第一节 系统微分方程

机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
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第三章 系统数学模型
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第三章 系统数学模型
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第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
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第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
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1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
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第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。
d 2uc duc T1T2 2 (T1 T2 T3 ) uc ur dt dt
（3-2）
机械工程控制基础 例3-3:
第三章 系统数学模型
kd-反电势常数 Km-电磁力矩常数
图3-3
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第三章 系统数学模型
图3－3
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第三章 系统数学模型
2. 2. 机械系统 机械系统
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第三章 系统数学模型
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第三章 系统数学模型
1. 电学系统
例3-1 图3-1为一电路，试写出输入电压与输出电压之间的微 分方程式。
图3-1 电路网络 解: 根据基尔霍尔夫定律，可写出下列方程组
di iR L u c u r dt
1 u c idt C
(i
1
i2 )dt i1 R1 u r
1 i2 dt i2 R2 C1
(i
1
i2 )dt
i
2
dt u c
消去中间变量 i1、i2 ,得
或写为
d 2uc duc R1 R2 C1C 2 2 ( R1C1 R2 C 2 R1C 2 ) uc ur dt dt
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第三章 系统数学模型
第一节 系统微分方程
主讲人 ：王
辉
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第三章 系统数学模型
一、控制系统的数学模型 研究一个自动控制系统，单是分析系统的作 用原理及其大致的运动过程是不够的，还必须同 时进行数量上的分析，才能做到深入掌握自动控 制系统运动规律的实质，才能将理论有效的应用 到实际工程中去。
四、相似原理
图3－7 机械系统
图3－8 RLC网络
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第三章 系统数学模型
用解析法建立系统微分方程式的一般步骤是： (1) 确定系统和各元件的输入量和输出量； (2) 根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中 每个元件的输入与输出的微分方程式； (3) 在所有元件的方程中消去中间变量，从而求得 描述系统输入与输出关系的微分方程式。 (4) 整理所得的微分方程。将与输出有关的项放在 方程的左侧，与输入有关的项放在方程的右侧， 各阶导数按降幂排列
4、数学模型的类型
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第三章 系统数学模型
5、系统数学模型的建立方法 分析法：从元件或系统所依据的物理或化学 规律出发，建立数学模型并经实验验证。如电学 上的欧母定律，力学上的牛顿定律等 实验法：根据实验数据，拟合出比较接近实 际的数学模型。如：对实际系统加入一定形式的 输入信号，用求取系统输出响应的方法建立数学 模型。
例:3-4
图3－4 机械系统
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例:3-5
第三章 系统数学模型
图3－5 机械系统
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第三章 系统数学模型
三、 非线性微分方程的线性化
机械工程控制基础 例:3-6
Байду номын сангаас
第三章 系统数学模型
图3－6 液压伺服机械
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第三章 系统数学模型
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第三章 系统数学模型