关于一类广义非线性拟变分不等式
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一
容易证明
ｌ（－ （Ｉ Ｉｘ ＧＹｌ Ｇ） ） ：
ｌ ２ ＋｛ （ ｍ ＋ ［－） ｐ（， 十 卜 １ ） ｇ ） Ｊ（ ｍ －Ｎ ｘ 】 ０ 一 － ｐｇ Ａ ） －
（ ， ｛一 一 ） 【 一） （ 缈 ＋ ， Ｉ １ ） （ ， ＋ （ Ⅳ 一Ｊ ＋ ｇ ｇ 一 ， ） 】 ｌ ｝≤
显然 是单值 非扩 张 映射 。 定义 ２ 一个 映射 ｇ： Ｈ 被 称 为强单 调 的和利 普希 兹连 续 的 ，如 果存 在正 常数 ， 满足 ． ，
（ ，—） ， —Ｉ 一 ≥． ｖ Ｉ ｌ
Ｉ 一 Ｉ ｌ ｖＶｙ Ｉ ｌ ｕ ｌｘ ｅ ≤￣ － ｌ ， Ｈ ，
ｌ ｙ －ｐＮＡ， ）ＮＡ， ） — ） ８（ Ｂ）ＮＡ， ） ≤ Ｉ ｌ ２ （（ Ｂ 一 （ Ｂ ， ＋ Ⅳ ， 一 （ Ｂ Ｉ ｘ ｌ － ｘｘ ｙ ｘ ｘ ｙ ￣ ｙ ＋ｐｌ（ ， ）ＮＡ， ）一ｐ ｌ—ｌ 口 一ｌ ｌ ２ｃ Ａ Ｂ 一 （ Ｂ ｌ ２ｄｘ ｙ ＋ ｙ ≤ ｌ ｌ ｘｘ Ｎ ｙ ｘ ｌ ｌ ｌ （ ２（－ｓ ＋ 口） ｌ １ ｐｄ ｃ口 ｐ － ） 一 Ｉ
式 ：找 出 ∈Ｈ 满 足
ｆ∈Ⅳ（ （） ． ＋ （ — （） ， ］ （ ） ） （） ｃ ｇ
收稿 日期 ：２ １—８ ２ ０ １０ — ２ 作者简介 ：巩娟 （９ ４ ） １６ － ，女 。辽宁 昌图人，副教授 。
第 ４期
巩娟：关于一类广义非线性拟变分不等式
２７ ６
［４ １１ －
使用预解算子技术建立 了与该广义非线性拟变分不等式等价的不动点问题， 使用这一等价性和 Ｂ ｎｅ ａａ ｈ 不动 点定 理 ，提 出 了两 种迭代 算法 ，给 出了带有极 大单调 映射 的广 义非线 性拟变 分不 等式 的解 的存 在性 和
。
唯 一性 定理 ，证 明了 由算法 产生 的序列 的收敛 性 。本文 的结果 推广 和改进 了［２１ １，中的若干 结果 。 － ４
（（ ， 一 （ ，，—） 一ｌ￣ ， 一 （ ，ｌ ， －ｌＶ，ｚ Ｈ ＮＡ ｚ ＮＡ ｚ ≥ ｃ ｘ） ｙ ） ｌ ｚ ＮＡ ｚ ｌ ｙ ， Ｙ ∈ Ｎ ） ｙ ）＋ ｌ ｌ ｘ ， ｌ ｘ
类似 地可 以定 义关 于 Ⅳ在 第二 变元 的利 普希 兹连 续性 。 引理 ｌ 设 ∈（， 和 Ｐ ＞０为常数 ，则下列 陈述 是等 价 的 ： ０ｌ 】
（） 义非 线性拟 变分 不等 式 （） １广 １ 有惟 一解 ∈Ｈ ； （） ２ 存在 ∈Ｈ ，满 足
＝ｍ４ ［ ｒ ＋ （ ｇ—ｍ ｕ ｐ Ａ ， ｕ ＋ｐ 】 ） — Ｎ（ ｕ Ｂ ） ｆ
其 中 ＝（ ＋ｐｗ） Ｉ 一为预 解算 子 。
依靠 引理 Ｉ ，建立 并 分析 下面 的迭代 算法 ，以便找 到非线 性拟 变分 不等强 单调 ，系 数为 ａ 假 设 Ｗ ： ． Ｈ ２ 为极大 映射 ，如 果存 在常 数 Ｐ满 足
