16-4 一维谐振子问题

,
考虑一维谐振子的基态：
1 E 0 2 2 1 x
=

1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度


1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.

按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经 典禁区中的概率为：
简谐振动物体受到的线性回复力
F kx
1 U ( x ) 2 x 2 2
U ( x)
取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动 系统的势能
1 2 U ( x ) kx 2

k

简谐振动系统的总能量
1 2 1 U total kA 2 A 2 2 2
简谐振动运动方程的解
x A cos( t )
o
x
在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的 问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观粒子在稳定平 衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概括，而且更 是将来场量子化的基础。
一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模 型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表 面的振动以及辐射场的振动，等等。
iE n t /
, n 0,1, 2,3,...
一维谐振子的能量（本征值）为
1 E E n ( n ) , n 0, 1, 2 , 2
说明：
① 一维谐振子的能量只能取一系列分立值；
k n En , n 1,2 ,3, 2 2 2 a 1 E E n ( n ) , n 0, 1, 2 , 2 能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 ( ) 1,
n=1,
H1 ( ) 2 ,
iE n t /
n=2,
H 2 ( ) 4 2 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
n ( x, t ) n ( x)e
N ne
2 x 2 2
H n ( x ) e
§16-4 一维谐振子问题
一、一维谐振子的定态薛定谔方程
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本 的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动 这类常见问题的普遍概括。 在经典力学中，简谐振动的定义：
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式
d2x 2 x0 2 dt
并且ω 是决定于系统自身的常量，则该物理量的变 化过程就是简谐振动。
2 x 2 2
A

14
o
2 x 2 / 2
A x
n ( x) N n e 量子力学中的一维谐振子：
0 ( x)
e ,
H n ( x )
,
1 ( x)
2
2 ( x)
1


14
xe
2 x 2 / 2

14
2 2
2
x 1 e
2

2 x 2 / 2
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2 d2 1 2 2 x ( x ) E ( x ) 2 2 2 dx
I p x p x 2 p x
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I I 2 px
'
电子连续两次碰撞同一 侧阱壁所需要的时间： 单位时间内电子碰撞同 一侧阱壁的次数：
n ( x) N n e
2 x 2 2
H n ( x )
由波函数的归一化条件所确定的常系数 Nn为：
N n ( 1 2 n )1 2 2 n!

式中 Hn( )称为厄米多项式，Baidu Nhomakorabea体形式为
H n ( ) ( 1) n e
2
d n - 2 e n d
为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
x,
d 2 ( ) d
2
,
2E
( 2 ) ( ) 0
求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一 维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。
二、一维谐振子的本征函数和能量本征值 一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振 子的定态波函数为：
② 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的 能量差是固定的；
2
2
2
2
2
能级间距 =

③ 一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。
1 E 0 2
零点能是微观粒子波粒 二象性的表现！
经典物理学中的一维谐振子：
U ( x)
E
M
经典禁区
N
经典禁区
x A, 经典允许区； x A, 经典禁区.
,

14
2 2
2
x 1 e
2

2 x 2 / 2
,
由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率 密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增 大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度 为1.011010 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均 冲力。 解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。 设电子质量为me、速度为vx、动量为px 、势阱宽度为a。 平均冲力等于单位时间内的冲量。 动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段 时间内的冲量等于质点动量的增量。 电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：

1

0 ( x ) 0 ( x )dx 0 ( x ) 0 ( x )dx 16%

1
———微观粒子的隧道效应
0 ( x)

14
e
2 x 2 / 2
,
1 ( x)
2
2 ( x)
1


14
xe
2 x 2 / 2
我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达 为
1 2 2 U ( x ) x 2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
2 2 U ( r ) ( r ) E ( r ) 2
————定态薛定谔方程
1 U ( x ) 2 x 2 2