概率论第三章-边缘分布
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概率论-第三章-3.2 边缘分布
缘分布是不够,而必须将他们作为一 个整体来研究.
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
整体大于部分之和!
例 假设5件产品中有3件正品,2件次品,从中取两
次,每次取一件,记
1, 第i次取到正品 Xi i 1,2 0, 第i次取到次品
分别对有放回抽样和无放回抽样两种情况,求(X1,X2)的
联合分布律和边缘分布律. 解 (1)有放回的情形.此时
例 已知二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
A x e y 0 x y f x, y 其它 0 求 (1) 常 数 A ； (2) P X Y 2 ； (3) 边 缘 密 度 函 数
f X x , fY y ．
解 (1) 因为 即
0 y 1 其他
二维正态分布
若二维随机变量 X , Y 的联合密度函数为
f x, y 1 2 1 2 1 2
e
2 1 2
1
2 x 2 x y y 1 1 2 2 2 1 2 2 1
对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为
P( X xi， Y y j ) pij， i, j 1, 2,
X,Y的边缘分布律为：
P(Y y j ) P( X ，Y y j ) pij == p j j 1, 2,
记为
P( X xi ) P( X xi，Y ) pij == pi i 1, 2,
若 ( X , Y ) ~ N ( μ1 , μ2 , σ1 , σ 2 , ρ) ,则
2 2
X ~ N 1 ,
2 1
， Y ~ N , ．
概率论与数理统计教学课件-3-2边缘分布
边缘分布与联合分布的关系
联合分布
描述多个随机变量同时发生的概率分 布。
关系
对于离散型随机变量，边缘分布可以 通过求和联合分布中相应事件的概率 得到；对于连续型随机变量，边缘分 布可以通过积分联合分布得到。
边缘分布的几何意义
几何解释
在概率空间中，边缘分布描述了一个随机变量在固定其他随机变量取值时的概 率分布情况。
边缘分布的数学表达式为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的范围。
对于均匀分布，其概率密度函 数为 $f(x) = frac{1}{b-a}$，其 中 $a$ 和 $b$ 是随机变量 $X$ 的取值范围。这个表达式表示 在给定范围内，随机变量 $X$ 的取值是均匀分布的。
3
边缘分布的计算
对于超几何分布，其边缘分布就是抽取某一特定 类型的样本的概率。
04
边缘分布的应用场景
统计分析
描述性统计
在统计分析中，边缘分布用于描 述数据的基本特征，如均值、中 位数、众数等。这些统计量可以 帮助我们了解数据的集中趋势和 离散程度。
异常值检测
通过比较数据点与边缘分布的统 计量，可以检测出异常值，这些 值可能对数据分析产生重大影响。
在概率论与数理统计中，边缘分布在处理多维随机变量问 题时具有重要作用，可以帮助我们简化问题，提取所需的 信息。
下节预告
条件分布的概念
在概率论与数理统计中，条件分布是指在某个随机变量取值的条件下，其他随机变量的 概率分布。
条件分布的性质
条件分布具有依赖性，即条件分布的取值受其他随机变量的影响；同时，条件分布的取 值范围和概率密度函数形式与联合概率分布有关。
数据可视化
边缘分布可以用于绘制直方图、 箱线图等，帮助我们直观地了解 数据分布情况。
《概率论与数理统计》3-3 边缘分布
解 F x lim F x, y 1 arctan x X 2 y
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
2
2
2
1 arctan x 2
同理 ,
x ,
1 FY y lim F x, y 2 arctan y x 2 2 2
求 :⑴ C , ⑵ P X Y 1 . 解 又 ⑴由性质 :
x, y D,
其它 ,
f x, y d 1.
y
2 1
D1
O
1
x
f x, y d 0 dx0 Cxydy
1 1 2 C x y dx 2C xdx 0 2 0 0 1 2
P X ,Y D f x, y dxdy.
D
注: 注意分块积分. 只对密度函数为正的部分积分.
例1 设 D 是由 x 0, y 0, x 1, y 2 所围成的平面区
域 , 二维随机变量 X , Y 的联合概率密度函数为:
Cxy f x, y 0
fY y
所以
f x, y dx y 1dx 2 2 y,
0 y 1,
其它 .
2 y
2 2 y fY y 0
y
1 yx
y 2 x
O
1
2x
2 , , 定理 3.6 设 X , Y ~ N 1 , 2 , 12 , 2
2 1
,Y
.
