河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷含解析

河北省保定市2021届新高考数学第一次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．8π
C ．642+
D ．8
3
π
【答案】B 【解析】 【分析】
由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【详解】
根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体
对角线就是外接球直径，则2222
(2)4228R R ==+=，那么2
48S R ππ==外接球.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题.
2．已知直线y ＝k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，直线y ＝2k （x ﹣2）与抛物线D ：y 2＝8x 交于M ，N 两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ） A ．λ＜﹣16 B ．λ＝﹣16
C ．﹣12＜λ＜0
D ．λ＝﹣12
【答案】D 【解析】 【分析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得244AB k =+，2
4
4AB k =+，然后计算，可得结果.
【详解】
设()()1122,,,A x y B x y ，
联立()
22222
12404y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨=⎩（
） 则21222
244
2k x x k k
++==+， 因为直线()1y k x =-经过C 的焦点， 所以122
4
4x x k A p B =++=+. 同理可得228MN k
=+
， 所以41612λ=-=- 故选：D. 【点睛】
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。

3
．已知函数21()log 1||f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
(lg )3f x >的解集为（ ）
A ．1,1010⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．1,(10,)10⎛
⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
C ．(1,10)
D ．1,1(1,10)10⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，解不等式得解. 【详解】
由题得函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.
因为()()f x f x -=， 所以()f x 为(,0)
(0,)-∞+∞上的偶函数，
因为函数1
1||y y x =
+=，都是在(0,)+∞上单调递减. 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减. 因为(1)3,(lg )3(1)f f x f =>=， 所以1lg 1x -<<，且lg 0x ≠，
解得1,1(1,10)10x ⎛⎫
∈⋃ ⎪⎝⎭
. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）
A ．12P P <
B ．12P P >
C ．12P P =
D ．大小关系不能确定
【答案】B 【解析】 【分析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：
()4
cos sin 21x x dx π
-=
⎰，
于是此点取自阴影部分的概率为)
()121
42141.41122 3.22
P ππ-=⨯=>=． 又211
12
P P =-<，故12P P >． 故选B ． 【点睛】
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 5．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3
n n
b a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ）
A ．3-
B ．13
- C ．1 D ．3
【答案】D 【解析】
【分析】
在等差数列{}n a 中,利用已知可求得通项公式29n a n =-,进而3293n n b a n =-=,借助()329
f x x =-函数的的单调性可知,当5n =时, n b 取最大即可求得结果. 【详解】
因为5679a a a ++=，所以639a =，即63a =，又25a =-，所以公差2d =，所以29n a n =-，即
329n b n =
-，因为函数()3
29
f x x =-，在 4.5x <时，单调递减，且()0f x <；在 4.5x >时，单调递减，且()0f x >.所以数列{}n b 的最大值是5b ，且53
31b ==，所以数列{}n b 的最大值是3.
故选:D. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易. 6．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）
A ．
2
B ．
C ．
12
D ．12
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质和已知可得623
a π=，即可得到9343a a π
+=，代入由诱导公式计算可得．
【详解】
解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623
a π
=， 9633
24a a a π+=
=∴，
()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛
⎫=+=-= =⎪⎝
+⎭ 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
7．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )
A ．16163
π+
B ．8163
π+
C ．
32833
π+ D ．
321633
π+ 【答案】B 【解析】
该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2，底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4，底面半径为2，则其体积为111
V 44244223
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯， 8
163
π=+.
故选B
点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 8．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，
,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）
A ．
34
B ．
13 C ．12
D ．
14
【答案】A 【解析】 【分析】
如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，根据正四面体的性质可得3
4
AO AF =，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出x y z ++的值. 【详解】
如图设AF ⊥平面BCD ，球心O 在AF 上，由正四面体的性质可得：三角形BCD 是正三角形，
222131()323BF =-=，22361()33
AF =-=
，在直角三角形
FOB 中，
222222636
(
)()334
OB OF BF OA AO AO =+⇒=-+⇒=
， 3
4
AO AF =
，=+AF AB BF ，AF AD DF =+，AF AC CF =+，因为F 为重心，因此0FB FC FD ++=，则3AF AB AC AD =++，因此()
14AO AB AC AD =++，因此1
4
x y z ===，
则3
4x y z ++=，故选A.
