ i=1 ⎣
∂X i
X
*
⎤ ⎥ ⎦
2
σ
2 X
i
确定αi ;
增刊(I)
周道成等: 具有隐式功能函数的结构可靠指标计算的改进矩法
141
④根据式(4)计算可靠指标 β ;
⑤根据公式 xi*' = xi* + αi βσ Xi 求解下一轮迭代验算点 X *' ;
⑥判断收敛条件 g( X *') < ε 是否满足 ( ε 为收敛精度), 如果满足, 则停止迭代; 否则转至步骤②重
新进行循环. 1.3 可靠指标的几何意义
引入标准化的随机变量：
Yi = X i − mXi / σ Xi
(5)
则 X = {X1, X 2 ,..., X n} 空 间 的 随 机 变 量 变 换 到 Y = {Y1,Y2 ,...,Yn} 空 间 , 功 能 函 数 相 应 变 为
Z = g'( y1,..., yi ,..., yn ) , 对应的极限状态方程为 Z = g' ( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 , 其几何意义为 Y 空间中的 n 维超
曲面.
不考虑 g(X*)≠0 的功能函数线性泰勒展开式在 Y 空间中的极限状态方程, 也即是通过验算点
Y * = {y1*,..., yi*,..., yn*} 在超曲面 g'( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 上的超切平面为
∑n
i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* (Yi
−
yi* )
=
0
(6)
考虑 g(X*)≠0 的功能函数线性泰勒展开式式(8)在 Y 空间中的极限状态方程为
∑ g'(Y *) +
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* (Yi
−
yi* )
=
0
(7)
该超平面虽然不过验算点 Y * , 但与通过验算点 Y * 在超曲面 g'( y1,..., yi ,..., yn ) = 0 上的超切平面的法线矢量
相同, 假定该超平面为同构极限状态超平面.
根据式(7), 可得中心点(原点)到同构极限状态超平面的距离为
∑ ∑ d
= [g' (Y * ) −
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y*
yi* ] /
n ⎡ ∂g' (Y ) ⎤2
⎢ i=1 ⎣
∂Yi
Y
*
⎥ ⎦
(8)
根据式(3)～(5)可得
∑ ∑ β
= [g' (Y * )
−
n i=1
∂g'(Y ) ∂Yi
Y* ( yi* )] /
n ⎡ ∂g' (Y ) ⎤2
⎢ i=1 ⎣
∂Yi
Y
*
⎥ ⎦
(9)
根据式(8)和(9)可得β=d. 从上述分析过程可知, 根据式(4)计算的可靠指标的几何意义表示 Y 空间中心点(原点)到考虑 g(X*)≠0
同构极限状态超平面的距离. 当 g(X*)=0 时, 过验算点的超切平面与同构极限状态超平面重合, 此时采用 改进一次二阶矩法计算的可靠指标与 JC 法计算的可靠指标相等.
2 初始验算点的确定
在 大 量 的 可 靠 度 计 算 实 例 中 , 初 始 验 算 点 通 常 取 为 均 值 点 [6], 也 即 是 {x10 , x20 ,..., xi0 ,..., xn0} = {mX1 , mX2 ,..., mXi ,..., mXn } , 在该点 mX ( mX1 , mX2 ,..., mXi ,..., mXn )处根据式(7)计算功能函数对各变量的偏导数, 之后可以根据式(5)～(10)求得验算点的值. 但是对于标准正态随机变量, 当 xi0 = mXi , 也即是 xi0 = 0 , 这样 有可能 g(X0) (功能函数含有某些随机变量为分母)存在奇异的情况而使问题求解失败.