证明 :
f X x
y 2
边缘分布列怎么求[4篇]
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边缘分布列怎么求[4篇]以下是网友分享的关于边缘分布列怎么求的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
第一篇11. 边缘分布【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§2边缘分布【教材分析】：前一节我们已经研究了二维随机变量的一些有关概念、性质和计算，二维联合分布函数（二维联合分布律，二维联合密度函数也一样）含有丰富的信息，如每个分量的分布，即边缘分布等。
本节的目的是将这些信息从联合分布中挖掘出来，主要从离散型随机变量出发讨论边缘分布。
【学情分析】：1、知识经验分析学生已经学习了一维随机变量的分布函数、分布律、概率密度函数的概念、性质和相应的计算。
已经有了一定的理论基础和计算技能。
2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础知识，但解决问题的能力不高，知识没有融会贯通。
【教学目标】：1、知识与技能理解并掌握边缘分布的概念，能熟练求解随机变量的边缘分布函数和边缘分布律。
2、过程与方法根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用类比的方法，讲、将一维随机变量的相关知识引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到边缘分布的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。
3、情感态度与价值观培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新发现的思维品质．【教学重点、难点】：重点：理解二维随机变量(X , Y ) 关于X 和Y 的边缘分布函数和边缘分布律的概念。
并会求随机变量的边缘分布律。
难点：求离散型型随机变量的边缘分布律。
【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入（复习）第二章中我们已经学习了随机变量的分布（分布函数、分布律和概率密度）。
定义1 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数F (x ) =P (X ≤x ) (-∞定义2 一般，设离散型随机变量X 的分布律为P (X =x k ) =p k , k =1,2,.....定义3 如果对于随机变量X 的分布函数F (x ) ，存在非负可积函数f (x ) ，使得对于任意实数x 有xF (x ) =P {X ≤x }=⎰-∞f (t ) dt .则称X 为连续型随机变量，称f (x ) 为X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。
《概率论》第3章§2边缘分布
§2
边缘分布
1/9
二维 r.v 的联合分布函数： 的联合分布函数：
( X ,Y) ~ F(x, y)
两个一维 r.v 的分布函数： 的分布函数：
X ~ FX (x) Y ~ F ( y) Y F(x, y), FX (x), F ( y)之间有什么关系 Y
边缘分布(函数) 称 FX (x) 为 ( X ,Y)关于 X的边缘分布(函数) 边缘分布(函数) 称 F ( y) 为 ( X ,Y)关于 Y的边缘分布(函数) Y
•
p j = ∑ pij
i =1
4
1 2 3 4
pi = ∑ pij
•
4
j =1
1 4
1 4
1 4
1 4
故边缘分布律为
X 1 2 3 4 pi⋅ 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
1 2 3 4 Y p⋅j 第三章 多维随机变量及其分布 25/ 48 13/ 48 7 / 48 3/ 48
§2
∑ j =1
∞ j =1
i
j
= ∑ pij
第三章 多维随机变量及其分布
边缘分布 四个数中等可能取值, 设 r.v X 从 1,2,3,4四个数中等可能取值,又设 r.v Y 中等可能取值. 的联合分布律及边缘分布律. 从 1~ X中等可能取值.求 X ,Y的联合分布律及边缘分布律. X 取值为 1,2,3,4 ,而当 X = i (i = 1,2,3,4) 时 ,Y的取 X , Y 的分布律位于联合分布律表 值为 1~ i .由乘法公式有 格的边缘上， 格的边缘上，故称为边缘分布律
§2
边缘分布
12/9 12/9
若 X ,Y的联合密度为
f (x, y) = 2πσ1σ2 1− ρ2
边缘分布
1/9
二维 r.v 的联合分布函数： 的联合分布函数：
( X ,Y) ~ F(x, y)
两个一维 r.v 的分布函数： 的分布函数：
X ~ FX (x) Y ~ F ( y) Y F(x, y), FX (x), F ( y)之间有什么关系 Y
边缘分布(函数) 称 FX (x) 为 ( X ,Y)关于 X的边缘分布(函数) 边缘分布(函数) 称 F ( y) 为 ( X ,Y)关于 Y的边缘分布(函数) Y
