一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍

一维正态分布随机数序列产生的几种方法介绍
【摘要】正态分布在数理统计中具有基础性的作用，因此产生高质量的正态分布有重要的意义。

我们将介绍几种数值方法求正态分布：中心极限定理，Hasiting 有理逼近法，统计工具箱，反函数法，舍选法，R 软件及一维正态随机数的检验。

【关键词】正态分布；一维；随机数。

一．利用中心极限定理
中心极限定理：（一般 n≥10），
产生服从N(μ,σ2)的算法步骤：
（1）产生n 个RND 随机数：r 1，r 2，…，r n ；
（2） (3) 计算 y =σx +μ ，y 是服从 N(μ,σ2) 分布的随机数。

原理分析：
设ζ1，ζ2，…，ζn 是n 个相互独立的随机变量,且ζi ～U(0,1), i = 1,2, …,n, 由中心极限定理知 ： ，渐近服从正态分布N(0, l )。

注意：我们现在已经能产生[0，1]均匀分布的随机数了，那么我们可以利用这个定理来产生标准正态分布的随机数。

现在我们产生n 个[0，1]均匀分布随机数，
我们有： 为方便起见，我们特别选 n = 12，则 ： 这样我们很方便地就把标准正态分布随机数计算出来了。

在C 语言中表示为：
例1：利用中心极限定理产生标准正态分布随机数并检验
% example 1
n r r r ,,,21 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∑=211121n i i r n n u ∑=-=12
16
i i r u ;
/
)(1122∑=-=n i n n i r x 计算,12
1)()(21
==i i D E ζζ，有∑=-=n
i n n i 1122/)(ζη
clc,clear
for i=1:1000
R=rand(1,12);
X(i)=sum(R)-6;
end
X=X';
m=mean(X)
v=var(X)
subplot(1,2,1),cdfplot(X)
subplot(1,2,2),histfit(X)
h=kstest(X, [X normcdf(X, 0,1)])
结果为：H=0, 接受原假设，变换后的确为标准正态分布。

二．Hasiting 有理逼近法
这是一种计算速度快，也能满足一定精度的算法。

我们可以构造分布函数反函数的近似逼近公式，来产生标准正态分布的随机数。

其计算公式为：
这里
，系数为： a 0 = 2.515517 b 1 = 1.432788
a 1 = 0.802853
b 2 = 0.189269
a 2 = 0.010328
b 3 = 0.001308
三．利用统计工具箱
在MATLAB 统计工具箱中为我们提供了大量的产生各种随机数发生器程序，我们只需要调用就可以产生我们想要的随机数。

四．反函数法
设连续型随机变量Y 的概率函数为 f (x ), 需产生给定分布的随机数.
算法:
（1）产生n 个RND 随机数r 1，r 2，…，r n ；
（2） 所得y i , i =1,2, …,n 即所求.
基本原理：
设随机变量Y 的分布函数F (y )是连续函数，而且随机变量X ～U (0,1)，令Z =F －1(X )。

则Z 与Y 有相同分布。

证明 ：F Z (z )= P {F －1(X ) ≤ z }= P {X ≤F (z )}=G (F (z )) = F (z )
因G (x )是随机变量X 的分布函数：
若Y 的概率密度为 f (y )，由Y =F －1(X )可得： 对给出定的(0, 1)上均匀分布随机数r i ，则具有给定分布的随机数 y i 可由方程
解出。

3
322122101y b y b y b y a y a a y x +++++-=)1,0(~,)ln 2(2/1U r r y -=;)(i y i y dy y f r i 中解出从等式⎰∞-=⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<=.
1,1;10,
;0,0)(x x x x x G ⎰∞
-==Y dy y f Y F X )()(⎰∞-=i y
i dy y f r )(
五．舍选法
基本思想：
实质上是从许多RND 随机数中选出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数。

