直角三角形课件

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4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8)．以点A 为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为(4，．0) 5．下列命题中，其逆命题成立的是① ④．(只填写序号) ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等； ④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a ²＋b ²＝c2，那么这个三角形是 直角三角形． 6. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树 的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 10 米．
C
B
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE＝ ½ (a+b)(a+b) ＝ ½ (a+b) ²．
∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB＝BE．
∴S△ABE＝ ½ c ² ∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED， ∴ ½ (a+b) 2＝ ½ c2 + ½ ab + ½ ab,
3、在一个三角形中，两条边的 平方和 等于 另一边的平方 ,那
么这个三角形就是直角三角形.
活动探究
活动1：直角三角形两锐角有什么关系？你能证明你的结论吗？
1.证明：直角三角形的两锐角互余； 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 求证：∠A+∠B=90°. ∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 又∵∠C=90°（已知） ∴∠A+∠B=90°（等式的性质） ∴∠A与∠B互余 即：直角三角形的两锐角互余.
关系？是真命题吗？
归纳小结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结 论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命 题的逆命题.
3.写出下列命题的逆命题，并判断它 们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等； (2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数． 解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题． (2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．
因此，△ABC是直角三角形．
即：在一个三角形中，两条边的 平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎； 三角形中相等的边所对的角相等， 三角形中相等的角所对的边相等. 它们的条件和结论各是什么？每组之间的条件和结论有什么
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′=AC(如图)，
则A′B′² ＋A′C′².(勾股定理)．
A'
∵AB ²＋AC ²＝BC ²，A′B′＝AB，A′C′=AC
∴BC ²＝B′C′² ∴BC＝B′C′
B'
C'
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
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1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
观察下面三组定理： 两直线平行，内错角相等， 内错角相等，两直线平行； 等边对等角， 等角对等边； 全等三角形的对应边相等，对应角相等， 对应边相等，对应角相等的三角形是全等三角形.
它们之间有什么关系？
归纳小结
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一 个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另 一个定理的逆定理.
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8.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13 ，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交
流，给出了下面的解题思 路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 【作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD】
【根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x】
【利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积】
解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14 ，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD²＝AB²－BD²＝15²－x²，AD²＝AC²－CD²＝13²－(14－x)²，
故15 ²－x ²＝13 ²－(14－x) ²，
解得x＝9. ∴AD＝ AB2－BD2＝ 152－92＝12.
1
1
∴ a ²+ 2ab + b ²＝c ²+ 2ab,
∴a ²+b ²＝c ²即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.证明：在一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角
形.
A
已知：如图：在△ABC中，AB ²+AC ²＝BC ²
求证：△ABC是直角三角形．
B
C
1.2 直角三角形
第1课时
八年级下册
制作人：睿科知识云
学习目标
1 证明直角三角形的有关性质与判定定理.
了解逆命题、逆定理的概念；识别互逆命题；知道互逆命题与
2 互逆定理之间的联系与区别.
预习反馈
1、直角三角形的两锐角 互余 ，（2） 有两个角互余的三角形
是 直角三角形
；
2、直角三角形Βιβλιοθήκη Baidu两直角边的平方和 等于斜边的平方 ；
自我小结
1.勾股定理及逆定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果一 个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2.互逆命题和逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一 个命题的逆命题. 3.互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一 个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
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7．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形 ABCD的面积． 解：∵A C⊥CD，CD＝12，AD＝13， ∴AC²＝AD²－CD²＝13²－12²＝25. 又∵AB＝3，BC＝4， ∴AB²＋BC²＝3²＋4²＝25＝AC². ∴∠B＝90 °. ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝½AB•BC＋½AC•CD ＝½×3×4 ＋½×5×12 ＝6＋30＝36.
∴S△ABC＝2BC·A D＝2×14×12＝84.
再见
A
C
B
活动2：如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是 直角三角形吗？为什么？
2.证明:有两个角互余的三角形是直角三角形. 已知：在△ABC中，∠A+∠B=90° 求证：△ABC是直角三角形 证明：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)， 又∵∠A＋∠B＝90°(已知)， ∴ ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°(等式的性质). ∴ △ABC是直角三角形. 即：有两个角互余的三角形是直角三角形.
1.证明：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
A
求证：a²+b ²＝c ²．
证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则
△ABC≌△BED． ∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．