•
p j = ∑ pij
i =1
4
1 2 3 4
pi = ∑ pij
•
4
j =1
1 4
1 4
1 4
1 4
故边缘分布律为
X 1 2 3 4 pi⋅ 1/ 4 1/ 4 1/ 4 1/ 4
1 2 3 4 Y p⋅j 第三章 多维随机变量及其分布 25/ 48 13/ 48 7 / 48 3/ 48
§2
∑ j =1
∞ j =1
i
j
= ∑ pij
第三章 多维随机变量及其分布
边缘分布 四个数中等可能取值, 设 r.v X 从 1,2,3,4四个数中等可能取值,又设 r.v Y 中等可能取值. 的联合分布律及边缘分布律. 从 1~ X中等可能取值.求 X ,Y的联合分布律及边缘分布律. X 取值为 1,2,3,4 ,而当 X = i (i = 1,2,3,4) 时 ,Y的取 X , Y 的分布律位于联合分布律表 值为 1~ i .由乘法公式有 格的边缘上， 格的边缘上，故称为边缘分布律
§2
边缘分布
12/9 12/9
若 X ,Y的联合密度为
f (x, y) = 2πσ1σ2 1− ρ2
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
F(x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
概率论与数理统计-3.2边缘分布讲解
f (u, y)dudy
x
[ f (u, y)dy]du
y
FY ( y) F(, y)
f (x, v)dxdv
y
[ f (x,v)dx]dv
14
记
f X (x)
f (x, y)dy
fX (x) f (x, y)dy
1
21 2 1 2
exp[
2(1
1
2
)
(u
2
2uv
v
2
)]
2dv
1
21 1 2
exp{
2(1
1
2
)
[(u
2
2u
2
)
(
2u
2
2
uv
v
2
)]}dv
1
e
u2 2
每次取一个球，在放回和不放回的情况下. 令
1 第一次取到黑球
1 第二次取到黑球
X 0 第一次取到白球, Y 0 第二次取到白球,
求(X,Y)的联合分布律及边缘概率分布
解 在不放回抽样下（上节课例题），列表如下：
XY 0
1
Pi.
0 6/20 6/20 3/5
1 6/20 2/20 2/5
y)
F (,
y)
lim
x
F ( x,
y)
注意：由联合分布可以决定边缘分布，反过来，由 边缘分布决定不了联合分布。但当分量独立时就可 以决定。
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
概率论与数理统计-基于R 第三章 第三节 边缘分布
p·j 2/5 3/5 1
注：由上表可知，两种情形下X和Y的边缘分布律相同，但联 合分布律不同，故边缘分布律不能确定联合分布律.
三、边缘密度函数 设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数
和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则
FX x P X x P X x,Y x
f
X
(
x
)
6e(3 x2 y)dy,
0
0,
x 0 3e3x ,
其它 0,
x0 其它
同理，关于Y的边缘概率密度为
2e2 y , y 0
fY
(
y)
0,
其它 .
例. 设(X,Y) 服从以原点为圆心，R为半径的 圆形区域上的均匀分布，求(X,Y)关于X,Y 的边缘概率密度。
y
1
2
arctan
x
x
FY
y
lim
x
F
(
x,
y)
lim
x
1
2
2
arctan
x
2
arctan
y
1
2
arctan
y
y
二、边缘分布律
y
y
x FX(x)
x FY(y)
例 设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为
F ( x,
y)
1
《概率论》第3章§2边缘分布解析
(关X ,于Y ) 的 第三Y章 多边维缘随密机变度量(及函其数分)布
例 设随机变量 X 和Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (x, y)d y
y
(1,1)
当 0 x 1时,
y x
p11 p21 pi1
p12 p22 pi 2
p1 j
p2 j pij
P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
j 1
i 1
2020年11月24日星期二
§2 边缘分布
6/29
设 从r.v X 四1个, 2数,3,中4 等可能取值,又设
2020年11月24日星期二
例 设( X ,Y ) 的联合密度为
f
(x,
y)
kxy,
0,
0 x y,0 y 1, 其他
其中k 为常数. 求
(1)常数 k ;
(2) P ( X + Y 1) , P ( X < 0.5); (3) 联合分布函数 F (x,y); (4) 边缘密度与边缘分布函数
1
0.5
y
dy 1 y
8xydx
5
/
6.
y
1
y=x
yy 11
0.5 00
y y==x x xx
0
0.5
2020年11月24日星期二
P( X 0.5)
x
0.5
1
0 dxx8xydy 7 /16.
