最新7第七章一阶电路和二阶电路的时域分析

i(0+)= iC (0+)+iL(0+)=6A
uL (0+)=US R3iL(0+)= 6V
i(0 + )
R1 iC(0 + ) Us uC(0+)
图 (c) R3
iL (0 + )
+ uL(0+)
例：发动机励磁线圈：L=0.4H，R=0.2Ω，直流电压 US=40V， 伏特表量程 50V，内阻 RV=5kΩ，开关闭合已久达稳态， 求开关 K 断开瞬时伏特表电压？
等效电路, 如图（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等
效电路中电容相当于短路。故有
i2 (0 )
uC (0 ) R2
0 R2
0,
i1(0
)
Us R1
12 4 103
3mA
由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。
例：开关 K 打开前电路处稳态，给定 R1=1Ω，R2=2Ω，R3=3Ω，L=4H，C=5F， US=6V，t=0 开关 K 打开，求 iC ，iL，i，uC ，uL，在 0+时的值。
解：
iL(0)
US R
200A
K
R
+
iL
V uV
Us iV
L
iL(0)iL(0)200A
u V ( 0 ) R V i V ( 0 ) 2 0 0 5 k 1 0 6 V
§7-2 一阶电路的零输入响应
一、零输入响应
当uC(0+)、iL(0+)不为零且电路中 无独立源外施激励时，电路中的响 应称为零输入响应。
例:图（a）所示电路中 , 已知Us=12V, R1=4kΩ, R2=8kΩ,
C=1μF, 开关S原来处于断开状态, 电容上电压uC(0-)=0。求开 关S闭合后, t=0+时, 各电流及电容电压的数值。
S
＋ Us
－
R1
i1
R2 i2
iC C uC
＋ Us
－
R1 i1(0＋)
i2 (0＋) R2
iC (0＋) C uC(0＋)
…
…
…
…
∞
e
0
0
4.能量转换
电容的电能
WC
1 2
CU02
电阻的热能 WR0i2Rdt12CU 02
例： 电源开关S原在位置1，且电路已达稳态， t=0时开关由1合向2，求t≥0时电流i（t）。
解：uc(0) 10 44V 244
补充：过渡过程
1、过渡过程：从一种 稳定状态转变到另一种 稳定状态的中间过程。 ＋ S
2、现象：合上S L1立即发亮 亮度不变 Us L2由暗—亮 最后定 L3由亮—暗 直到熄灭
－
外因 :电路状态的改变 内因: 有储能元件
L1
L2
L3
R
L
C
过渡过程演示电路图
2.换路定律定义
• 换路前后电容电流和电感电压为有限值 时，换路前后电容电压和电感电流不能 跃变。
7第七章一阶电路和二阶电路的 时域分析
二、换路定律
1. 过渡过程：电路由一个工作状态转变为 另一个工作状态，其间所经过的过程称 为过渡过程。
过渡过程
稳态 暂态
稳态
➢上述电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路。
➢通常把换路前最终时刻记为t =0-，换路后的最初 时刻记为t =0+，换路经历的时间为0-到0+。
二、RC电路的零输入响应
• 充好电的电容向电阻放电：
S(t=0)
i
U0 uC
C R uR
t≥0
uC
R0
i C R uR
1.求解t ≥0+时的电路
i
• 当t ≥0时 uC(0+)=U0 • 由KVL得 uC―uR=0
uC C R uR
• 又 uR=Ri i C duC
uCRC ddC ut0(td0t)
t
t
e
uC
i
0
e0=1
U0
U0 R
τ
e1 0.368
0.368U0
0.368 U 0 R
2τ
e2 0.135
0.135U0
0.135 U 0 R
3τ
e3 0.050
0.050U0
0.050 U 0 R
4τ
e4 0.018
0.018U0
0.018 U 0 R
5τ
e5 0.007
0.007U0
0.007 U 0 R
解：
i
R 1 t=0 R 3
R2
Us +
+
C iC
uC
iL
L
uL
R1
R3
i2(0) R2
Us
+
uC(0)
iL(0)
iL
t=0－： iL(0)(R1U R2S)//R34A
uC(0)R1R2R2US 4V
t =0+：
uC (0+)=uC(0－)=4V iL(0+)=iL(0－)=4A
iC(0)USR u1C(0)2A
解微分方程可得
t
★
uC U0e RC (t ≥0+)
一阶微分方程求解补充：
RC du C uc 0 dt
u C Ae pt
RCpAe pt Ae pt 0
( RCp 1) Ae pt 0
RCp 1 0
p 1 RC
uC
Ae
pt
Ae
t RC
由换路定则知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即
(a)
(b)
解:选定有关参考方向如图所示。
(1) 由已知条件可知: uC(0-)=0。 (2) 由换路定则可知: uC(0+)=uC(0-)=0。
S
＋ Us
－
R1
i1
R2 i2
iC C uC
＋ Us
－
R1 i1(0＋)
i2 (0＋)
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iC (0＋)
R2
C uC(0＋)
(a)
(b)
(3) 求其它各电流、电压的初始值。画出t=0+时刻的
将A=U0代入， 得
t
uC U0e RC
电流 iCdC uuRU0eRt C dt R R
2.uC、uR、i的时间曲线
u C uR、i U0
(t≥0+)
0.368U 0
0.135U 0
t
0
2
3.时间常数τ
• 定义: τ=RC （其中R为等效电阻） uC U0et ★ t=τ时，uC=0.368U0
• τ仅取决于电路的结构和元件的参数，单位“秒s”。
•τ对响应的影响：
τ 越大，放电过程越长。通常认为经过3τ—5τ后过
渡过程结束。
•τ的图解 (次切距法)
t0
BC AB uC(t0)
tan
duC dt
tt0
1UU0e0et0
uC U0
任一点切线
A uc(t0)
t
0 BC
电容电压及电流随时间变化的规律
即： uc(0+)=uc(0-) iL(0+)=iL(0-)
能量不能跃变
•电路中其它量换路前后皆可跃变。
三、初始值计算：求解初始条件
• 初的始值值。：响应在换路后最初瞬间（即0+）
• 独立初始值：uc(0+)、iL(0+)。 • 相关初始值：其它电量—由独立初始值
求出。
• 求解过程： ① 由已知求得uc(0+)、iL(0+)—换路定律； ② 画源出替t代=；0+时iL(的0+等)—效电电流路源：替u代c(0；+)—电压 ③ 求出其它电量的初始值。