【点睛】
本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，
1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则
1
1
MD MB 的值为（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
12
D ．
23
【答案】B 【解析】 【分析】
作出图形，设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、
1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，推导出11//B P C G ，由线面平行的性质定理可得出1//C G DF ，可得出
点F 为11C D 的中点，同理可得出点E 为11A D 的中点，结合中位线的性质可求得1
1
MD MB 的值. 【详解】 如下图所示：
设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，
四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，
∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，
11//B C BC 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，
若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，
1C G ⊂平面11CDD C ，平面11CDD C 平面DF α=，1//DF C G ∴，
1//C F DG ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得11111
22
C E DG C
D C D ===，
F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =，11
1111
24MD D N B D ∴==，因此，111
3
MD MB =. 故选：B. 【点睛】
本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面α与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）
A ．1
B ．2-
C ．
12
D ．12
-
【答案】C 【解析】 【分析】
以,BA BC 为基底，将,AD BE 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】 22
2,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ==
=-=-, 11
,22AE EC BE BC BA =∴=
+, 211
()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+
22
111362BC BC BA BA =-⋅- 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.
11．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
【答案】A 【解析】 【分析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
12． “2b =”是“函数()()
2
231f x b b x α
=--（α为常数）为幂函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数定义，求得b 的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断. 【详解】
∵当函数()()
2
231a
f x b b x =--为幂函数时，22311b b --=，
解得2b =或12
-
， ∴“2b =”是“函数()()
2
231a
f x b b x =--为幂函数”的充分不必要条件.
故选：A. 【点睛】
本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．抛物线24y x =上到其焦点F 距离为5的点有_______个． 【答案】2 【解析】 【分析】
设符合条件的点00(,)P x y ,由抛物线的定义可得015PF x =+=,即可求解. 【详解】
设符合条件的点00(,)P x y ,则00015,4,4PF x x y =+=∴==±,所以符合条件的点有2个. 故答案为:2 【点睛】
本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径.
14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则9
4
S a =______. 【答案】18 【解析】 【分析】
先由712a a =-，可得12a d =-，再结合等差数列的前n 项和公式求解即可. 【详解】
解：因为711+62a a d a ==-，所以12a d =-，()19544194992183a d S a d a a a d d
+⨯====+. 故答案为：18. 【点睛】
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前n 项和公式，属基础题. 15．如图，在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且3AC AE =，P 为BE 上一点，且满足
(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
13
3n m
++的最小值为______．
【答案】15 【解析】
试题分析：根据题意有3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，因为,,B P E 三点共线，所以有31m n +=，从而有
13139(3)()33m n m n n m n m n m
+=++=+++62912≥+=，所以的最小值是
12315+=．
考点：向量的运算，基本不等式．
【方法点睛】该题考查的是有关应用基本不等式求最值的问题，属于中档题目，在解题的过程中，关键步骤在于对题中条件的转化3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，根据,,B P E 三点共线，结合向量的性质可知31m n +=，从而等价于已知两个正数的整式形式和为定值，求分式形式和的最值的问题，两式乘积，最后应用基本不等式求得结果，最后再加3，得出最后的答案．
16．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2
π
α+的值等于______________ .
