高数下册第11章复习题与答案

第十一章-无穷级数练习题
（一）. 基本概念
1.设∑∞
=1n n U 为正项级数，下列四个命题
（1）若,0lim =∞
→n n U 则∑∞
=1
n n U 收敛；
（2）若∑∞=1
n n U 收敛，则∑∞
=+1
100n n U 收敛；
（3）若,1lim 1>+∞→n
n n U U 则∑∞
=1n n U 发散； （4）若∑∞
=1n n U 收敛，则1lim 1<+∞→n
n n U U ．
中, 正确的是( ) A ．(1)与(2); B ．(2)与(3);
C ．(3)与(4);
D ．(4)与(1)．
2.下列级数中，收敛的是（ ）． A ．∑∞=1
1
n n ； B ．∑∞
=+112n n n ； C ． +++3001.0001.0001.0; D ． +⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+4
3243434343． 3.在下列级数中，发散的是（ ）． A ．∑∞
=-11
)1(n n n ；
B ．∑∞
=+11n n n
； C ．∑
∞
=1
3
1n n
n
;
D ． +-+-44
33224
3434343．
4.条件（ ）满足时，任意项级数
1
n
n u
∞
=∑一定
收敛.
A. 级数1
||n n u ∞
=∑收敛；
B. 极限lim 0n n u →∞
=；
C ． 极限1
lim
1n n n
u r u +→∞=<；
D. 部分和数列1
n n k k S u ==∑有界.
5.下列级数中条件收敛的是（ ）．
A . ∑∞
=1
1
cos n n ; B. ∑∞
=1
1n n ;
C. ∑∞=-1
1)1(n n n ; D. ∑∞
=-1
1
)1(n n n n ．
6.下列级数中绝对收敛的是（ ）．
A . ∑∞
=-1
1)1(n n n ; B. ∑∞
=-1
21)1(n n n ; C. ∑∞
=+-1
1)1(n n n n ; D. ∑∞
=11sin n n ． （二）. 求等比级数的和或和函数。

提示：注
意首项 7.幂级数 102
1+∞
=∑n n n x 在)2,2(-上的和函数=)(x s ． 8.幂级数 ∑∞
=-0
4)1(n n n
n
x 在)4,4(-上的和函数
=)(x s ．
9.无穷级数1
25()3
n n ∞
=∑的和S = .
（三）. 判定正项级数的敛散性。

10.判别级数∑∞
=12
!
)2()!(n n n 的敛散性．
解
11.判别级数的敛散性．
1n ∞
=, 211
1n n n ∞
=++∑ ,
1
ln(1n ∞
=∑, 1
3sin
4
n
n
n π
∞
=⋅∑,
1
(1cos )n n π
∞
=-∑
12.判别级数的敛散性．
1
3!n n n n n ∞
=⋅∑ ,
2341
33333234......44444n
n n ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑
（四）. 判定交错级数是否收敛，如果收敛，
是绝对收敛还是条件收敛。

提示：分三步，先判断是否绝对收敛，然后用莱布尼兹判
别法
n u ，最后结论为条件收敛。

13.判定级数 )11ln()
1(1
1
∑∞
=-+
-n n n
是否收敛?
如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：
14.判定级数 (
)
∑∞
=--+-1
1
1)1(n n n n 是否收
敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解：
15.判别级数)1
1ln()1(1n
n n +
-∑∞
=的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求说明理由）.
解
16.判别级数∑∞
=---11
1
32)1(n n n n
的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.
解
（五）. 求幂
级数
200
; ()∞
∞
==-∑∑n
n n
n n n a x
a x x 的收敛区
间。