的分段区域 y
x0
概率论与数理统计--- 边缘分布
即 X 服从参数λ=0.5 的指数分布.
7
二、二维离散型随机变量的边缘分布 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 的分布律 二维离散型随机变量 为: P{X=xi,Y=yj}=pij (i, j=1,2,…) ∞ 则: P{X=xi}=P{X=xi,Y<+∞}
= ∑ P{ X = xi , Y = y j }
x2 a2
x2 + y2 ≤ 1 上的均匀分布, 设(X,Y)服从椭圆域 a 2 ) 上的均匀分布,求 b2
∫−∞
同理可得 2 y2 y ≤ b; − π fY ( y) = b 1 b2 ,
0, y >b.
a
x2 a2
0,
| x| >a，
X 与Y 不服从 均匀分布
a− x
x x 关于X 的边缘概率密度为 则(X,Y = ∫−∞ [∫+(t)dtu y)dy]du 为 )关于 X ∞ f边缘概率密度 F (x) = −∞ f −∞ ( , X
fX (x) = ∫
∞ + f (x, y)dy −∞
(X,Y) 关于 的边缘分布函数为 关于Y
F ( y) = ∫ Y
+ ∞ [ f (x,v)dx]dv −∞ −∞ y
e = 2π
∫
+∞
−∞
1 e 2 1− ρ
( y − ρ x )2 − 2 ( 1− ρ 2 )
dy
y−ρ x = t ,得: 得 令 2 x2 − 1− ρ e 2 f X ( x) = 2π
∫
+∞
−∞
e
t2 − 2
dt
e =
x2 − 2
概率论第三章
例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从 袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以 X , Y 分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求 ( X , Y ) 的分布律。 解 X , Y 可能取值均为1,2,3.
p11 P{ X 1, Y 1}
p12 P{ X 1, Y 2}
F (,) 1.
③ 关于 右连续，即
例1. 设 ( X , Y ) 的分布函数为
x y F ( x , y ) A( B arctan )(C arctan ) 3 4 求常数 A, B, C 的值及概率 P{ X 3, Y 4}. 9 F (3, 4) 解 由分布函数的性质
第三章 多维随机变量及其分布
一、二维随机变量
二、边缘分布
三、相互独立的随机变量 四、两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量
定义1 设随机试验 的样本空间是 设 和 是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一 个向量 定义2 设 二元函数 称为二维随机变量或二维随机向量。 是二维随机变量，对于任意实数
16
一、二维离散型随机变量
定义： 若二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值 ( xi , y j ),
i, j 1, 2, 是有限对或可列无限多对时，则称 ( X , Y ) 为 离散型随机变量。
P{ X xi , Y y j } pi j (i , j 1 , 2 , )
若存在 f ( x, y) 0 , 使得对任意实数 x , y , 总有
F ( x, y )
y
x
f (u , v )dudv
则称 ( X , Y ) 为二维连续型随机变量, f ( x, y ) 称为 ( X , Y ) 的 概率密度,或称为随机变量 X 和 Y的联合概率密度。 f (x,y)的性质: ① f ( x, y ) 0 ②
概率论与数理统计
三
、二维连续型随机变量的边际分布
设X和Y的联合概率密度为 p(x, y) 和 的联合概率密度为 则X与Y 的边际分布函数为 与
FX (x) = ∫ (∫ p(u, v)dv)du
F ( y) = ∫ (∫ p(u, v)du)dv Y
−∞ −∞
x
+∞
−∞ y
−∞ +∞
求导得X与 求导得 与Y 的边际密度函数分别为
X P -1 0 1 Y P 0 0.5 1 0.5
0.25 0.5 0.25
如果P(XY=0) = 1 ,试求 如果 试求 (1). (X,Y)的联合分布列 的联合分布列 (2). X与Y是否独立 是否独立? (P151) 与 是否独立
注: 若两随机变量相互独立 且又有相同 若两随机变量相互独立, 的分布, 不能说这两个随机变量相等. 的分布 不能说这两个随机变量相等 如
F(x, y) = FX (x)F ( y) Y
若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 则称事件 独立
离散型 X与Y 独立 与 对一切 i , j 有 P(X = xi ,Y = yj ) = P(X = xi )P(Y = yj ) 即 pij = pi p j 连续型
p(x, y) = pX (x) pY ( y)
设(X,Y)服从三项分布 M (n, p1 , p2 , p3 ) 服从三项分布 其联合分布列为
n! i P( X = i,Y = j) = p1 p2j (1− p1 − p2 )n−i− j , i! j!(n −i − j)! i, j = 0,1 ,2,..., n, i + j ≤ n
则
X ~ b(n, p1 ), Y ~ b(n, p2 )
概率论第三章ch3_2
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于X，Y 的边缘概率密度 fX(x), fY ( y ) .
