实变函数-5.4-一般可测函数的勒贝格积分

fn(x)
G(E; fn )为递增集列
m(lim n
G(E;
fn
)

lim
n
mG(E;
fn
)
单调增集列测度的性质
2.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）
若fn(x)为E上非负可测函数列， 则


E fn (x)dx E fn (x)dx
n1
n1
对比:积分的线性 (有限个函数作和)
证明：令c满足0<c<1，(x) 是Rn上的非负可测 简单函数，且 (x) f (x)
记En {x E | fn (x) c(x)}
则{En}是递增集列，

且 lim n
En


n1
En

E
f(x) fn(x) cφ(x)
由引理1知
lim c (x)dx c (x)dx
n En
E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
En {x E | fn (x) c(x)}
于是从（应用引理2）
E fn (x)dx E fn (x)En (x)dx

En fn (x)dx
c(x)dx c (x)dx,
En
En
f(x) φ(x) fn(x)
n
证明：令gn (x) fi (x) i 1
则{gn (x)}为非负可测函数递增列，且

fn (x) limgn (x)
n 1
n
然后利用Levi逐项 积分定理即可
对应于测度的可数可加性

m( i 1
Ai
)


mAi
i 1
例 试求

1
(R)
x 2 dx
n1
证明 ln 2 1 1 1 1 (1)n1
234
n
解：令 fn (x) x2n2 x2n1, x (0,1), n 1,2,3,
则 fn (x) 为非负连续函数，当然为可测函数，
从而由Lebesgue逐项积分定理知：
(L)

引理1：设{En}是递增集列，E 函数，则


n1
En
,(x)是Rn上的非负可测简单
lim (x)dx (x)dx
n En
E
引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则
f (x)dx A
E f (x)A(x)dx
Levi逐项积分定理的证明
E f (x)dx sup{E(x)dx :(x)为E上的简单函数，0 (x) f (x)}
x2
( L) [1,1] n1 (1 x 2 )n dx
[ 1,1]
定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在
[a,b]上Lebesgue可积，且
(L) [ a ,b ]
f
(x)dx

b
(R)a
f
(x)dx
例
试从 1 (1 x) (x2 x3) (x2n2 x2n1) ,0 x 1 1 x
f (x)dx

n1
En
n1 En
证明：由 En
f (x)dx
E
f
(
1 (1 x 2 ) n
解: 令fn (x)

x2 (1 x2 )n
,
x [1,1]
则fn (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数，

从而 (R)
n 1
1 1
(1
x2 x
2
)
n
dx


(L)
n1
x2 [1,1] (1 x2 )n dx
(L) 1dx 2
因为fn(x)总在f(x)的下方,
只要证明大于等于，但一般而 言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以 我们有必要先把f(x)下移一点。
f(x) fn(x) cf(x)
注意：当fn(x)一致收敛f(x)时， fn(x)才会整体跑到f(x)上方。
Levi逐项积分定理的证明
证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，
1 (0,1) 1 x
dx (L)
(0,1)
n1
fn (x)dx


(L)
n1
( 0 ,1)
fn (x)dx

(R)
n1
1 0
fn (x)dx
(R) 1 (x2n2 x2n1)dx ( 1 1 )
0 n 1
n1 2n 1 2n
1 1 1 1 (1)n1
所以
E
lim
n
f
n
(
x)dx有定义，又
E
fn (x)dx

E fn1(x)dx, n 1,2,3,
故 lim n E
fn (x)dx 有定义，且从函数列的渐升性知道
lim
n E
fn (x)dx E
f (x)dx E
lim
n
fn (x)dxபைடு நூலகம்
下证大于等于号
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
f
n
(x)

,
且
lim
n
fn (x)
f
(x)
则lim n
E fn (x)dx
E
lim
n
fn (x)dx
f(x)
积分的几何意义（函数非负）：
fn+1(x)
(L)E f (x)dx mG(E; f )
cφ(x)
得到lim n
E
fn (x)dx c
( x)dx
E
令c 1,则有lim fn (x)dx (x)dx
n E
E
再由的积分定义知
lim
n
E
fn (x)dx E
f (x)dx
所以lim n
E
fn (x)dx
E
f (x)dx
对Levi逐项积分定理的说明
234
n
另外(L)
1
1
dx (R)
1
dx ln 2
从而结论成立
(0,1) 1 x
0 1 x
3.积分的可数可加性
Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数 积分的可数可加性是关于积分区域

若f(x)在
E


n1
En（En可测且两两不交）

上非负可测或可积，则 f (x)dx
第五章 积分论
第四节 勒贝格积分的极限定理
1.Levi逐项积分定理
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1(x)
f2 (x)
f3(x)
f
n
(
x)

,
且
lim
n
fn (x)
f
(x)
则lim n
E fn (x)dx
E
lim
n
fn (x)dx
说明：小于等于显然成立，