二次规划的算法研究
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Ｋａｒｍａｒｋａｒ的著名算法…Ｌ一梯度投影算法发表以来，其理论上的多项式收敛性及
实际计算的有效性，使得内点算法成为近十多年来优化界研究的热点。受 Ｋａｒｍａｒｋａｒ算法的影响，二次规划的内点算法紧接着也被提了出来。内点算法的基 本思想就是在可行域的内部产生一个点列，使得这个点列收敛到原问题的最优解。
ｆ（ｘ‘２’）≥ｆ（ｘｍ）＋Ｖ厂（ｘ‘’’）’（ｘ（２）一ｘ（１’）
ｆ（ｘ）为严格凸函数的充要条件是对任意的互不相同的两点ｘ（“，ｘ（２’∈Ｓ，都有
第一章绪论与预备知识
，（ｘ（２’）＞ｆ（ｘ‘１’）＋１Ｚ厂Ｏ‘１’）７０‘２’～工‘１’） Ｉ定理２１（凸函数的判别法则）设Ｓ是Ｅ“中的非空开凸集，，（ｘ）是定义在Ｓ上 的二次可微函数，则ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件是在每一点ｘ∈Ｓ处Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵半
ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｄｕａｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ａ ｓｅｒｉｅｓ
Ｖ２，（曲＝ ａ２厂 ａ２，
苏２钒苏２２
ａ２厂 ａ２，
融．缸ｌ 缸。缸２
ａ２， 础ｌａ％
ａ２，
融２苏。 ａ２，
ａ％２
为ｆ（ｘ）在点ｘ处的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵。
【定理１ｌ（凸函数的判别法则）设ｓ是Ｅ”中的非空开凸集，ｆ（ｘ）是定义在ｓ上
的可微函数，则，（曲为凸函数的充要条件是对任意的两点ｘ∞，ｘ‘２）∈Ｓ。都有
西安电子科技大学 硕士学位论文
二次规划的算法研究 姓名：雍龙泉
申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：刘三阳 20050101
摘要
二次规划是一类重要的优化问题，它在运筹学、经济数学中有着广泛的应用， 因此，对二次规划算法的研究具有重要意义。本论文着重研究了凸二次规划的几 种内点算法，并详细分析了所给算法的收敛性。
正定。
【定义Ｓｌ（多面体的定义）有限多个半空间的交集称为多面体（ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）： 一个有界的多面体称为多胞形（ｐｏｌｙｔｏｐｅ）。
ｆ定义６１（半连续性的定义） 下半连续函数（１０ｗｅｒ ｓｅｍｉ·ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）：集合Ｓ￡掣上定义的实值函数，（石）在
Ｓ内的点ｘ处称为下半连续，如果对于Ｓ中的每个点列而，ｘ：…，当ｘ。收敛到ｘ．并
且／（ｘｔ），ｆ（ｘ：），…的极限存在时，有，（Ｄｓ垫ｆ（ｘｔ）；
上半连续函数（ｕｐｐｅｒ ｓｅｍｉ．ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）：如果对Ｓ中的每个具有上述性质的点
列Ｘｔ ｚ２…，有，（ｘ）＞ｔ…ｉｍｆ（ｘ－）。
函数ｆ（ｘ）在工既下半连续，又上半连续，则它在点善连续。
删＝百度文库茹呈吲明
则函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０上半连续，但不是下半连续的。
【定义Ｓｌ（整体最优解）设，（ｘ）为目标函数，Ｓ为可行域，工∈Ｓ，若对每一
个，∈Ｓ，、成立，（功≥，（；），则称；为极小化问题ｍｉｎ，（砷，ｘ∈ｓ的最优解（整体最
优解）。 【定理４１凸函数厂：Ｓ＿Ｒ（其中Ｓ∈Ｒ”是凸集）的每个局部极小点也是全
本人签名：
导师签名：刭兰塑
日期．塑盟
第一章绪论与预备知识
第一章绪论与预备知识
§１．１ 二次规划的模型及其研究现状
二次规划是非线性规划的一种特殊类型，在这里目标函数是＝次的丽约束是线 性的。它的～般形式为：
（ＱＰ）ｊｒａｉｎｆ（加≯ｇ＋ｃｋ
Ｉ
ｓ２． ｚ∈Ｄ
其中Ｄ是彤中的一个多面体，ｃ∈彤，Ｑ是一个ｎｘＨ的实对称矩阵。该二次规划
如果对任意的ｘ‘”，ｘ‘２’∈Ｓ及每个数五∈（Ｏ，１）都有
ｆ（Ａｘ（１’＋（１一Ａ）ｘ‘２’）≤∥（工‘１’）＋（１一兄），（ｘ‘２’）
则称／为Ｓ上的凸函数。
如果对任意互不相同的ｘ‘”，工‘２’∈Ｓ，及每一个数五Ｅ（０，１），都有
ｆ（Ａｘ‘”＋（１一五）ｘ‘２’）＜ａｆ（ｘ‘１’）＋（１—２）ｆ（ｘ‘２’）则称，为ｓ上的严格凸函数。
ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｓ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．
Ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｔｈｅｓｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｆｉｖｅ ｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ
关键词：二次规划Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶严格可行内点算法不可行内点算法 中心路径算法线性互补
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｂｒａｎｃｈ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，
ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｍａｎｙ ｆｉｅｌｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｅｃｏｎｏｍｉｃａｌ
ｏｆ ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ ｍａｔｒｉｘｅｓ，ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒｅｐｅａｔｅｄｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｈａｐｔｅｒｓ．Ａｔ ｌａｓｔ．ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ａｎ ＮＰ—咄ａｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ．
目前，二次规划算法的主流为内点算法。由于针对凸二次规划的多项式算法 已经日趋完普，因此人们把目光转到求解非凸二次规划，例如Ｏ．１二次规划【４５１， 非线性约束的二次规划等［４６１。
§１．２ 二次规划算法的基本知识和基本理论
§１．２，１ 基本概念 ｛定义１１（凸集的概念）设Ｓ为ｎ维歇氏空间Ｅ４中的一个集合，若对ｓ中的任
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔ ｉｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｍａｉｎｌｙ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ
Ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ
创新性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ Ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｅ ｂｄｅｆｉｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｎｅ．Ｉｎ
ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｎｕｎｉｎｇ，ｂａｓｉｃ
全文共分五章，第一章概述了二次规划的形式及其研究现状。为了给出二次 规划的内点算法，在该章给出了二次规划算法的基本知识和基本理论，包括基本 概念，最优性条件，对偶理论以及一类非奇异矩阵的证明，这些在论文的以后各 章都要反复用到。在该章的最后，作者指出二次规划是ＮＰ难问题。
第二章给出了求解凸二次规划的严格可行内点算法，并分析了其收敛性。 第三章给出了求解凸二次规划的不可行内点算法，并分析了其收敛性； 第四章把凸二次规划转化为线性互补问题，讨论了线性互补问题解存在的条 件，并给出了求解互补问题的中心路径算法，同时分析了其收敛性。 第五章绘出了球约束凸二次规划的一个算法：单纯形法。
ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｉｖｅ，ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｂａｌｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ
ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉＳ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．
ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｏｏ．
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｏｕｒ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｆｉｒｓｔｌｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ
ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ｃｅｎｔｒａｌ ｐａｔｈ ａｌｇｏｄｔｈｒａ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ
如果一，为ｓ上的凸函数，则称厂为ｓ上的凹函数。
【定义３】（梯度的定义）设函数ｆ（ｘ）存在一阶偏导数，ｘ∈Ｅ”，则称向量
蚴＝（掣ＯＬ Ｘ，。 掣曲 ，…Ｌ ，掣Ｏ＇Ｘ］２，
为ｆ（ｘ）在点ｘ处的梯度。
【定义４１（Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵的定义）设，０）存在－－阶偏导数，工Ｅ Ｅ”，则称矩阵
ａ２， ａ２，
融．２ 苏ｌ反２
事实上，不妨取 ｘｆ＝１／ｉ，则ｘ，呻０＝ｘ；（ｆ寸∞） ｆ（ｘ．）＝ｌ，ｆ， ｌ／２＝ｆ（ｘ）≥ｌｉｍｆ（１ｌｉ）＝ｌｉｌｎｌｌｔ＝０故上半连续。
‘【定理３ｌ如果ｓ是冠”中的一个非空紧集·ｍ）是Ｓ上的连续函数，那么八∞在
ｓ上至少有一个全局极小点。 【注】在上述定理中－如果将，（ｘ）的连续性替换成下半连续性，那么它的全局极
小点存在：类似地ｔ在非空紧集上，若函数灭ｚ）是上半连续的，则它的全局极大
值存在。
【定义７１（局部最优解的定义）设，（ｘ）为目标函数，ｓ为可行域，若存在；的占
领域Ⅳ；（为＝｛却ｌ ｘ一钏＜ｏｅ，ｇ＞Ｏ｝，使得对每个ｘ∈ｓｎⅣ。（二），成立，。）≥，‘），
４
二次规划的算法研究
则称；为极小化问题ｍｉｎ，（工），ｘ∈Ｓ的局部最优解。
Ｋｅｙ ｗｏｒｄ：Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；Ｌａｇｒａｎｇｅ ｄｕａｌｉｔｙ；Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：Ｉｎｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｆｉｔｈｒａ；
Ｃｅｎｔｒａｌ ｐａｔｈ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：
申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。
本人签名
关于论文使用授权的说明
本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。（保密的论文在 解密后遵守此规定）
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｗｏ，ｔｈｅ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ
ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｗｈｉｌｅ ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｈｒｅｅ，ｔｈｅ ｉｎｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ
有许多方面的应用，在统计学中一个典型的应用是线性回归问题；此外，二次规 划也是流行的序列二次规划问题的基本方法。在过去的几十年里，二次规划已经 成为运筹学、经济数学、管理科学、系统分析和组合优化学科的基本方法。因此， 对二次规划的研究引起了专业人员和学者们的广泛兴趣。
求解二次规划常用的算法有：Ｌａｇｒａｎｇｅ方法Ｉ”、有效集方法［２】、Ｌｅｍｅｋ方法ｆＪ】 以及求出所有解的接数标号法【３４】，但是这些算法都不是多项式算法。１９８４年，
意两点，连结它们的线段仍属于Ｓ；换言之，对Ｓ中的任意两点工（”，ｘ‘２’及每个实 数＾∈［０，１】，都有
２
二次规划的算法研究
兄ｘ（１’＋（１一Ａ）ｘ‘２’∈Ｓ
则称Ｓ为凸集。触（１’＋（１一Ａ）ｘ‘≈称为ｘ‘１’和ｘ‘２１的凸组合。
Ｉ定义２ｌ（凸函数的定义）设，为Ｅ”中的非空凸集，，是定义在Ｓ上的实函数
实际计算的有效性，使得内点算法成为近十多年来优化界研究的热点。受 Ｋａｒｍａｒｋａｒ算法的影响，二次规划的内点算法紧接着也被提了出来。内点算法的基 本思想就是在可行域的内部产生一个点列，使得这个点列收敛到原问题的最优解。