【答案】45
- 【解析】 【分析】
根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论. 【详解】
由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，
当cos α=
时，则sin α=
此时4
cos 2sin 222555
παα⎛⎫
+
=-=-⨯=- ⎪
⎝
⎭；
当cos α=时，则sin 5
α=-，
此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛
⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 综上，4cos 225πα⎛
⎫+=- ⎪
⎝
⎭. 故答案为：45
-. 【点睛】
本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为增强学生的法治观念，营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围，某学校开展了“宪法小卫士”活动，并组织全校学生进行法律知识竞赛．现从全校学生中随机抽取50名学生，统计他们的竞赛成绩，已知这50名学生的竞赛成绩均在[50，100]内，并得到如下的频数分布表：
（1）将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”，竞赛成绩在[50,70)内定义为“不合格”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关？
（2）在（1）的前提下，按“竞赛成绩合格与否”进行分层抽样，从这50名学生中抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生竞赛成绩都合格的概率．
参考公式及数据：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
【答案】（1）见解析；（2）10
P = 【解析】 【分析】 【详解】
（1）补充完整的22⨯列联表如下：
则2K
的观测值250(1261418)225
4.327 3.8413020242652
k
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格”与“是否是高一新生”有关． （2）抽取的5名学生中竞赛成绩合格的有5
30350
⨯=名学生，记为,,a b c ， 竞赛成绩不合格的有5
20250
⨯
=名学生，记为,m n ， 从这5名学生中随机抽取2名学生的基本事件有：,,,,,,,,,ab ac bc am an bm bn cm cn mn ，共10种， 这2名学生竞赛成绩都合格的基本事件有：,,ab ac bc ，共3种， 所以这2名学生竞赛成绩都合格的概率为310
P =
． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，M 是PA 的中点，PD ⊥平面ABCD ，且
4PD CD ==，2AD =．
（1）求AP 与平面CMB 所成角的正弦． （2）求二面角M CB P --的余弦值．
【答案】 (1) 45
. (2)
310
10
. 【解析】
分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可. 详解：
（1）∵ABCD 是矩形， ∴AD CD ⊥，
又∵PD ⊥平面ABCD ，
∴PD AD ⊥，PD CD ⊥，即PD ，AD ，CD 两两垂直，
∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图空间直角坐标系，
由4PD CD ==，2AD =，得()2,0,0A ，()2,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()0,0,4P ，()1,0,2M ， 则()2,0,4AP =-，()2,0,0BC =-，()1,4,2MB =-， 设平面CMB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，
则1100
BC n MB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111120420x x y z -=⎧⎨+-=⎩，令11y =，得10x =，12z =， ∴()10,1,2n =，
∴111
84
cos ,5
255AP n AP n AP n ⋅=
=
=⋅⋅，
故AP 与平面CMB 所成角的正弦值为45
． （2）由（1）可得()0,4,4PC =-，
设平面PBC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，
则2200BC n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即22220440x y z -=⎧⎨-=⎩，令21y =，得20x =，21z =，
∴()20,1,1n =， ∴123310
cos ,1052
n n =
=⋅， 故二面角M CB P --的余弦值为
310
10
． 点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.
19．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，
//AD BC ，22AB AD BC ===，E 为PB 的中点，连接DE ，F 为DE 的中点，连接AF .
（1）求证：⊥AF PB .
（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）21
7
【解析】 【分析】
（1）连接AE ，证明PB AD ⊥，AE PB ⊥得到PB ⊥面ADE ，得到证明.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，()1,1,2n =-为平面AEC 的法向量，平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =，计算夹角得到答案.
（1）连接AE ，在四边形ABCD 中，DA AB ⊥，PA ⊥平面ABCD ，
AD ⊂面ABCD ，AD PA ∴⊥，PA AB A =，AD ∴⊥面PAB ，
又PB ⊂面PAB ，PB AD ∴⊥，
又
在直角三角形PAB 中，PA AB =，E 为PB 的中点，
AE PB ∴⊥，AD AE A ⋂=，PB ∴⊥面ADE ，AF ⊂面ADE ，AF PB ∴⊥.
（2）以PA ，AB ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，
()2,0,0P ，()0,2,0B ，()1,1,0E ，()0,2,1C ，()0,0,0A ，()0,0,2D ，
设(),,n x y z =为平面AEC 的法向量，()0,2,1AC =，()1,1,0AE =，00
n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，200y z x y +=⎧∴⎨+=⎩，令
1x =，则1y =-，2z =，()1,1,2n ∴=-，
同理可得平面DEC 的一个法向量为()3,1,2m =. 设向量m 与n 的所成的角为θ，31421
cos 7614
θ-+∴=
=⨯， 由图形知，二面角A EC D --为锐二面角，所以余弦值为
21
7
. 【点睛】
本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
20．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超
（1）求发酵池AD 边长的范围；
（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36
025
b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭时，30152
b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】 【分析】
（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛
⎫=⨯+⨯⋅+ ⎪⎝
⎭，解()65400f x ≤即可得解；
（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】
（1）由题意知:矩形ABCD 面积450
2252
S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:225
0x x
≥
>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，
则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，
所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫
=++=+++∈
⎪⎝⎭
，
()22
2900(),[15,25]bx S x x x
-'=
∈
①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36
025
b <≤
时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，3015,x b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0S x '<，()S x 递减；30,25x b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()S x S x '>递增， 因此3030b x b b
=
=，即3015,2b b
AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小； 综上所述：当36025b <≤
时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，3015,2
b b
AD AB b =
=
时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【点睛】
此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况. 21．某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间[
)20,40内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表. 图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表 质量指标值 [)15,20
[)20,25
[)25,30
[)30,35
[)35,40
[)40,45
频数
2
18
48
14
16
2
（1）求图中实数a 的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[)25,30内的定为一等
品，每件售价240元；质量指标值落在区间[)20,25或[)30,35内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）0.080a =（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出a 值； （2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为
111
,,236
.，选2件产品，支付的费用X 的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望． 【详解】
解：（1）据题意，得0.00850.032550.02450.03650.02051a ⨯+⨯++⨯+⨯+⨯= 所以0.080a =
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为111
,,236
. 随机变量X 的所有取值为240，300，360，420，480.
