数项级数

CH 9 数项级数

1． 上、下极限

定义：对有界数列}{n a

,...},sup{lim }{sup lim lim 21++∞

→>∞→∞

→===k k k n k

n k n n a a a a H

,...},inf{lim }{inf lim lim 21++∞

→>∞→∞

→===k k k n k

n k n n a a a a H

如果对数列

}{n a 无上界，+∞==∞

→n

n a

H lim 。如果对数列}{n a 无下界，。

-∞==∞

→n n a H lim 。

性质1 设n n a H ∞

→=lim ，则

（1） 当H 是有限时，对H 的任何ε领域),(εε+-H H 在数列}{n a 中有无穷多项

属于这领域，而在),(+∞-εH 中只有有限多项。

（2） 当+∞=H 时，对0>∀N ，在}{n a 中必有无穷多项大于N 。 （3） 当-∞=H 时，-∞=∞

→n n a lim 。

性质2 设n n a h ∞

→=lim ，则

（1） 当h 为有限时，对h 的任何ε领域),(εε+-h h ，在数列}{n a 中有无穷多项

属于这个领域，而只有有限项小于ε-h 。

（2） 当-∞=h 时，对0>∀N ，在}{n a 中必有无穷多项小于N -。 （3） 当+∞=h 时，+∞==∞

→n n a h lim 。

性质3 设H 为}{n a 的上极限，那么H 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最大值。 设h 为}{n a 的下极限，那么h 必是}{n a 中所有收敛子列的极限中的最小值。 推论：A a n n =∞

→lim （有限或无穷大）的充要条件是:A a a n n n n ==∞

→∞

→lim lim .

2．数项级数的概念及性质

定义: 若级数

∑∞

=1

n n

u

的部分和数列}{n S 收敛于有限值S ,即

S u

S n

n n

n n n ==∑=∞

→∞

→1

lim

lim

则称级数

∑∞

=1

n n

u

收敛,记为

∑∞

==1

n n

S u

,也称此值S 为级数的和,若}{n S 发散,则称级数

∑∞

=1

n n

u

发散.

性质1 (级数收敛的必要条件)若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛, 则0lim =∞

→n n u .

性质 2 (线性性)若

∑∞=1

n n u ,∑∞

=1n n

v

均收敛,R b a ∈,,则级数

∑∞

=+1

)(n n n

bv au

也收敛,且

有

=+∑∞

=1

)(n n n

bv au

∑∑∞

=∞

=+1

1

n n n n v b u a .

性质3 设级数

∑∞

=1

n n

u

收敛,则对其项任意加括号所得的级数仍收敛,且其和不变.

Cauchy 收敛原理:级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的充要条件是:对0>∀ε,总N ∃,使当N n >时,.对

任意的自然数,...,3,2,1=p 都成立ε<++++++|...|321n n n u u u .

3．正项级数收敛的判别法

比较判别法：设两个正项级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

间成立着关系：0>∃c ，使得n n cv u ≤，

,...,3,2,1=n （或自某项以后，即N ∃当N n >时）成立以上关系式，那么

(1) 当级数

∑∞

=1n n

v

收敛时，

∑∞

=1n n

u

也收敛。

(2) 当级数

∑∞

=1

n n

u

发散时，

∑∞

=1

n n

v

也发散。

比较判别法的极限形式：设两个正项级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

，如果n u 和n v 是同阶无穷

小量，即)0(lim

∞<<=∞

→l l v u n

n n 。

则

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

同时收敛或同时发散。

Cauchy 判别法：设

∑∞

=1

n n

u

为正项级数，n n n u r ∞

→=lim ，则：

（1） 当1

∑∞

=1n n

u

收敛；

（2） 当1>r 时，级数

∑∞

=1

n n

u

发散；

（3） 当1>r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。

D ’Alembert 判别法：设

∑∞

=1

n n

u

)0(≠n u 是正项级数，则

（1） 当1lim 1

<=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞

=1n n u 收敛；

（2） 当1lim 1

>=+∞→r u u n n n 时，级数∑∞

=1

n n u 发散；

（3） 1≥r 或1≤r 时，判别法失效，即级数可能收敛，也可能发散。 引理：设

∑∞

=1

n n

u

为正项级数，则

n

n n n n n n n n n n n u u u u u u 11lim lim lim lim

+∞→∞→∞→+∞→≤≤≤

上述引理说明：若一个正项级数的收敛情况可以由D ’Alembert 判别法判定，则它一定

也能用Cauchy 判别法判定，但是，能用Cauchy 判别法判定的，却未必能用D ’Alembert 判别法判定。

积分判别法：对正项级数

∑∞

=1

n n

u

，设n u 为单调减少的数列，做一个连续的单调减少的正

值函数)0)((>x x f ，使得当x 为自然数n 时，其值恰为n u ，亦即n u n f =)(，那么级数

∑∞

=1

n n

u

与数列}{n A ，这里⎰

=

n

n dx x f A 1

)(同为收敛或同为发散。

4．任意项级数