解：
对称区间上的 奇函数！
仅由概率密度 函数无法确定 联合概率密度 函数！但是如 果还有它们之 间联系的条件 则可能！
例题：已知二维随机变量( X , Y )的边缘分布律为
并且P{XY=0}=1，求关于X，Y 的联合分布律。 解：
所以 X服从正态分布即
同理可得Y的分布密度：
二元正态分布的边缘分布是一元正态分布并且与 参数ρ无关。
例题：已知二维随机变量( X , Y )的联合概率密度为
求关于Y 的边缘概率密度 fY ( y ) . 解：
当0<y<1与y>1 时被积函数非0 区域不同!
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
解：X=1,2，3,4，而 Y=1，。。。，X
故所求的边缘分布律与联合分布律为：
边缘密度函数的求法
若已知连续型随机向量(X,Y)的联合概率密度函数f(x,y), 则也可求出它的边缘概率密度函数。事实上：
例4：设区域D是由曲线y=x2与直线y=x围成，并且随机向量 (X，Y)服从D上的均匀分布，求联合概率密度与边缘概率 密度函数。
二维随机变量( X , Y )的联合概率密度图
function bbb
[x,y]=meshgrid(0:0.1:4);
z=f(x,y); mesh(x,y,z);
function z=f(x,y) z=zeros(size(x));
l=(x>=1&y>1./x&y<=x);
z(l)=1./(2*x(l).^2.*y(l));
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布第二节边缘分布
24 5
y(2
f
0
x,
x), 0 x 1,0 , 暂时固定其它
ydy
y
x
y
当 x 1或 x 0时,y ,,
x
概率论
y x
都有 f x, y 0,故 fX x 0 . x 0 x 1 x x
当 0 x 1时,
fX
x
0
f
x,
y dy
x
0
f
x,
y dy
x
f
x,
y dy
一、边缘分布函数 (marginal distribution)
概率论
二维随机变量 (X, Y) 作为一个整体, 具有分布函数 F(x, y), 而 X 和 Y 都是随机变量, 也有各自的分布函数, 分别记为 FX(x), FY(y), 依次称为二维随机变量 (X, Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为:
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,
3
13
0 18 38 0 38 0 0 18
概率论
P{X=0}=P{X=0, Y=1}+P{X=0, Y=3}=1/8, P{X=1}=P{X=1, Y=1}+P{X=1, Y=3}=3/8, P{X=2}= P{X=2, Y=1}+P{X=2, Y=3}=3/8, P{X=3}=P{X=3, Y=1}+P{X=3, Y=3}=1/8.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
其中 x1, x2 ,, xn 为任意实数.
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )
xn
xn1
x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
2 1
所以
fX (x)
f ( x, y)dy
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2
2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )
xn
xn1
x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
2 1
所以
fX (x)
f ( x, y)dy
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2
2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有
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则 ( X , Y ) 关于 X 的边缘分布律为
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
0 1
y
解:
y=x
x
当0 y 1
F ( x,) F (, y )
例1: 已知
的分布函数为
求
关于
问 解:
的边缘分布函数 各服从什么分布？ 关于 的边缘分布函数为
和
同理，
二、 离散型随机变量的边缘分布律 设 ( X , Y ) 的分布律为 P{X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,)
f ( x, y)dy f ( x, y)dx
fY ( y )
分别是 ( X , Y ) 关于X 和Y 的边缘概率密度。
例3. 设 G ( x, y) | 0 x 1, 0 y x , ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布, 求 ( X , Y ) 关于 X 和Y 的边缘概率 密度 f X (x)和 f Y ( y)
当 y other
fY ( y) f ( x , y )dx 2 dx 2(1 y ) y fY ( y ) 0
1
2(1 y ), 0 y 1 fY ( y ) 其它 0 ,
6, x 2 y x, 例4 已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) 其它. 0, 求 f X ( x ) , fY ( y ) 。 y y x2
第二节
边缘分布
一 、边缘分布函数 二、边缘分布律 三、边缘概率密度
第三章
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
一、 边缘分布函数
分别 的联合分布函数为 设 记 的分布函数为 FX ( x) 和 FY ( y)，称为关于 和 的边缘分布函数。
边缘分布函数的计算：
FX (x)
同理可得
通常用以下表格表示 ( X , Y )的分布律和边缘分布律
例 将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： Y 1 2 3 4 5 6 X 1 2 3 4 5 6
例2、已知随机变量X和Y的分布列分别为
X -1 0 1/2 1 1/4 Y
j . p·
解 当0 x 1
1
yx
f X ( x)
f ( x, y )dy 2 6dy
x
x
6( x x 2 ) 当 x other f X ( x) 0 合并即可 y 6dx 6( y y ), 0 y 1, y fY ( y ) f ( x, y )dx 0, 其它.