设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，存在实数a <b ，使P{a <X<b }=1。

算法步骤：
(1) 选取常数λ，使λf (x )＜1，x ∈(a, b)；
(2) 产生两个RND 随机数r 1 、r 2，令y = a ＋(b －a )r 1 ；
(3) 若r 2≤λf (y )，则令x=y ；否则剔除 r 1和r 2, 重返步骤(2)，重复循环, 产生的随机数x 1，x 2，…，x N 的分布由概率函数 f (x ) 确定。

舍选法算法原理分析：
设P {a ＜Z ＜b }=1，Z 的概率密度为f (z ),
（1）选常数λ，使λf (z )≤1，z ∈(a ，b )；
（2）随机变量X 1，X 2相互独立X i ～U (0, 1),令Y 1=a +(b －a )X 1～U(a, b );
（3）若X 2≤λf (Y 1)，则令X = Y 1，否则剔除X 1，X 2重复到(2)； 则随机变量X 的分布与Z 相同。

注： 可选取有限区间(a 1, b 1)，使得 （ε是很小的正数） 例如，取 a 1=μ－3σ,b 1=μ＋3σ，有 在区间(a 1, b 1)上应用舍选法,不会出现较大的系统误差。

六．R 软件
利用R 软件，可方便地求各种常见概率分布的分布函数，分位点及生成各种常见分布的随机数等。

在各种分布名称中加上不同的前缀表示不同的意义如：p-求分布函数，q-求分位点，r 产生随机数等。

七、一维正态随机数的检验
,1)(=⎰b a
dx x f 若不满足条件：ε-≥⎰1)(11b a dx x f 003.011
122)(221->⎰σμ-σπ-dx e b a x
我们已经基本搞清伪随机数的产生原理，由于并不是真正的随机数，很自然的问题是，它们是否具有真正随机数的那些统计性质如参数大小、独立性，均匀性等等。

设：随机数具有连续的分布函数F （X ），则随机变量R=（X ）是均匀分布（0，1）的随机变量，因此如果R 通过统计检验随机变量 X 也可以通过。

因此我们以下着重讨论均匀分布R 的检验问题，再简单地讨论正态随机数检验问题。

统计推断原理：
统计量的定义：设
为 随机变量序列，则随机序列的函数称为统计量。

记为：
显然统计量 S 也是随机变量。

既然是随机变量，它们就应该有其分布或称总体的规律，当然也有各种数字特征。

例如均值、标准差、方差等等各阶矩。

我们的统计推断方式是：
（1）H 0：某假定成立；
（2）在假定成立的条件下构造统计量S ；
（3）统计量构造完毕，我们也就知道了该统计量的全部统计规律。

如它的分布函数，或密度函数各阶矩等；
（4）根据统计量的分布，在给定的显著性水平α，对统计量S 的一次抽样确定以 1-α为概率的区域，该区域称为接受域 。

如果该次抽样计算出统计量 S 的值 s 落入该领域，我们就接受原假，否则推翻原假设。

这个就是小概率事件在一次实验实际不可能发生原理。

落入由α 确定的区域是一个小概率事件，在一次实验中我们认为是不可能发生的。

统计检验中两类常用统计量的构造检验方法：
1.设随机变量 X 具有数学期望E （X ）=
，和有限方差D （X ）= ，我们抽 N n X X X ,,,21 ),,,(21n X X X S S =X N
i μ
∑-μ2σ
次样本X 1，X 2……，X N ，当N 充分大时，统计量
以 N （0，1）为极限分布，取显著水平 α = 0.05, 则拒绝为（—∞，—1.96），（1.96，∞）。

当
＞1.96，则认为差异显著，拒绝假设 E （X ）=μ 2.将样本X 1，X 2，……，N N ，按一定规则分为不相交的 K 组，记 i 组的观测频数为 n i （i=1,……，k ），若随机变量 X 落于弟 i 组的概率为 P i ，则得理论频数m i = N × P i ，由n i ，m i 构造统计量。

