立体几何知识点总结(全)

空间向量与立体几何知识点总结
r
r
一．向量基本运算： 设 a x1 , y1, z1 ， b x2, y2 , z2
r r rr
rr r r
1． a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0 2. a // b a b x1 x2 , y1 y2 , z1 z2
3.
r a
rr aa
x12 y12 z12
二、空间角的计算
1. 两条异面直线所成角的求法
rr 设直线 a、 b 的方向向量为 a 、 b ，其夹角为
cos ，则有
rr ab | cos | r r ab
2. 直线和平面所成角的求法
r 设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法向量为
rr au sin |cos | r r 或 cos sin au
二 . 空间几何体的直观图
斜二测画法的基本步骤： ① 建立适当直角坐标系 xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）
② 建立斜坐标系
x'O' y' ，使
x'O
'
y'
0
=45 （或
0
135 ）
③ 画对应图形 在已知图形平行于 在已知图形平行于
X 轴的线段，在直观图中画成平行于 Y 轴的线段，在直观图中画成平行于
简记为： 线面平行，则面面平行 .
a ,b
符号： aI b A
P
aP ,b P
2．平面与平面平行的性质定理 ：如果两个平行的平面同时与第三个平面 相交 ，那么它们的 交线 平行。
证明线线平行的方法
①三角形中位线
②平行四边形 ③线面平行的性质
④平行线的传递性
⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行；
r u ，直线与平面所成的角为θ，
3. 二面角的求法
rr a 与 u 的夹角为
，则有
ur uur 设 n1 ， n2 是二面角
ur uur
l
的两个面 ， 的法向量，则向量 n1 ， n2 的夹角（或其补角）就是二
面角的平面角的大小．若二面角 三． 点 P 到平面 α 的距离
ur uur n1 n2 l 的平面角为 ，则 cos ur uur ． n1 n2
证明线线垂直的方法
①定义：两条直线所成的角为 90°； （特别是证明异面直线垂直） ； ②线面垂直的性质
③利用勾股定理证明两相交直线垂直；
④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
五：三种成角
1. 异面直线成角
步骤： 1、平移，转化为相交直线所成角； 2、找锐角（或直角）作为夹角； 注意： 取值范围： （ 0。 ,90 。]. 2. 线面成角： 斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围： （ 0。 ,90 。 ].
4.
rr
rr ab
cos a, b r r
ab
x1x2 y1 y2 z1 z2
x12 y12 z12
x22
y
2 2
z22
一、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法
ur uur 1.若两直线 l1 、l 2 的方向向量分别是 u1 、 u2 ，则有 l1// l 2
ur uur u1 // u2 ， l1⊥ l 2
且 OA l, OB l ,则 AOB为二面角 - l - 的平面角。 取值范围：（ 0。,180 。）
Ib
补充： 平行于同一平面的两平面平行；
夹在两平行平面间的平行线段相等；
两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
3．平面与平面垂直的判定
六 . 点到平面的距离： 定义法和等体积法 2/ 3
必修 2 第一章 空间几何体知识点总结
一 . 空间几何体的三视图 正视图 ：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图 ：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图 ：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点： “长对正”，“高平齐” ，“宽相等”
符号语言： a∥ b, a ⊥ α， ? b⊥ α
四．平面与平面的位置关系：
平行——没有公共点：
符号 α∥β
相交——有一条公共直线 : 符号 α∩β =a
1．平面与平面平行的判定
(1) 定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2) 判定定理：一个平面内的 两条相交直线 与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号
A l,B l
l
语言
A ,B
作用 判断线在面内
公理 2
过不在一条直线上的三点，有 且只有一个平面 .
A, B,C不共线 A, B,C确定平面 确定一个平面
公理 3
如果两个不重合的平面有一个公 共点，那么它们有且只有一条过该 点的公共直线 .
P ,P
I
l
Pl
证明多点共线
公理 2 的三条推论： 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 .
简记为： 线面面垂直，则面面垂直 .
l 符号：
l
推论： 如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。 4. 平面与平面垂直的性质定理： 两个平面互相垂直，则一个平面内 垂直于交线的直线 垂直于另一个平 面。
简记为： 面面垂直，则线面垂直 .
推论： 如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
r 如果令平面α的法向量为 n ，考虑到法向量的方向，可以得到
uuur r
uuur AB n
BO
r
B 点到平面α的距离为
n
3/ 3
3、求解
如图： PA 是平面 的一条斜线， A 为斜足， O 为垂足， OA叫斜线 PA 在平面 上射
影， PAO 为线面角。
3 . 二面角： 从一条直线出发的两个半平面形成的图形
如图：在二面角 - l - 中， O棱上一点， OA ， OB ，
简记为： 面面平行，则线线平行 .
P
符号： I
a
a Pb
2.若两平面α、β的法向量分别是
ur uur v1 、 v2 ，则有α //β
ur uur v1 // v2 ，α⊥β
r
r
3.若直线 l 的方向向量是 u ，平面的法向量是 v ，则有 l //α
rr u ⊥ v ， l⊥α
ur uur u1 ⊥ u2 ．
ur uur v1 ⊥ v2 ．
rr u // v
X‘轴，且长度保持不变； Y‘轴，且长度变为原来的一半；
直观图与原图形的面积关系：
2
S直观图
S原图形
4
三 . 空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧面积 ； S侧面 2 r l
⑵圆锥侧面积： S侧面
rl
⑶圆台侧面积： S侧面 V柱体 S h
r l Rl
V锥体
1 Sh
3
1
V台体
h S上
3
S上 S下 S下
球的表面积和体积
平行——没有公共点
符号 a ∥α
说明： 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 1．直线和平面平行的判定
a α来表示
(1) 定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2) 判定定理：平面 外 一条直线与此平面 内 的一条直线 平行 ，则该直线与此平面平行。
简记为： 线线平行，则线面平行。
二．直线与直线的位置关系
共面 直线： 相交 直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行 直线：同一平面内，没有公共点；
异面 直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交）
三．直线与平面的位置关系有三种情况：
在平面内——有无数个公共点 相交——有且只有一个公共点
． 符号 a α 符号 a ∩α = A
S球
4 R2，V球
4 R3 . 3
正三棱锥 是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
正四面体 是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。
第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结
一 . 平面基本性质即三条公理 公理 1
图形 语言
文字 语言
如果一条直线上的两点在 一个平面内， 那么这条直线 在此平面内 .
a
符号： b
a //
a // b
2．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则 过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为： 线面平行，则线线平行 . 1/ 3
aP
符号 : a
a Pb
Ib
3．直线与平面垂直
⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的 任意 一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定定理：一条直线与一个平面内的 简记为： 线线垂直，则线面垂直 .
两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号： m, n
mI n A
l
l m,l n
4. 直线与平面垂直
性质Ⅰ： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号： a
a Pb
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b
性质Ⅱ： 垂直于同一直线的两平面平行
符号：
l
P
l
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面 经过 另一个平面的一条 垂线 ，则这两个平面垂直。