提示：变量代换，区间不要端点
18. 求幂级数21
1
(3)+∞
=-∑n n n x n 的收敛半径和收敛
区间
解
19.求幂级数11(1)(2)(1)3n n
n
n x n -∞
=--+∑的收敛半径和收敛区间 解
20.求幂级数n n n x n
)12(3
1+∑
∞
=的收敛区间． 解：
（六）. 将函数展开成x 的幂级数，指出收敛
区间（提示：间接展开法，记展开式） 21.将函数 )2)(1()(+-=x x e e x f 展开为x 的幂级数（指出收敛区间）． 解：
22.将函数21
()ln(1)x f x xe
x -+=++展开为x 的幂级数，并指出收敛区间． 解
23.将函数)2ln()(x x f +=展开成)1(+x 的幂级数，并写出收敛域.
解 （七）.
求幂级数的和函数
25.利用幂级数和函数求数项级数
1
1
21-∞
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∑
n n n 的和．
解：
26.求幂级数∑∞
=+13
)1(n n
n
n x 的和函数并写出收敛区间．
解： .
（八）. 相关证明
29.设0>n a ，且}{n a n 为有界数列．证明：无穷级数2
/31n
n a ∑∞
=收敛．
证
30.设级数2
1
n n u ∑∞
=与2
1
n n v ∑∞
=都收敛，证明级数
21
)(n n n v u +∑
∞
=也收敛．
证
31.设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞
=1n n a ，
∑∞
=1
n n
c
都收敛，试证明：
级数∑∞
=1n n b 收敛.
证：
34.设2
n
n n u u p +=
，2
n
n n u u q -=
，试证明
级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛的充分必要条件是∑∞
=1
n n p ，
∑∞
=1
n n
q
都收敛．
证：
35.设级数)(11
-∞=∑-n n n a a 收敛，又∑∞
=1
n n b 是收敛
的正项级数，证明级数n n n b a ∑∞
=1
绝对收敛．
证：
第十一章-无穷级数练习题答案
1. ( B ) ；
2.（ D ）；
3.（ B ）；
4.（ A ）；
5.（ C ）．
6.（ B ）；
7. =)(x s x x -22； 8. =)(x s 4
4
+x ；9. S = 10 .
10.判别级数∑∞
=1
2
!)2()!(n n n 的敛散性．
解 212[(1)!](2)!
lim lim [2(1)]!(!)n n n n
U n n U n n +→∞→∞+=⋅+
)
22)(12()
1)(1(lim ++++=∞→n n n n n
14
1
<= ∴原级数收敛 11.判别级数的敛散性．（比较法）
1n ∞
=收敛,
2
1
1
1n n n ∞
=++∑ 发散,
1ln(1n ∞
=∑发散, 1
3sin
4n n
n π
∞
=⋅∑收敛,
1
(1cos )n n π
∞
=-∑收敛
12.判别级数的敛散性（比值法）．
1
3!n n n n n ∞
=⋅∑收
敛
,
2
3
4
1
33333234......44444n
n n ∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑收敛
13.判定级数 )11ln()1(1
1∑∞
=-+
-n n n
是否收敛?
如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解： ∞→n ， n n u n 1~)11ln(+=， 因为 ∑∞
=11n n 发散，所以 ∑∞
=+111n n 发散； 又 )11ln(n u n += 单调递减，且0l i m =∞
→n n u ， 因此 ∑∞
=-+-11)11l n ()1(n n n 收敛，且为条件收敛． 14.判定级数 (
)
∑∞
=--+-11
1)1(n n n n 是否收
敛? 如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?
解
：
∞→n ,
n
n
n n n u n 21
~
111++=
-+=，
所以
(
)
∑∞=-+1
1n n n 发
散;
又n
n u n ++=
11单调递
减，且0lim =∞
→n n u ，
因此
(
)
∑∞
=--+-1
1
1)1(n n n n 收敛，且为
条件收敛．
15.判别级数)1
1ln()1(1
n
n n +
-∑∞
=的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛（要求说明理由）.
解 )11l n ()11l n ()1(1
1n n n n
n +=+-∑∑∞
=∞=, 则
因 1ln(1)lim
11
n n n →∞+= )11l n (1
n n +∴∑∞
=发散，原级数不绝对收敛； 又1)1
1
1ln()11ln(+=++
≥+=n n u n n u 且0)11ln(lim lim =+=∞→∞→n
u n n n ∴ )11ln()1(1
n n n +-∑∞=收敛。

