概率论第三章-边缘分布

0 1Байду номын сангаас4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理

x

f (u , v) dv du
当 y other
fY ( y) f ( x , y )dx 2 dx 2(1 y ) y fY ( y ) 0

1
2(1 y ), 0 y 1 fY ( y ) 其它 0 ,
6, x 2 y x, 例4 已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) 其它. 0, 求 f X ( x ) , fY ( y ) 。 y y x2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0

x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
0 1
y
解:
y=x
x
当0 y 1
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
边缘分布
说明：
① 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
f ( x, y)dy f ( x, y)dx
fY ( y )

分别是 ( X , Y ) 关于X 和Y 的边缘概率密度。
例3. 设 G ( x, y) | 0 x 1, 0 y x , ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布, 求 ( X , Y ) 关于 X 和Y 的边缘概率 密度 f X (x)和 f Y ( y)
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
第二节
边缘分布
一 、边缘分布函数 二、边缘分布律 三、边缘概率密度
第三章
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
一、 边缘分布函数
分别 的联合分布函数为 设 记 的分布函数为 FX ( x) 和 FY ( y)，称为关于 和 的边缘分布函数。
边缘分布函数的计算：
FX (x)
同理可得
通常用以下表格表示 ( X , Y )的分布律和边缘分布律
例 将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： Y 1 2 3 4 5 6 X 1 2 3 4 5 6
例2、已知随机变量X和Y的分布列分别为
X -1 0 1/2 1 1/4 Y
j . p·
F ( x,) F (, y )
例1: 已知
的分布函数为
求
关于
问 解:
的边缘分布函数 各服从什么分布？ 关于 的边缘分布函数为
和
同理，
二、 离散型随机变量的边缘分布律 设 ( X , Y ) 的分布律为 P{X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,)
则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律为

P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1

j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1

ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
解 当0 x 1
1
yx
f X ( x)


f ( x, y )dy 2 6dy
x
x
6( x x 2 ) 当 x other f X ( x) 0 合并即可 y 6dx 6( y y ), 0 y 1, y fY ( y ) f ( x, y )dx 0, 其它.