()111
2406636P X ==⨯=
()1
2111300369P X C ==⨯⨯=
()1
211115360263318P X C ==⨯⨯+⨯=
()1
2111420233P X C ==⨯⨯=
()111
480224
P X ==⨯=
随机变量X 的分布列为
所以()11511
2403003604204804003691834
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元） 【点睛】
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
22．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤； （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．
14.5≈，若()2,X
N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，
()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为
1
2
，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得352545150552006525075225851009550
651000
μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，
易知14.5σ=
≈，36652965214.52μσ∴=-=-⨯=-，
79.56514.5μσ=+=+，
()()()()
3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827
022.818622
P X P X μσμσμσμσ+=
==-<≤++-<≤+；
（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，
()13320248P X ==⨯=，()1113313
402424432P X ==⨯+⨯⨯=，
()113360224416P X ==⨯⨯⨯=，()1111
8024432
P X ==⨯⨯=.
所以，随机变量X 的分布列如下表所示：
所以，随机变量X 的数学期望为204060808
3216322
EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
23．已知函数()sin x f x ae x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数. （1）当1a =时，证明：对[0,),()1x f x ∀∈+∞； （2）若函数()f x 在0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上存在极值，求实数a 的取值范围。

【答案】 (1)见证明；(2) ()0,1a ∈ 【解析】 【分析】
（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；
（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a 分类讨论，分别研究a 的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．
【详解】
(1)当1a =时，()sin x f x e x =-，于是，()cos x
f x e x '=-. 又因为，当()0,x ∈+∞时，1x e >且cos 1x ≤.
故当()0,x ∈+∞时，cos 0x e x ->，即()0f x '>.
所以，函数()sin x
f x e x =-为()0,+∞上的增函数，于是，()()01f x f ≥=. 因此，对[
)0,x ∀∈+∞，()1f x ≥； (2) 方法一：由题意()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值，则()cos x f x ae x '=-在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点， ①当()0,1a ∈时，()cos x f x ae x '=-为0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭
， 所以，存在唯一实数00,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00f x '=成立. 于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛⎫ ⎪⎝
⎭上的增函数； 所以00,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
为函数()f x 的极小值点； ②当1a ≥时，()cos cos 0x x f x ae x e x ≥-'=->在0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
上成立， 所以()f x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有极值； ③当0a ≤时，()cos 0x f x ae x =-<'在0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
上成立， 所以()f x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在0,
2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有极值， 综上所述，使()f x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上存在极值的a 的取值范围是()0,1. 方法二：由题意，函数()f x 在0,2π⎛
⎫
⎪⎝⎭上存在极值，则()cos x f x ae x '=-在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点.
即cos x x a e =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点. 设()cos x x g x e =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则由单调性的性质可得()g x 为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的减函数. 即()g x 的值域为()0,1，所以，当实数()0,1a ∈时，()cos x f x ae x '=-在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点. 下面证明，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上存在极值. 事实上，当()0,1a ∈时，()cos x f x ae x '=-为0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上的增函数， 注意到()010f a -'=<，202f a e ππ⎛⎫=⋅> ⎪'⎝⎭，所以，存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 使得()00f x '=成立.于是，当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 为()00,x 上的减函数； 当0,2x x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为0,2x π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上的增函数； 即00,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
为函数()f x 的极小值点. 综上所述，当()0,1a ∈时，函数()f x 在0,
2π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上存在极值. 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．。