所以1
1ln()1(1
n
n n +-∑
∞
=为条件收敛。

16.判别级数∑∞
=---1
1
1
32)1(n n n n
的敛散性，如果收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛.
解 132-=n n n
u
131233)1(2lim lim 11<=⋅+=-∞→+∞→n n u u n n n n
n n
∴级数∑∞
=---11
1
3
2)1(n n n n
收敛且是绝对收敛.
18. P283例3 19.求幂级数11
(1)(2)
(1)3n n
n
n x n -∞=--+∑的收敛半径和收敛区间
解 31
3)2(3)1(l i m l i m 11=
++=+∞→+∞→n n n n n n n n a a 3=∴R
23x -<，所以收敛区间为(1,5)-
20.求幂级数n
n n
x n )12(3
1
+∑
∞
=的收敛区间． 解：
31
3
3)1(l i m
l i m 11=⋅⋅+==+∞→+∞→n n
n n
n n n n a a
ρ， 31
==
ρ
R ， 312<+x ，所以收敛区间为)1,2(-．
21.将函数 )2)(1()(+-=x x e e x f 展开为x 的幂级数（指出收敛区间）．
解： 2)(2-+=x x e e x f
)(2!
!)2(00+∞<<-∞-+=∑∑∞=∞
=x n x n x n n n n
2!120-+=∑∞
=x n n n n 或
)(!121
+∞<<-∞+=∑∞
=x x n n
n n 22.将函数21
()ln(1)x f x xe
x -+=++展开为x 的幂级数，并指出收敛区间．
解
2()ln(1)x f x exe x -=++
100
(2)(1),(11)!1n n n n n x x ex x n n +∞
∞
==-=+--<<+∑∑
1100
(2)(1),
(11)!1n n n n n n e x x x n n ++∞
∞
==-=+--<<+∑∑
10
(2)1
(1),(11!
1n n n n e x
x n n ∞
+=⎡⎤-=+--<<⎢⎥+⎣⎦∑
23.将函数)2ln(
)(x x f +=展开成)1(+x 的幂级数，并写出收敛域.
解
)
2l n ()(x x f +=
∑∞
=+++-=++=0
1
1)1()
1()11ln(n n n
n x x 收敛域为 ]0,2(-
25.利用幂级数和函数求数项级数1121-∞
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∑n n n 的和． 解：作级数11
-∞
=∑n n x n
①
11
lim lim
1=+=∞→+∞→n n a a n n
n n 1=∴R
当1=x 时，n n ∑∞
=1
发散；当1
-=x 时，n n n 11
)1(-∞
=-∑发散.
所以收敛域为 )1,1(-∈x ②
x x x dx x n dx x n dx x S n n n x n n n x x -====∑⎰∑∑⎰⎰∞=-∞=-∞=1)(1
10
11100 ③ (-1,1) )1(1
)1()(2
∈-='-=x x x x x S ④ 当21
=x 时，421)21(1
1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-∞=∑n n n S 26.求幂级数∑∞
=+13
)1(n n
n
n x 的和函数并写出收敛区间．
解：设111
()(),(1)3
n n
n x S x S x n x ∞
===+∑ 其中1
11()(1)3n n
n x S x n +∞
==+∑，逐项求导得： 111()()
33n n
n n n x x S x ∞∞=='==∑∑3,313
x
x
x x =
=
--
（13
x <） 故
10()3x
x
S x dx x
=-⎰
3ln 33ln3x x =---+ 所以 113ln(3)3ln 3()()1x S x S x x
--+==-，.
29.设0>n a ，且}{n a n 为有界数列．证明：无穷级数2/31
n n a ∑∞=收敛．
证 因为0>n a ，且}{n a n 为有界数列， 所
以
,0..0M na t s M n ≤<>∃
,0n M a n
≤<∴ 故,102/32/32/3n M a n ≤< 因为正项级数2/311n n ∞=∑收敛，由比较审敛法得知2
/31
n n a ∑∞
=收敛. 30.设级数2
1n n u ∑∞=与21
n n v ∑∞
=都收敛，证明级数21
)(n n n v u +∑∞
=也收敛． 证
,222)(022222n n n n n n n n v u v v u u v u +≤++≤+≤ 因为21n n u ∑∞
=与21n n v ∑∞=都收敛，所以)22(2
21n n n v u +∑∞
=收敛， 因此，级数21
)(n n n v u +∑∞
=收敛．
31.设),2,1( =≤≤n c b a n n n ，且级数∑∞
=1
n n a ，
∑∞
=1
n n
c
都收敛，试证明：
级数∑∞
=1n n b 收敛.
证
：
),2,1(0 =-≤-≤n a c a b n n n n 由
)(1
∑∞
=-n n n a c 收敛，知
)(1
∑∞
=-n n n
a b
收敛，
所以
级
数
)]([1
1
∑∑∞
=∞=-+=n n n n
n n a b a
b 收敛.
34.设2
n
n n u u p +=
，2
n
n n u u q -=
，试证明
级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛的充分必要条件是∑∞
=1
n n p ，
∑∞
=1
n n
q
都收敛．
证：1）若∑∞
=1
n n p ，∑∞
=1
n n q 都收敛，则由
=∑
∞
=1
n n u ∑∞=-1
)(n n n q p 可得∑∞
=1n n u 收敛，
即∑∞
=1
n n u 绝对收敛；
2）若∑∞=1
n n u 绝对收敛，则∑∞=1
n n u ，∑∞
=1
n n
u 都收敛，因而
∑
∑∞
=∞=+=1
1
2
n n
n n n u u p ，
∑
∑∞
=∞
=-=1
1
2
n n
n n n
u u q
都收敛；
所以级数∑∞
=1
n n u 绝对收敛的充分必要条件是
∑∞
=1
n n
p
，∑∞
=1
n n q 都收敛．
35.设级数)(11
-∞=∑-n n n a a 收敛，又∑∞
=1
n n b 是收敛的正项级数，证明级数
n
n n b
a ∑∞
=1
绝对收敛．
证：级数
)(11
-∞
=∑-n n n
a a
的前n 项和为
0a a S n n -=，
由于级数
)(11
-∞
=∑-n n n
a a
收敛，可知
S S n n =∞
→lim ，
因而 0lim a S a n n +=∞
→，故数列 {}n a 有界，即
M a n ≤（ ,2,1=n ）
由于正项级数
∑∞
=1
n n
b
收敛，且
n n n Mb b a ≤ ， 所以级数 n n n b a ∑∞
=1 绝对收敛．。