移动荷载下三维半空间动力安定性下限分析

Dynamic shakedown lower-bound analysis of three-dimensional half-space under moving load
WANG Yong-gang1, 2, QIAN Jian-gu1, 2
(1. Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University, Shanghai 200092, China)
交通工程中的路面、路基材料长期处于车辆往 复移动荷载作用下，由于交通荷载引起的过大变形 往往会导致路面沉降过大，进而引起道路结构的破 坏。当移动荷载值足够小时，仅有弹性变形发生， 这就是所谓的纯弹性状态。当荷载稍大时塑性变形 在荷载施加的初期会不断发展，但当荷载往复一定
收稿日期：2015-10-17 基金项目：国家自然科学基金（ No. 41272291, No. 51238009, No. 51578413） 。 This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (41272291, 51238009, 51578413). 第一作者简介：王永刚，男，1989 年生，博士，主要从事交通岩土工程的研究。E-mail: 1130626@tongji.edu.cn 通讯作者：钱建固，男，1972 年生，博士，教授，博士生导师，从事软土力学与本构理论研究。 E-mail: qianjiangu@tongji.edu.cn
[4]
式中：c为黏聚力； 为内摩擦角。 上述表达式可简化为
f ( xx M ) 2 N ≤0
（4）
式中：
e e e M xx zz 2 tan (c zz tan )
（5） 2 e 2 e 2 N 4(1 tan )[( xz ) (c zz tan ) ]
xx xz 0, x z (在 上) xz zz 0, x z
[5]
都是将弹性应力场当成静应
力场处理，然而真实的交通荷载引起的应力场并非 静应力场这么简单，速度效应会导致应力的变化， 相关学者 [1314] 研究表明速度对动应力的影响不可 忽略。动应力的变化将引起残余应力场的变化，并 造成安定性系数的变化，在此基础之上本文分析速 度对安定性下限值的影响。 在文献[10]提出的精确安定性下限值求解的基 础上，通过分析残余应力与安定性极限值的关系， 本文提出基于动力安定性极限精确值的算法，并将 低速运动下的安定性极限值对现有的静力安定性分 析分法的结果。通过建立三维动力分析模型，得到 了不同移动速度下的弹性应力场，构造了不同速度 作用下的不随时间变化的残余应力场，利用安定性 下限理论求解出了不同速度下的安定性值，同时分 析了荷载分布形式对安定性的影响。
（1）
式中：z为荷载下方深度方向；为弹塑性体内部。 由于前进方向应力不发生变化，所以
xx 0 ； xz 0 ； zz 0 x x x
（2）
采用平面应力下的摩尔-库仑屈服准则：
e e 2 e 2 f ( xx xx zz ) 4( xz ) 1/2
1
引
言
次数之后，塑性变形便不在累积，在此荷载作用下 路面的变形都是可恢复的弹性变形就是弹性安定状 态[1]。 如果结构受到一个大于安定极限的循环荷载， 其在每一个循环中总呈现塑性应变，应变累积十分 缓慢，以至于最后发生塑性循环破坏（塑性变形多 次反复引起的疲劳破坏）或塑性应变累积破坏（结 构因塑性应变累积而破坏） 。对于交通工程的设计， 交变塑性破坏状态和增量破坏状态都是不允许出现
若要使得结构安定，则必然有 f < 0，因此得到
N≤0 2≤

e xz
c e zz tan
（6）
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岩
土
力
学
2016 年
式中： 2 为初始安定性系数。 方程的根：
12] [2]
力）作用下系统的弹性解。之所以称之为虚构的，是 因为材料模型是纯弹性的，并且材料的弹性解没必 要一定要从真实的初始条件下求得的，第一动力安 定性涉及到求解一个最优解 使得外部荷载作用下 e 结构能够安定， max{ | f ( ij ( x, t ) ij )≤0, ≥0 ，

e e ( xx xx zz )sin 2ccos ≤0
（3）
2
动力安定性理论
2.1 第一动力安定性理论分析方法 对于高频荷载或是随时间变化的荷载，适宜采 用动力学安定性理论，根据 Ceradini 等 提出的第 一动力学安定性理论，分析了不同移动速度下材料 的安定性极限值。 第一动力学安定性理论是指如果存在一个虚 构的位移 u * 、 应变 * 、 应力 * 和一个与时间 t 无关 的残余应力场 ij ，使得处处不违背屈服准则 f，则 结构将会安定。 虚构的位移 u * 、 应变 * 、 应力 * 是 指在外部的往复荷载 （包括外部力和外部变形引起的