= 渐近服从自由度为
的分布，简记 。

这里，l 是确定概率 P 时，由子样 X 中给出的约束条件数。

为有效地进行统计检验，一般要求（4.6.2）的样本数 N ＞30；在（4.6.2）中k ≥5，m i≥5。

当统计量的自由度
时，U = ，渐近服从N （0，1）分布。

服从柯尔莫格洛夫—斯米尔诺夫的统计量 取显著性水平α= 0.05, ，可拒绝原假设。

我们可以用这种方法进行独立性，及拟合优度检验。

八、其他一维正态分布随机数序列的产生方法：
1、 直接抽样法：
由基本定理我们知道，对于有些随机变量可以建立与R 的函数关系，因此只需对R 进行抽样，利用函数的映射关系我们就可以方便地得到该随机变量的抽样了。

如前面的指数分布随机数。

2、变换抽样：
产生随机变量的变换抽样方法，是讨论均匀分布的不同函数分布，为随机变量抽U 2χ∑=-k
i i i i m n m 12)(1--l k )1(2--l k χ30>d 1222--d χ∑=≤≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=j i i k j N k N n N D N 1
1max 135.1>N D N
样提供一些简单可行的算法。

在概率论中，从不同的角度出发，对随机变量函数进行了讨论，以下列出一些结果。

设随机变量 X 具有密度函数
， 是对随机变量 X 的变换，且 的逆函数存在，记为 有一阶连续导数，则随机变量的密度函数 3．值序抽样
值序统计量 ，通常称为值序量。

是随机向量 的一个函数，取其一
个实现 并排序得 其中的第 l 个值为函数值。

显然这是一个统计量。

若随机变量 的各个分量独立且同分布，则值序统计量 的密度函数
和分布函数分别为：
这里，F (x), f (x) 分别为随机变量在分布函数和密度函数。

特别当随机变量 为[0，1]上的均匀分布时，
得密度函数为：
这是 分布的密度函数
因此我们可以很容易地产生特殊的 分布的随机数。

【个人体会】
)(x f )(X g Y =)(x g )
()(1y h x g =-)
(X g Y =)
(n l η),,(21n X X X )
,,,,,()()1()()1()2()1(n l l l x x x x x x +-[][])
()(1)()!()!1(!
)(1x f x F x F l n l n x f l n l nl -----=⎰-----=)(01
)1()!()!1(!)(x F l n l nl dt
t t l n l n x F n i X i ,,2,1 =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤---=--else
x x x l n l n x f l
n l nl 01
0)1()!
()!1(!)(1ββ[])
()()('*y h y h f y f ⋅=)
,,(21n x x x )
,,(21n X X X )
(n l η
一维正态分布随机数序列的产生方法有很多种，其中直接抽样、变换抽样、值序抽样等抽样方法较简单但比较常用，利用中心极限定理是最常用的一种求正态分布随机数的一种方法。

本文还提供了两种随机数的检验方法，用于检验产生的随机数实际值与理论值的差异。

反函数法和舍远法是连续随机变量通用的方法，应用与正态分布的时候可适当做调整。

个人体会较深的是，在文献查阅上网搜索过程中，面对繁杂的资料，首先应该明确自己要找什么资料，并大约查找相关资料在头脑中形成要写报告的大体框架，然后逐渐精细到点，然后有针对性地查找资料。

【参考文献】
【１】杨振海，张国志；随机数生成［J］。

数理统计与管理，2006,25（2）；244-252.
【２】程维虎，杨振海；舍选法几何解释及曲边梯形概率密度随机数生产算法［J］。

数理统计与管理，2006,25（4）。

【３】魏宗舒；概率论与数理统计［M］。

北京:高等教育出版社,1995。

【４】马砚儒. 经验数学期望及性质［Ｊ］。

内蒙古民族大学学报,2002 ,17 (2) :97 –100。

【５】高惠璇，统计计算［Ｍ］。

北京：北京大学出版社，１９９５。

【６】杨振海，程维虎．统计模拟［Ｊ］。

数理统计与管理，２００６,２５（１）：１１７－１２６。