ｆ（ｘ‘２’）≥ｆ（ｘｍ）＋Ｖ厂（ｘ‘’’）’（ｘ（２）一ｘ（１’）
ｆ（ｘ）为严格凸函数的充要条件是对任意的互不相同的两点ｘ（“，ｘ（２’∈Ｓ，都有
第一章绪论与预备知识
，（ｘ（２’）＞ｆ（ｘ‘１’）＋１Ｚ厂Ｏ‘１’）７０‘２’～工‘１’） Ｉ定理２１（凸函数的判别法则）设Ｓ是Ｅ“中的非空开凸集，，（ｘ）是定义在Ｓ上 的二次可微函数，则ｆ（ｘ）为凸函数的充要条件是在每一点ｘ∈Ｓ处Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵半
ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｈａｐｔｅｒ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｄｕａｌｉｔｙ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ ａ ｓｅｒｉｅｓ
Ｖ２，（曲＝ ａ２厂 ａ２，
苏２钒苏２２
ａ２厂 ａ２，
融．缸ｌ 缸。缸２
ａ２， 础ｌａ％
ａ２，
融２苏。 ａ２，
ａ％２
为ｆ（ｘ）在点ｘ处的Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵。
【定理１ｌ（凸函数的判别法则）设ｓ是Ｅ”中的非空开凸集，ｆ（ｘ）是定义在ｓ上
的可微函数，则，（曲为凸函数的充要条件是对任意的两点ｘ∞，ｘ‘２）∈Ｓ。都有
西安电子科技大学 硕士学位论文
二次规划的算法研究 姓名：雍龙泉
申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：刘三阳 20050101
摘要
二次规划是一类重要的优化问题，它在运筹学、经济数学中有着广泛的应用， 因此，对二次规划算法的研究具有重要意义。本论文着重研究了凸二次规划的几 种内点算法，并详细分析了所给算法的收敛性。
正定。
【定义Ｓｌ（多面体的定义）有限多个半空间的交集称为多面体（ｐｏｌｙｈｅｄｒｏｎ）： 一个有界的多面体称为多胞形（ｐｏｌｙｔｏｐｅ）。
ｆ定义６１（半连续性的定义） 下半连续函数（１０ｗｅｒ ｓｅｍｉ·ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）：集合Ｓ￡掣上定义的实值函数，（石）在
Ｓ内的点ｘ处称为下半连续，如果对于Ｓ中的每个点列而，ｘ：…，当ｘ。收敛到ｘ．并
且／（ｘｔ），ｆ（ｘ：），…的极限存在时，有，（Ｄｓ垫ｆ（ｘｔ）；
上半连续函数（ｕｐｐｅｒ ｓｅｍｉ．ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ）：如果对Ｓ中的每个具有上述性质的点
列Ｘｔ ｚ２…，有，（ｘ）＞ｔ…ｉｍｆ（ｘ－）。
函数ｆ（ｘ）在工既下半连续，又上半连续，则它在点善连续。
删＝百度文库茹呈吲明
则函数ｆ（ｘ）在ｘ＝０上半连续，但不是下半连续的。
【定义Ｓｌ（整体最优解）设，（ｘ）为目标函数，Ｓ为可行域，工∈Ｓ，若对每一
个，∈Ｓ，、成立，（功≥，（；），则称；为极小化问题ｍｉｎ，（砷，ｘ∈ｓ的最优解（整体最
优解）。 【定理４１凸函数厂：Ｓ＿Ｒ（其中Ｓ∈Ｒ”是凸集）的每个局部极小点也是全
本人签名：
导师签名：刭兰塑
日期．塑盟
第一章绪论与预备知识
第一章绪论与预备知识
§１．１ 二次规划的模型及其研究现状
二次规划是非线性规划的一种特殊类型，在这里目标函数是＝次的丽约束是线 性的。它的～般形式为：
（ＱＰ）ｊｒａｉｎｆ（加≯ｇ＋ｃｋ
Ｉ
ｓ２． ｚ∈Ｄ
其中Ｄ是彤中的一个多面体，ｃ∈彤，Ｑ是一个ｎｘＨ的实对称矩阵。该二次规划
如果对任意的ｘ‘”，ｘ‘２’∈Ｓ及每个数五∈（Ｏ，１）都有
ｆ（Ａｘ（１’＋（１一Ａ）ｘ‘２’）≤∥（工‘１’）＋（１一兄），（ｘ‘２’）
则称／为Ｓ上的凸函数。
如果对任意互不相同的ｘ‘”，工‘２’∈Ｓ，及每一个数五Ｅ（０，１），都有
ｆ（Ａｘ‘”＋（１一五）ｘ‘２’）＜ａｆ（ｘ‘１’）＋（１—２）ｆ（ｘ‘２’）则称，为ｓ上的严格凸函数。
ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｎｄ ａｎａｌｙｚｅｓ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｎ ｄｅｔａｉｌ．
Ｔｈｅ ｗｈｏｌｅ ｔｈｅｓｉｓ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ｆｉｖｅ ｃｈａｐｔｅｒｓ．Ｔｈｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔ
关键词：二次规划Ｌａｇｒａｎｇｅ对偶严格可行内点算法不可行内点算法 中心路径算法线性互补