e 其中为荷载乘子， ij 为由单位大小的外载引起的
弹性应力，x为荷载移动方向。 与静力安定性不同的是动力理论需要考虑外 载作用的时间， 从而求出随时间变化的动弹性应力。 在第一动力安定定理中，如果以一定的初始条件计 算出的线弹性应力场与一残余应力场迭加后在任何 时刻处处不违背屈服条件，则结构一定安定。 2.2 移动荷载下安定性界定方法 对于安定性分析中残余应力场的构造， Sharp 等 提出了二维 Hertz 荷载作用下的残余应力的构 造， Yu [15]指出在三维 Hertz 荷载作用下不安定现象 主要发生在荷载中心下方的平面内，因此三维安定 性分析主要是分析三维应力状态下的该平面内的应 力。 忽略自重的情况下平衡方程：
摘 要：针对交通移动荷载，基于第一动力安定性理论预测了弹塑性半无限空间动力安定性下限值。通过建立无限元边界的 三维动力有限元模型，研究了移动荷载作用下弹塑性半无限空间的动应力分布，构造了稳态动应力下的残余应力场，基于残 余应力场的构造提出了动力安定性下限值的预测方法， 分析了交通动应力下的安定性下限值以及车辆移动速度对安定性的影 响，同时分析了均布荷载和 Hertz 荷载分布对动力安定性下限值的影响。当荷载移动速度低于 Rayleigh 波速时，安定性极限 值随着速度的增加而增加，而当速度超过 Rayleigh 波速时，随着速度的增加而减小。研究还发现，当荷载和总重相等时采用 圆形均布荷载和 Hertz 荷载的安定性极限值较为相似。 关 键 词：动力安定性；下限；半空间；无限元边界；移动速度 中图分类号：TU 416；O 242.21 文献识别码：A 文章编号：1000－7598 (2016) 增 1－0570－07
增刊 1
王永刚等：移动荷载下三维半空间动力安定性下限分析
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的，纯弹性状态的设计由于不能考虑材料的塑性行 为，偏于保守，因此基于弹性安定性界限的设计具 有非常重要的经济和安全意义。 过去几十年来，国内外学者针对安定性理论做 了大量的研究。1938 年 Melan 提出的下限安定理 论和 1960 年 Koiter[3]提出的上限安定理论构成了安 定性理论的研究基础。 Ceradini[4]首先提出了动力安 定的概念，并证明了基于下限定理的弹塑性体的第 一动力安定定理。近些年来，在岩土工程与交通工 程研究领域内，基于安定性理论的道路工程设计受 到了广泛的关注。Sharp 等[5]1984 年引入了基于下 限理论的圆锥法，探讨了移动荷载下半无限空间的 安定性，此后更多的基于安定性下限研究的道路设 计理论[69]被提出。Yu 等[10]提出了安定性精确值的 求解办法， 在动力安定性的应用领域内， Arvin 等[11] 将 Yu 等[12]的静力安定方法应用于边坡的动力安定 性分析中。 以往的求解[510,
Abstract: This paper predicts the lower-bound shakedown limit of an elastoplastic half-space under traffic loads based on the first dynamic shakedown theory. A three-dimensional finite element model with infinite element boundaries is built. And then the model is used to analyze the dynamic elastic stress under different speed moving loads, and a steady residual stress field is constructed through the dynamic elastic stress. A method to predict the dynamic shakedown limits through analyzing the residual stress is proposed as well. Then the lower-bound shakedown limits of half-space under dynamic traffic load and the influence of speed on shakedown limits are discussed. Meanwhile, the difference of shakedown limits between uniform load and Hertz load are studied. In addition, the shakedown limits will increase with the growth of moving speed when the load speed is lower than Rayleigh wave speed, otherwise the shakedown limits will decrease with the growth of moving speed when the load speed is faster than Rayleigh wave speed. It is also found that shakedown limits of uniform load and Hertz load are similar when the total weight load of this two load manners are the same. Keywords: dynamic shakedown; lower-bound; half-pace; infinite element boundaries; moving speed
第 37 卷增刊 1 2016 年 6 月
DOI： 10.16285/j.rsm.2016.S1.074
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.37 Supp.1 Jun. 2016
移动荷载下三维半空间动力安定性下限分析
王永刚 1, 2，钱建固 1, 2
（1. 同济大学 地下建筑与工程系，上海 200092；2. 同济大学 岩土及地下工程教育部重点实验室，上海 200092）