P{ X xi } P{ X xi , (Y y j )}
P{ X xi , Y y j }
j 1
j 1
,i 1 , 2 ,
记做 pi
同理 P{Y y j }
p
i 1
ij
, j 1 , 2 , 记做 p j
o
1
x
注：联合分布 书69页：例5，6
维正态分布； ② 边缘分布与ρ无关，说明了由边缘分布不能确 定联合分布。
0 1/4 0 1/4 1/2
1 0 1/2 0 1/2
1/4
三、连续型随机变量的边缘概率密度
若 是二维连续型随机变量, 其概率密度为
f ( x , y ) , 则:
FX ( x) F ( x , ) f X (x)
同理
x
f (u , v) dv du
0 1/2
1 1/2
pi · 1/4
且P{XY=0}=1，求(X,Y)的分布律 解、 P{XY≠0}=0= P{X≠0, Y≠0} Y X =P{X=-1, Y=1}+ P{X=1, Y=1} 从而P{X=-1, Y=1}=P{X=1, Y=1}=0 -1 0 1 pi · p· j 1/4 1/2
y
解:
的概率密度为
0 1
y=x x
当0 x 1 当 x other
f X (x) f ( x , y )dy 0 2 dy 2 x
f X ( x) 0
x
f X ( x)
例2. 上服从均匀分布, 密度 和 的概率密度为
0 1
y
解:
y=x
x
当0 y 1
F ( x,) F (, y )
例1: 已知
的分布函数为
求
关于
问 解:
的边缘分布函数 各服从什么分布？ 关于 的边缘分布函数为
和
同理，
二、 离散型随机变量的边缘分布律 设 ( X , Y ) 的分布律为 P{X xi ,Y y j } pij (i, j 1,2,)
f ( x, y)dy f ( x, y)dx
fY ( y )
分别是 ( X , Y ) 关于X 和Y 的边缘概率密度。
例3. 设 G ( x, y) | 0 x 1, 0 y x , ( X , Y ) 在 G 上服从均匀分布, 求 ( X , Y ) 关于 X 和Y 的边缘概率 密度 f X (x)和 f Y ( y)
当 y other
fY ( y) f ( x , y )dx 2 dx 2(1 y ) y fY ( y ) 0
1
2(1 y ), 0 y 1 fY ( y ) 其它 0 ,
6, x 2 y x, 例4 已知 ( X , Y ) ~ f ( x, y ) 其它. 0, 求 f X ( x ) , fY ( y ) 。 y y x2
第二节
边缘分布
一 、边缘分布函数 二、边缘分布律 三、边缘概率密度
第三章
研究问题：已知联合分布，怎样求 X,Y 的边缘分布。
一、 边缘分布函数
分别 的联合分布函数为 设 记 的分布函数为 FX ( x) 和 FY ( y)，称为关于 和 的边缘分布函数。
边缘分布函数的计算：
FX (x)
同理可得
通常用以下表格表示 ( X , Y )的分布律和边缘分布律
例 将骰子抛两次，X—第一次出现的点数， Y—第二次出现的点数，求（X , Y）的分布律。 解： Y 1 2 3 4 5 6 X 1 2 3 4 5 6
例2、已知随机变量X和Y的分布列分别为
X -1 0 1/2 1 1/4 Y
j . p·
解 当0 x 1
1
yx
f X ( x)
f ( x, y )dy 2 6dy
x
x
6( x x 2 ) 当 x other f X ( x) 0 合并即可 y 6dx 6( y y ), 0 y 1, y fY ( y ) f ( x, y )dx 0, 其它.