０ １ ２１ ２＋ ｇ 一， ２（一 口） Ｐ ｐｂ （ １ ＝ — ４ — ， （＋ ） 、 一 ｐｄ 口＋ ｔ ｏ） ． ｌ ＋ ｅ ，
则广义非线性拟变分不等式 （） １有惟一解 ∈Ｈ ，由算法 １ 定义的序列 ｛ 。 ） 强收敛于 “ ．
证 明了 由算法产生 的序列收敛性 ，其结果 推广 了某些 已知结果。
关键词 ：非线性拟变分不等 式；迭代算法 ；收敛性 ；预解算子
中图分类号 ：Ｏ１７９ ７ ．１
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１７ －２ １ ０ １０ ．２ ６０ ６ ４３ ６ （ １）４０ ６ －４ ２
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｐ ｃｆｃＶｅ ｓｏ ｆ ｎ ｒ ｌ ｅ ｎ ｉ ｅ ｒ ｔ ｄ ｆ ｅ ｉ ｒ ｉｎ ｏ Ｓ ｉ Ｇｅ ｅ ａ ｉ ｄ Ｎｏ ｌ ａ ｚ ｎ
１ 预
备
设 一 实 ｉ ｒ 间 范 为Ｉ， 积 （） Ｉ 表 为 个 的Ｈｂｔ ， 数 ｆ 内 为 ・， 代 上 恒 映 ， ，， ＢＨ＿ ， ｌ 空 ｅ ． Ｉ ｌ ， ・ 的 等 射ｇ Ａ ： ÷ ，
Ｎ： Ｈ － Ｈ 为映射。设 Ｗ ： × Ｈｘ ÷ Ⅳ ２ 为极大单调映射。ｖ ，考虑下面广义非线性拟变分不等 ｆｅＨ
Ｖｏ ． １ Ｎｏ ４ １ ， ． ３
Ａｕ ． ０ １ ｇ ２ １
关于一类广义非线性拟 变分不等式
巩 娟
ｌ２０ ） １００ （ 辽宁职 业学 院， 辽宁 铁 岭
摘
要：引进 了一种新的广义非线性拟变分不等式，使用预解算子技术建立了与其等价的不动点问题。利用
这一等价关系， 提出了两种迭代算法， 并证明 了带有极大单调映射的广义非线 性拟变分不等式的解的存在性定理 ，
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｅ ｖ ｒｉｎ ｏ ｅ ｅａ ｏ ｌ ｅ ｒｑ ａ ｉ ａｉｔ ｎ ｌｉｅ ｕ ｌ ｉｓｗａ ｎｒ ｄ ｃ ｄ Ｂｙ ｓｒ ｃ ： ｎ ｗ ｅ ｓｏ ｆｇ ｎ ｒｌ ｎｉ ａ ｕ ｓ－ ｒａｉ ａ ｎ ｑ ａｉ ｅ ｓｉｔ ｕ ｅ ． ｎ ｎ ｖ ｏ ｔ ｏ ｕ ｉｇｔ ｅｔｃ ｎｑ ｅｏ ｓ ｌｅ ｔ ｐ ｒｔｒ ｔｅｐ ｏ ｌｍ ｎｔｅｆｘ ｄｐ ｉｔ ｑ ａ ａｕ ｓｅｔｂｉｈ ｄ ｓｎ ｈ ｉｕ ｆ ｅ ｏｖ ｎ ｅａｏ ，ｈ ｒ ｂｅ ｏ ｅ ｏ ｎｓｉ ｅ ｕ ｌ ｌｅｗａ ｓ ｌ ｅ ． ｈ ｅ ｒ ｏ ｈ ｉ ｎ ｖ ａ ｓ Ｗ ｉ ｕ ｈ ｅ ｕｖ ｌｎ ｅ ｔ ｉ ｅｅ ｔｔｒｔ ｅａｇ ｒｔｍｓｗｅｅｎ ｔ ｎｙｓ ｇ ｅ ｔｄ ｂ ｔ ｌｏ ｔｅｓ ｌｔ ｎ ｈ ｔ ｓ ｃ ｑ ｉａｅ ｃ ，ｗｏｄｆ ｒｎ ｅａｉ ｌｏ ｉ ｉ ｖ ｈ ｒ ｏ ｌ ｕ ｇ ｓｅ ， ｕ ｓ ， ｏｕｉ ｏ ａ ｈ ｏ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔｅ ｒｍ ｎ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒｌｎ ｎｉｅ ｕ ｓ－ ａｉｔ ｎ ｌｉｅ ｕ ｌｉｓ ｗｉ ｘｍｕ ｏ ｏｏ ｅ ｘｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ｏ ｅ ｅ ｏ ｌ ａ ｑ ａ ｉ ｒａｉ ａ ｎ ｑ ａｉｅ ｔ ｍａ ｉ ｍ ｍ ｎ ｔｎ ｈ ａ ｎｒ ｖ ｏ ｔ ｈ ｍａ ｐｎ ｓＷａ ｒ ｖ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｆｒｓｑ ｅ ｃ ｅ ｅ ｔｄ ｂ ｅ ａｇ ｒ ｈ ｓｗａ ｅｉ ｅ 。 ｅ ｐ ｉｇ ｓ ｐ ｏ ｅ ． ｈ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｏ ｅ ｕ ｎ ｅ ｇ ｎ ｒ ｅ ｙ ｔ ｌｏｉ ｍ ｓｖ ｒ ｄ Ｔ ａ ｈ ｔ ｉ ｆ ｈ ｃ ｎ ｌ ｉｎ ｅｅ ｙｈ ｖ ｏ ｕａｉｅ ｕ ｅ ｆ ｎ ｗｎｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓ ｏ ｃｕ ｏ ｓｈ ｒｂ ａ ｅｐ ｐ ｌ ｚ ｄａｎ ｍｂ ｒ ｏ ｏ ｃｕ ｉｎ ． ｓ ｒ ｏｋ
证明 设 ，为日 中任意 元素 ，定义 映射 Ｇ： － Ｈ ｙ Ｈ － ）
２８ ６
辽宁工业大学学报 （ 自然科 学版）
第 ３ 卷 ｌ
Ｇ ） （ ＋ ｛一ｇ ｒｘ 【 — ） ｐ （ ， ＋ 厂 ， ｘ （ ＝１ ） （— ） （ ｍｘ ＮＡ ） 】 Ｖｅ 一 ｅ＋ ｇ — ｘ ｊ Ｈ
定 义 ３ 设 ： Ｈ Ｈ，Ｎ ： ｘＨ Ｈ 为映射 ，称 ｜ Ｈ ７ ＼ ， （） １ 关于 第一变 元 为利普 希 兹连续 ，如 果存 在常 量 ＞０ 满足
Ｉ（ｚ Ｎｙ ） ｌ ｙ， Ｙ Ｅ Ｉ ｘ ） （ｚＩ ｌ ｌ Ｎ ，－ ，ｌ ｘ Ｉ ， ≤ｓ － ，Ｚ Ｈ
（） ２ 关于 在 第一变 元 强单调 ，如果存 在 常量 ｃ ０ ≥ 和ｄ≥ ０满 足
第 ３ 卷第 ４期 ｌ
２ ０ｌ １年 ８ 月
辽 宁工业 大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｏ ｉｇＵ ｉｅ ｉ ｆ ｅｔ ｌｇ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ Ｌ ａｎｎ ｎｖ ｒ ｔ ｏ Ｔ ｃｍｏｏ ｙＮａｕａ Ｓ ｉ ｅ ｉｏ ） ｏ ｓｙ ｎ Ｅ ｉ
定 理 １ 设 Ａ Ｂ ｇ， ： － 为利 普希 兹连续 ，系 数分 别 为 口 ｂ Ｐ ｇ： ｇ一， 为 强单 调 ，系数 为 ， ，， ｍ Ｈ － － － ） ，， ， ， ｌ
ｍ 关 于 ｇ松 弛单调 ， 系数 为 ． 设 Ｎ ： × 假
关 于第 一 、 二变元 为利 普希 兹连 续 ， 第 系数分 别为 ｆｋ， ，
Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｕ ｓ— ａ ｉｔ ｎ ｌ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ； ｔｒ ｔ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ； ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ａ ｉ ｒ ｉ ａ ｅ ｕ ｌ ｉｓ ｉ ａｉ ｌ ｏ ｈ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎ ｑ ｖ ａ ｏ ｉ ｔ ｅ ｖ ｉ ｒ ｓ ｌｅ ｔ ｐ ｒｔｒ ｅ ｏｖ ｎ ｅａｏ ｏ
Ｑｕ ｓ Ｖ ｒａ ｏ ａ ｅ ｕ ｌ ｅ ａｉ ａ ｉｔ ｎ ｌｎ ｑ ａｉ ｓ － ｉ Ｉ ｉ ｔ
ＧＯＮＧ ｕａ Ｊ ｎ
（ ｉ ｏ ｉｇ Ｖ ｃ ｔ ｎ ｌ ｏ ｌ ｅ Ｔｉｌ ｇ １ ２ ０ ， ｉａ） Ｌ ａ ｎ ｎ ｏ ａ ｉ ａ ｌ ｇ ， ｅ ｉ １ ０ ０ Ｃｈ ｎ ｏ Ｃ ｅ ｎ
其中 ∈（， 为常量，Ｅ￣ ｇ和 ｍ是利普希兹连续的且 ｇ一 是强单调的，由此 Ｏ１ 】 ｈ：
ｌ （ ， ＋ —）＜ 一，（ ９］ｌｙ －一 一） （ ｍ ｌ ｌ ２ ｐ ）￣ —ｌ ｇ ， ｇ ｙ ｈ ． ＋ ｌ １ ｌ ￣ ＋ ｘ
注 意
ｌ Ⅳ ， 一 （ ， ） ＝ — 【（ ）ＮＡ Ｂ ］ — ｙ ｘｌ
算法 １ 设 ｇ ｍ， Ｂ： ， Ａ， Ｈ Ｈ，Ｎ ： ｘＨ － Ｗ ： － ，ｆ∈Ｈ ． 定 ∈ ，按 照 下面 的迭代 Ｈ ９Ｈ， Ｈ ９２ 给
格式 算 计 序列｛ 。 ） ： ＞
肘＝１ ） ｄ． （ ｍ 【 — ）一 ＮＡ ｕ＋ 】 ≥ ｌ（ － ｛ 一 — ） ＋ （ ｍ ｐ （ ， 】 ０ 一 ｔｌ ｇ ｕ １ｌ ｇ ｕ ｕＢ ） ，
其 ｛ ）。 ［ｌ 任 序 满 ∑６＝－． 中 ｃｏ】 意 列 足 １ － ＞ ，为 ｔ ｏ ｏ
ｎ＝０
算 法 ２ 设 ｇ ｍ， Ｂ： － Ｈ，Ｎ ： × ， ， Ｈ － － － ） Ⅳ
， ： － ２ ．∈Ｈ ． 定 ｌ ∈Ｈ ，按照 下面 的迭代 Ｗ Ｈ － ，， ） ｒ 给 ／ ｏ
变分不 等式 理论在 力学 、经济学 、优 化和 工程 学等学 科 中有着 重要 的应 用 。某 些研 究者【４ １Ｊ 不动 点 ．使用 定理 研究 过多种 变分 不等式 ，拟 变分不 等式和 变分 包含 的解 的存在 性 。
本文引进了一类新 的广义非线性拟变分不等式，其包括已知的某些变分不等式和拟变分不等式为特例
注记 １ 容 易看 出广义 非线 性拟 变分 不等 式 （） １包含 许 多类变 分不 等式 和拟 变 分不等 式 作 为特殊 情 ¨
况。
现在 回顾 下面 的定 义 。
定义 ｌ 设 Ｗ ： 【 Ｈ ２ 为极 大单 调映射 ， Ｖ ＞０，Ｗ 的预解 算子 定义 为
＝（ ＋ ， ） Ｖ ｅ ～ ，＇ ｘ
