数值分析分章复习(第四章数值积分)

第四章 数值积分

要点：（1）数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式 （2）插值型求积公式的构造及余项表达式 （3）插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 （4）梯形公式、Simpson 公式的形式及余项表达式 （5）复合梯形公式、复合Simpson 公式及其余项表达式 （6）掌握如何根据要求的精度依据复合梯形（或Simpson ）公式的余项确定积分

区间[a,b]的等分次数n

（7）Newton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 （8）高斯型求积公式的概念 复习题：

1、已知求积公式为

(

)(

)(1

1158059

f x dx f f f -⎡

⎤≈++⎣⎦

⎰

(1) 确定它的代数精度，并指出它是否为Gauss 公式； (2)

用此求积公式计算定积分

1

-⎰

解：（1）依次取2

3

4

5

()1,,,,,f x x x x x x =代入积分公式可发现: 左端=右端， 而当取6

()f x x =时，左端 ≠可端 可见该是求积公式具有5阶代数精确度

由于求积公式节点数为3n =,而公式代数精确度21p n =-

所以该求积公式为Gauss 公式

（1

）对于()f x = 有

()0.5166, (0)0.426460.f f ===±

故

1

0.5166801

(50.9530.426450.51669

)-⨯+⨯+⨯≈≈⎰

3、分别用梯形公式和二点Gauss 公式计算积分⎰

1

dx e x ，比较二者的精度

解：利用梯形公式，1

010

1() 1.85922

x

e dx e e ≈+≈⎰

注：Gauss 公式部分不要 4、对于积分

⎰

-1

dx e x 。（1）写出梯形公式与辛普森公式；（2）请直接指出这两个公式的

代数精度；（3）问区间[0,1]应分为多少等分，用复化辛普森公式才能使误差不超过6102

1

-⨯ 解：（1）011()0.68392T e e --=

+≈， 00.511

(4)0.63236

S e e e ---=++≈

（2）梯形公式余项 3()[](12) , [0,1]12

T b a R f f e η

ηη-=-∈-''=-

辛普森公式余项5(4)()[]() , [0,1]28828800

S f f e b a R η

ηη-=-∈-=-

可见梯形公式代数精度为 1p =，辛普森公式代数精度3p =

（3）根据复合辛普森公式的余项 5(4)44

()[](2880288)0n S b a e R f f n n

η

η----==

注意到44

1

|[]|28802880n S e R f n n η-=≤

令

6

4

111028802

n -≤⨯，解得 5.133n ≥

可见当取4n =时，对应的复合辛普森公式n S 可满足精度要求

5、确定下列公式

⎰

-++-≈2

2

)1()0()1()(Cf Bf Af dx x f

中的参数A ，B ，C ，使其代数精度尽量高，并指出所得公式的代数精确度。 解：依次取2

()1,,f x x x =代入积分公式，并令: 左端=右端，得方程组

4 016 + 3A B C A C A C ⎧

⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪=⎩

， 解得 83

43A C B ⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

得公式：

2

24

()(2(1)(0)2(1))3

f x dx f f f -≈

--+⎰

取3

()f x x =代入公式，有左端=右端 取4

()f x x =代入公式，有左端≠右端

可见该求积公式代数精确度为3p =

6、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度

)()0()()(22h Cf Bf h Af dx x f h

h

++-≈⎰

-

解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433

A C h

B h ==

=-

代数精确度为3p =

7、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

⎰

++≈2

210)2()1()0()(f f f dx x f ωωω

解：解题过程与上题类同，所得结果816 , 433

A C h

B h ==

=-

代数精确度为3p = 8、求积公式)4

3

(32)21(31)41(32)(1

f f f dx x f +-≈

⎰

具有多少次代数精确度 解：依次取2

3

()1,,,f x x x x =代入积分公式，得左端=右端

当取4

()f x x =时，左端≠右端，故公式的代数精确度为3p =

9、试设计求积公式，使之代数精度尽量高，并指出其所具有的代数精度。

⎰

'++≈1

010)0()1()0()(f B f A f A dx x f

解：依次取2

()1,,f x x x =代入积分公式，令左端=右端，得

0110111213A A A B A ⎧

⎪+=⎪

⎪

+=⎨⎪

⎪=⎪⎩

得010

211336A A B ===，， 公式的代数精确度为2p =