由一道题引发的思考

由一道题引发的思考

有次考试出现这样一道题：

已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，设k=（a-b+c）/（a+b），则k的取值范围

.

一眼看上去，题目很短，有5个字母，由条件可得a≥0，b2-4ac≤0.

目标是求k的范围，而题目中并未提供其他信息，很棘手啊，我心中暗暗想到.义不禁细细思考起来，为什么题目不直接问（a-b+c）/（a+b）的范围而义加入字母k呢？一定暗藏玄机！于是傻乎乎的我就把k=（a-b+c）/（a+b）看作一个等式了.两边同乘a+b，得k（a+b）=a-b+c.又要求k的范围，所以将k看作是一个变量，所以（k-1）a+（k+l）b-c=0.

接下来呢？我看看条件，将目光瞄准b2-4ac≤O上，于是b=（（c-（k-1）a）/（k+1）所以（（c-（k-1）a）/（k+1））2≤4ac. 所以（k-1）a22（k-1）ac+C2≤4（k+l）2ac，.

所以（k-1）a2-（4k2+lOk）ac+C2<0.

望着条件中的a≥0，我顿时失去了解题的希望，还是换个方法吧，

其实很容易发现k=（a-b+c）/（a+b）中，c处于特殊的

地位，换句话说，得消.考虑到a+b符号未知，此题可分情况讨论.好吧，我承认，我早该承认，这道题不可能通过简单的运算得到的.

因为a≥O，b2-4ac≤o，所以c≥b/4a2.

由题知a+b≠0.

①若a+b>0，k≥（4a2-4ab+b2）/（4a2+4ab）=（2a-b）2/4a（a+b）

关于这个式子，接下去怎么化，我也思考了许久.通分？k≥（2a-b）2/4a（a+b）似乎并不可行.难道就这样放弃吗？正当我感到绝望时，忽然“柳暗花明又一村”k≥（a-b+b2/4a）/（a+b）=（1-b/a+b/4a2）/（1+b/a）

哈哈，这下可算出来了.设l+b/a=t，则t=（a+b）/a>o.

所以f（t）=1/4（t+9/t-6）≥1/4（t-6）=0.

所以此时k≥0.

②若a+b2）/（1+b/a），设l+b/a

l+b

“=t（t

所以f（t）=1/4（t+9/t-6）≤1/4（-6-6）=-3，所以此时k≤-3.

综上，（-∞，-3]U[O，+∞）.

但我并没有就此住手，义对此题进行了反思，难道就没有什么更简单的解法了吗？由k我义想起了斜率，可这道题

斜率在哪呢？我该怎样把它挖出来呢？由b2-4ac≤0，k=

（a-b+c）/（a+b），我又发现了字母6也具有一定的特殊性，62≤4ac.我忽然义突发奇想，若6≠0，那么a/b?c/b≥1/4，k 也可化成k=（a/b-1+c/b）/（a/b+1），灵感来啦！

解法2：①若b=0，k=（a+c）/a=1+c/a为4a（≥62，所以ac≥0.所以此时k≥1.

②若b≠0，则a/b?c/b≥1/4.

令a/b=x，c/b=y，

所以xy≥1/4.

k=（x-1+y）/（x+1）=1+（y-2）/（x+1）

令（y-2）/（x+1）=k'，（原来斜率藏在这儿）

由线性规划知识可联立方程组：

y-2=k'（x+1），

xy=1/4，

所以[k'（x+1）+2]x=1/4，

所以4x（k'x+k'+2）=1，

所以4k'x2+4x（k'+2）-1=0.

△=16（k'+2）2+16k'.

令△=O得，k'2+5k'+4=0，

解得k'=-1或-4.

画图知k'∈（∞，-4lU[-1，+∞），

所以k∈（-∞，-3]U[0，+∞）.

综上：k∈（-∞，-3]U[O，+∞）.

好吧，第二?N解法其实也并不怎么简单.

通过这道题，我得到几点体会：不要畏苦怕难，要树立解题信心，既然老师出了这道题，就能做，也一定可以做出答案，不要半途而废，往往快要接近黎明时是最黑暗的，光明就在前方.要发散思维，不把思维局限在某一块领域，一道题目可能是四五个知识点的融合.善于分情况讨论养成全面思考的好习惯，要善于观察条件及式子的特点，有针对性地解题，用巧妙的方法解复杂的题.