格式 序列｛ ： 计算 ） 。 ＞
ｌ 一（ ） ＋ ［ ＝ ｇ一 （ ｇ—ｍ ｕ ～ Ｎ（ ｕ， ， ＋ 】 Ｖ ） ｐ Ａ ， ≥ ０ ｚ）
２ 解的存在惟一性及算法的收敛性
现 在证 明广义 非线 性拟 变分 不等 式 （） １的解 的存 在 唯一性 和算 法 １ ２的收敛 性 。 和
容易证明
ｌ（－ （Ｉ Ｉｘ ＧＹｌ Ｇ） ） ：
ｌ ２ ＋｛ （ ｍ ＋ ［－） ｐ（， 十 卜 １ ） ｇ ） Ｊ（ ｍ －Ｎ ｘ 】 ０ 一 － ｐｇ Ａ ） －
（ ， ｛一 一 ） 【 一） （ 缈 ＋ ， Ｉ １ ） （ ， ＋ （ Ⅳ 一Ｊ ＋ ｇ ｇ 一 ， ） 】 ｌ ｝≤
显然 是单值 非扩 张 映射 。 定义 ２ 一个 映射 ｇ： Ｈ 被 称 为强单 调 的和利 普希 兹连 续 的 ，如 果存 在正 常数 ， 满足 ． ，
（ ，—） ， —Ｉ 一 ≥． ｖ Ｉ ｌ
Ｉ 一 Ｉ ｌ ｖＶｙ Ｉ ｌ ｕ ｌｘ ｅ ≤￣ － ｌ ， Ｈ ，
ｌ ｙ －ｐＮＡ， ）ＮＡ， ） — ） ８（ Ｂ）ＮＡ， ） ≤ Ｉ ｌ ２ （（ Ｂ 一 （ Ｂ ， ＋ Ⅳ ， 一 （ Ｂ Ｉ ｘ ｌ － ｘｘ ｙ ｘ ｘ ｙ ￣ ｙ ＋ｐｌ（ ， ）ＮＡ， ）一ｐ ｌ—ｌ 口 一ｌ ｌ ２ｃ Ａ Ｂ 一 （ Ｂ ｌ ２ｄｘ ｙ ＋ ｙ ≤ ｌ ｌ ｘｘ Ｎ ｙ ｘ ｌ ｌ ｌ （ ２（－ｓ ＋ 口） ｌ １ ｐｄ ｃ口 ｐ － ） 一 Ｉ
式 ：找 出 ∈Ｈ 满 足
ｆ∈Ⅳ（ （） ． ＋ （ — （） ， ］ （ ） ） （） ｃ ｇ
收稿 日期 ：２ １—８ ２ ０ １０ — ２ 作者简介 ：巩娟 （９ ４ ） １６ － ，女 。辽宁 昌图人，副教授 。
第 ４期
巩娟：关于一类广义非线性拟变分不等式
２７ ６
［４ １１ －
使用预解算子技术建立 了与该广义非线性拟变分不等式等价的不动点问题， 使用这一等价性和 Ｂ ｎｅ ａａ ｈ 不动 点定 理 ，提 出 了两 种迭代 算法 ，给 出了带有极 大单调 映射 的广 义非线 性拟变 分不 等式 的解 的存 在性 和
。
唯 一性 定理 ，证 明了 由算法 产生 的序列 的收敛 性 。本文 的结果 推广 和改进 了［２１ １，中的若干 结果 。 － ４
（（ ， 一 （ ，，—） 一ｌ￣ ， 一 （ ，ｌ ， －ｌＶ，ｚ Ｈ ＮＡ ｚ ＮＡ ｚ ≥ ｃ ｘ） ｙ ） ｌ ｚ ＮＡ ｚ ｌ ｙ ， Ｙ ∈ Ｎ ） ｙ ）＋ ｌ ｌ ｘ ， ｌ ｘ
类似 地可 以定 义关 于 Ⅳ在 第二 变元 的利 普希 兹连 续性 。 引理 ｌ 设 ∈（， 和 Ｐ ＞０为常数 ，则下列 陈述 是等 价 的 ： ０ｌ 】
（） 义非 线性拟 变分 不等 式 （） １广 １ 有惟 一解 ∈Ｈ ； （） ２ 存在 ∈Ｈ ，满 足
＝ｍ４ ［ ｒ ＋ （ ｇ—ｍ ｕ ｐ Ａ ， ｕ ＋ｐ 】 ） — Ｎ（ ｕ Ｂ ） ｆ
其 中 ＝（ ＋ｐｗ） Ｉ 一为预 解算 子 。