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｂｒａｎｃｈ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，
ｗｈｉｃｈ ｈａｓ ｗｉｄｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｍａｎｙ ｆｉｅｌｄｓ ｓｕｃｈ ａｓ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ，ｅｃｏｎｏｍｉｃａｌ
ｏｆ ｎｏｎｓｉｎｇｕｌａｒ ｍａｔｒｉｘｅｓ，ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ｂｅ ｒｅｐｅａｔｅｄｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｃｈａｐｔｅｒｓ．Ａｔ ｌａｓｔ．ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｐｏｉｎｔｓ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ａｎ ＮＰ—咄ａｒｄ ｐｒｏｂｌｅｍ．
目前，二次规划算法的主流为内点算法。由于针对凸二次规划的多项式算法 已经日趋完普，因此人们把目光转到求解非凸二次规划，例如Ｏ．１二次规划【４５１， 非线性约束的二次规划等［４６１。
§１．２ 二次规划算法的基本知识和基本理论
§１．２，１ 基本概念 ｛定义１１（凸集的概念）设Ｓ为ｎ维歇氏空间Ｅ４中的一个集合，若对ｓ中的任
ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｉｔ ｉｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｔｈｅ ｔｈｅｓｉｓ ｍａｉｎｌｙ ｄｅａｌｓ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ
Ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ
创新性声明
本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果：也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。
ｓｔｕｄｙｉｎｇ ｓｉｔｕａｔｉｏｎ Ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ａｌｅ ｂｄｅｆｉｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｏｎｅ．Ｉｎ
ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｎｕｎｉｎｇ，ｂａｓｉｃ
全文共分五章，第一章概述了二次规划的形式及其研究现状。为了给出二次 规划的内点算法，在该章给出了二次规划算法的基本知识和基本理论，包括基本 概念，最优性条件，对偶理论以及一类非奇异矩阵的证明，这些在论文的以后各 章都要反复用到。在该章的最后，作者指出二次规划是ＮＰ难问题。
第二章给出了求解凸二次规划的严格可行内点算法，并分析了其收敛性。 第三章给出了求解凸二次规划的不可行内点算法，并分析了其收敛性； 第四章把凸二次规划转化为线性互补问题，讨论了线性互补问题解存在的条 件，并给出了求解互补问题的中心路径算法，同时分析了其收敛性。 第五章绘出了球约束凸二次规划的一个算法：单纯形法。
ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｉｓ ｇｉｖｅｎ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ．
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｉｖｅ，ｔｈｅ ｓｉｍｐｌｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｂａｌｌ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ
ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉＳ ｐｒｏｐｏｓｅｄ．
ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｏｏ．
Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｆｏｕｒ，ｔｈｅ ｃｏｎｖｅｘ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｆｉｒｓｔｌｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｉｎｔｏ
ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｔｈａｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ａｒｅ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ａｎｄ ｃｅｎｔｒａｌ ｐａｔｈ ａｌｇｏｄｔｈｒａ ｆｏｒ ｌｉｎｅａｒ
如果一，为ｓ上的凸函数，则称厂为ｓ上的凹函数。
【定义３】（梯度的定义）设函数ｆ（ｘ）存在一阶偏导数，ｘ∈Ｅ”，则称向量
蚴＝（掣ＯＬ Ｘ，。 掣曲 ，…Ｌ ，掣Ｏ＇Ｘ］２，
为ｆ（ｘ）在点ｘ处的梯度。
【定义４１（Ｈｅｓｓｉａｎ矩阵的定义）设，０）存在－－阶偏导数，工Ｅ Ｅ”，则称矩阵
ａ２， ａ２，
融．２ 苏ｌ反２
事实上，不妨取 ｘｆ＝１／ｉ，则ｘ，呻０＝ｘ；（ｆ寸∞） ｆ（ｘ．）＝ｌ，ｆ， ｌ／２＝ｆ（ｘ）≥ｌｉｍｆ（１ｌｉ）＝ｌｉｌｎｌｌｔ＝０故上半连续。
‘【定理３ｌ如果ｓ是冠”中的一个非空紧集·ｍ）是Ｓ上的连续函数，那么八∞在
ｓ上至少有一个全局极小点。 【注】在上述定理中－如果将，（ｘ）的连续性替换成下半连续性，那么它的全局极
小点存在：类似地ｔ在非空紧集上，若函数灭ｚ）是上半连续的，则它的全局极大
值存在。
【定义７１（局部最优解的定义）设，（ｘ）为目标函数，ｓ为可行域，若存在；的占
领域Ⅳ；（为＝｛却ｌ ｘ一钏＜ｏｅ，ｇ＞Ｏ｝，使得对每个ｘ∈ｓｎⅣ。（二），成立，。）≥，‘），
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二次规划的算法研究
则称；为极小化问题ｍｉｎ，（工），ｘ∈Ｓ的局部最优解。
Ｋｅｙ ｗｏｒｄ：Ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ；Ｌａｇｒａｎｇｅ ｄｕａｌｉｔｙ；Ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ
ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：Ｉｎｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｆｉｔｈｒａ；
Ｃｅｎｔｒａｌ ｐａｔｈ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ：
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Ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｗｏ，ｔｈｅ ｓｔｒｉｃｔｌｙ ｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ
ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ａｎｄ ｉｔｓ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｉｓ ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｗｈｉｌｅ ｉｎ ｃｈａｐｔｅｒ ｔｈｒｅｅ，ｔｈｅ ｉｎｆｅａｓｉｂｌｅ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｃｏｎｖｅｘ
有许多方面的应用，在统计学中一个典型的应用是线性回归问题；此外，二次规 划也是流行的序列二次规划问题的基本方法。在过去的几十年里，二次规划已经 成为运筹学、经济数学、管理科学、系统分析和组合优化学科的基本方法。因此， 对二次规划的研究引起了专业人员和学者们的广泛兴趣。
求解二次规划常用的算法有：Ｌａｇｒａｎｇｅ方法Ｉ”、有效集方法［２】、Ｌｅｍｅｋ方法ｆＪ】 以及求出所有解的接数标号法【３４】，但是这些算法都不是多项式算法。１９８４年，
意两点，连结它们的线段仍属于Ｓ；换言之，对Ｓ中的任意两点工（”，ｘ‘２’及每个实 数＾∈［０，１】，都有
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二次规划的算法研究
兄ｘ（１’＋（１一Ａ）ｘ‘２’∈Ｓ
则称Ｓ为凸集。触（１’＋（１一Ａ）ｘ‘≈称为ｘ‘１’和ｘ‘２１的凸组合。
Ｉ定义２ｌ（凸函数的定义）设，为Ｅ”中的非空凸集，，是定义在Ｓ上的实函数