依靠 引理 Ｉ ，建立 并 分析 下面 的迭代 算法 ，以便找 到非线 性拟 变分 不等强 单调 ，系 数为 ａ 假 设 Ｗ ： ． Ｈ ２ 为极大 映射 ，如 果存 在常 数 Ｐ满 足
０ １ ２１ ２＋ ｇ 一， ２（一 口） Ｐ ｐｂ （ １ ＝ — ４ — ， （＋ ） 、 一 ｐｄ 口＋ ｔ ｏ） ． ｌ ＋ ｅ ，
则广义非线性拟变分不等式 （） １有惟一解 ∈Ｈ ，由算法 １ 定义的序列 ｛ 。 ） 强收敛于 “ ．
证 明了 由算法产生 的序列收敛性 ，其结果 推广 了某些 已知结果。
关键词 ：非线性拟变分不等 式；迭代算法 ；收敛性 ；预解算子
中图分类号 ：Ｏ１７９ ７ ．１
文献标识码 ：Ａ
文章编号 ：１７ －２ １ ０ １０ ．２ ６０ ６ ４３ ６ （ １）４０ ６ －４ ２
Ｓ ｕ ｙ ｏ ｐ ｃｆｃＶｅ ｓｏ ｆ ｎ ｒ ｌ ｅ ｎ ｉ ｅ ｒ ｔ ｄ ｆ ｅ ｉ ｒ ｉｎ ｏ Ｓ ｉ Ｇｅ ｅ ａ ｉ ｄ Ｎｏ ｌ ａ ｚ ｎ
１ 预
备
设 一 实 ｉ ｒ 间 范 为Ｉ， 积 （） Ｉ 表 为 个 的Ｈｂｔ ， 数 ｆ 内 为 ・， 代 上 恒 映 ， ，， ＢＨ＿ ， ｌ 空 ｅ ． Ｉ ｌ ， ・ 的 等 射ｇ Ａ ： ÷ ，
Ｎ： Ｈ － Ｈ 为映射。设 Ｗ ： × Ｈｘ ÷ Ⅳ ２ 为极大单调映射。ｖ ，考虑下面广义非线性拟变分不等 ｆｅＨ
Ｖｏ ． １ Ｎｏ ４ １ ， ． ３
Ａｕ ． ０ １ ｇ ２ １
关于一类广义非线性拟 变分不等式
巩 娟
ｌ２０ ） １００ （ 辽宁职 业学 院， 辽宁 铁 岭
摘
要：引进 了一种新的广义非线性拟变分不等式，使用预解算子技术建立了与其等价的不动点问题。利用
这一等价关系， 提出了两种迭代算法， 并证明 了带有极大单调映射的广义非线 性拟变分不等式的解的存在性定理 ，
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｅ ｖ ｒｉｎ ｏ ｅ ｅａ ｏ ｌ ｅ ｒｑ ａ ｉ ａｉｔ ｎ ｌｉｅ ｕ ｌ ｉｓｗａ ｎｒ ｄ ｃ ｄ Ｂｙ ｓｒ ｃ ： ｎ ｗ ｅ ｓｏ ｆｇ ｎ ｒｌ ｎｉ ａ ｕ ｓ－ ｒａｉ ａ ｎ ｑ ａｉ ｅ ｓｉｔ ｕ ｅ ． ｎ ｎ ｖ ｏ ｔ ｏ ｕ ｉｇｔ ｅｔｃ ｎｑ ｅｏ ｓ ｌｅ ｔ ｐ ｒｔｒ ｔｅｐ ｏ ｌｍ ｎｔｅｆｘ ｄｐ ｉｔ ｑ ａ ａｕ ｓｅｔｂｉｈ ｄ ｓｎ ｈ ｉｕ ｆ ｅ ｏｖ ｎ ｅａｏ ，ｈ ｒ ｂｅ ｏ ｅ ｏ ｎｓｉ ｅ ｕ ｌ ｌｅｗａ ｓ ｌ ｅ ． ｈ ｅ ｒ ｏ ｈ ｉ ｎ ｖ ａ ｓ Ｗ ｉ ｕ ｈ ｅ ｕｖ ｌｎ ｅ ｔ ｉ ｅｅ ｔｔｒｔ ｅａｇ ｒｔｍｓｗｅｅｎ ｔ ｎｙｓ ｇ ｅ ｔｄ ｂ ｔ ｌｏ ｔｅｓ ｌｔ ｎ ｈ ｔ ｓ ｃ ｑ ｉａｅ ｃ ，ｗｏｄｆ ｒｎ ｅａｉ ｌｏ ｉ ｉ ｖ ｈ ｒ ｏ ｌ ｕ ｇ ｓｅ ， ｕ ｓ ， ｏｕｉ ｏ ａ ｈ ｏ ｅ ｉｔｎ ｅ ｔｅ ｒｍ ｎ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒｌｎ ｎｉｅ ｕ ｓ－ ａｉｔ ｎ ｌｉｅ ｕ ｌｉｓ ｗｉ ｘｍｕ ｏ ｏｏ ｅ ｘｓｅ ｃ ｈ ｏ ｅ ｏ ｅ ｅ ｏ ｌ ａ ｑ ａ ｉ ｒａｉ ａ ｎ ｑ ａｉｅ ｔ ｍａ ｉ ｍ ｍ ｎ ｔｎ ｈ ａ ｎｒ ｖ ｏ ｔ ｈ ｍａ ｐｎ ｓＷａ ｒ ｖ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅ ｆｒｓｑ ｅ ｃ ｅ ｅ ｔｄ ｂ ｅ ａｇ ｒ ｈ ｓｗａ ｅｉ ｅ 。 ｅ ｐ ｉｇ ｓ ｐ ｏ ｅ ． ｈ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｏ ｅ ｕ ｎ ｅ ｇ ｎ ｒ ｅ ｙ ｔ ｌｏｉ ｍ ｓｖ ｒ ｄ Ｔ ａ ｈ ｔ ｉ ｆ ｈ ｃ ｎ ｌ ｉｎ ｅｅ ｙｈ ｖ ｏ ｕａｉｅ ｕ ｅ ｆ ｎ ｗｎｃ ｎ ｌ ｓｏ ｓ ｏ ｃｕ ｏ ｓｈ ｒｂ ａ ｅｐ ｐ ｌ ｚ ｄａｎ ｍｂ ｒ ｏ ｏ ｃｕ ｉｎ ． ｓ ｒ ｏｋ
证明 设 ，为日 中任意 元素 ，定义 映射 Ｇ： － Ｈ ｙ Ｈ － ）
２８ ６
辽宁工业大学学报 （ 自然科 学版）
第 ３ 卷 ｌ
Ｇ ） （ ＋ ｛一ｇ ｒｘ 【 — ） ｐ （ ， ＋ 厂 ， ｘ （ ＝１ ） （— ） （ ｍｘ ＮＡ ） 】 Ｖｅ 一 ｅ＋ ｇ — ｘ ｊ Ｈ
定 义 ３ 设 ： Ｈ Ｈ，Ｎ ： ｘＨ Ｈ 为映射 ，称 ｜ Ｈ ７ ＼ ， （） １ 关于 第一变 元 为利普 希 兹连续 ，如 果存 在常 量 ＞０ 满足
Ｉ（ｚ Ｎｙ ） ｌ ｙ， Ｙ Ｅ Ｉ ｘ ） （ｚＩ ｌ ｌ Ｎ ，－ ，ｌ ｘ Ｉ ， ≤ｓ － ，Ｚ Ｈ
（） ２ 关于 在 第一变 元 强单调 ，如果存 在 常量 ｃ ０ ≥ 和ｄ≥ ０满 足
第 ３ 卷第 ４期 ｌ
２ ０ｌ １年 ８ 月
辽 宁工业 大学学报 （ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｏ ｉｇＵ ｉｅ ｉ ｆ ｅｔ ｌｇ （ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏ ｒａ Ｌ ａｎｎ ｎｖ ｒ ｔ ｏ Ｔ ｃｍｏｏ ｙＮａｕａ Ｓ ｉ ｅ ｉｏ ） ｏ ｓｙ ｎ Ｅ ｉ
定 理 １ 设 Ａ Ｂ ｇ， ： － 为利 普希 兹连续 ，系 数分 别 为 口 ｂ Ｐ ｇ： ｇ一， 为 强单 调 ，系数 为 ， ，， ｍ Ｈ － － － ） ，， ， ， ｌ
ｍ 关 于 ｇ松 弛单调 ， 系数 为 ． 设 Ｎ ： × 假
关 于第 一 、 二变元 为利 普希 兹连 续 ， 第 系数分 别为 ｆｋ， ，
Ｋｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒ ｕ ｓ— ａ ｉｔ ｎ ｌ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ； ｔｒ ｔ ｅ ａｇ ｒｔ ｍ； ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ； ｙ ｗｏ ｄ ： ｏ ｌ ａ ａ ｉ ｒ ｉ ａ ｅ ｕ ｌ ｉｓ ｉ ａｉ ｌ ｏ ｈ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｎ ｑ ｖ ａ ｏ ｉ ｔ ｅ ｖ ｉ ｒ ｓ ｌｅ ｔ ｐ ｒｔｒ ｅ ｏｖ ｎ ｅａｏ ｏ
Ｑｕ ｓ Ｖ ｒａ ｏ ａ ｅ ｕ ｌ ｅ ａｉ ａ ｉｔ ｎ ｌｎ ｑ ａｉ ｓ － ｉ Ｉ ｉ ｔ
ＧＯＮＧ ｕａ Ｊ ｎ
（ ｉ ｏ ｉｇ Ｖ ｃ ｔ ｎ ｌ ｏ ｌ ｅ Ｔｉｌ ｇ １ ２ ０ ， ｉａ） Ｌ ａ ｎ ｎ ｏ ａ ｉ ａ ｌ ｇ ， ｅ ｉ １ ０ ０ Ｃｈ ｎ ｏ Ｃ ｅ ｎ
其中 ∈（， 为常量，Ｅ￣ ｇ和 ｍ是利普希兹连续的且 ｇ一 是强单调的，由此 Ｏ１ 】 ｈ：
ｌ （ ， ＋ —）＜ 一，（ ９］ｌｙ －一 一） （ ｍ ｌ ｌ ２ ｐ ）￣ —ｌ ｇ ， ｇ ｙ ｈ ． ＋ ｌ １ ｌ ￣ ＋ ｘ
注 意
ｌ Ⅳ ， 一 （ ， ） ＝ — 【（ ）ＮＡ Ｂ ］ — ｙ ｘｌ
算法 １ 设 ｇ ｍ， Ｂ： ， Ａ， Ｈ Ｈ，Ｎ ： ｘＨ － Ｗ ： － ，ｆ∈Ｈ ． 定 ∈ ，按 照 下面 的迭代 Ｈ ９Ｈ， Ｈ ９２ 给
格式 算 计 序列｛ 。 ） ： ＞
肘＝１ ） ｄ． （ ｍ 【 — ）一 ＮＡ ｕ＋ 】 ≥ ｌ（ － ｛ 一 — ） ＋ （ ｍ ｐ （ ， 】 ０ 一 ｔｌ ｇ ｕ １ｌ ｇ ｕ ｕＢ ） ，
其 ｛ ）。 ［ｌ 任 序 满 ∑６＝－． 中 ｃｏ】 意 列 足 １ － ＞ ，为 ｔ ｏ ｏ
ｎ＝０
算 法 ２ 设 ｇ ｍ， Ｂ： － Ｈ，Ｎ ： × ， ， Ｈ － － － ） Ⅳ
， ： － ２ ．∈Ｈ ． 定 ｌ ∈Ｈ ，按照 下面 的迭代 Ｗ Ｈ － ，， ） ｒ 给 ／ ｏ
变分不 等式 理论在 力学 、经济学 、优 化和 工程 学等学 科 中有着 重要 的应 用 。某 些研 究者【４ １Ｊ 不动 点 ．使用 定理 研究 过多种 变分 不等式 ，拟 变分不 等式和 变分 包含 的解 的存在 性 。
本文引进了一类新 的广义非线性拟变分不等式，其包括已知的某些变分不等式和拟变分不等式为特例
注记 １ 容 易看 出广义 非线 性拟 变分 不等 式 （） １包含 许 多类变 分不 等式 和拟 变 分不等 式 作 为特殊 情 ¨
况。
现在 回顾 下面 的定 义 。
定义 ｌ 设 Ｗ ： 【 Ｈ ２ 为极 大单 调映射 ， Ｖ ＞０，Ｗ 的预解 算子 定义 为
＝（ ＋ ， ） Ｖ ｅ ～ ，＇ ｘ
格式 序列｛ ： 计算 ） 。 ＞
ｌ 一（ ） ＋ ［ ＝ ｇ一 （ ｇ—ｍ ｕ ～ Ｎ（ ｕ， ， ＋ 】 Ｖ ） ｐ Ａ ， ≥ ０ ｚ）
２ 解的存在惟一性及算法的收敛性
现 在证 明广义 非线 性拟 变分 不等 式 （） １的解 的存 在 唯一性 和算 法 １ ２的收敛 性 。 和