三年级第十讲等差数列全解

第十讲 等差数列
200年前，德国有位 数学家叫高斯，他小时候就非 常聪明。。一天，他的小学数学老师教完 加法后，想要休息一下，便出了一道题目要 同学们算算看，题目是：1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ? 老师心里正想，这下子 小朋友一定要算到下课了吧！正要出去时， 看见高斯举起小手，问：“高斯，有什么 事？”高斯说：“老师我做好了。”老师非 常惊讶的说：“是吗？怎么可能呢。你的答 案是多少？是怎样算出来的呢？”
例2 求等差数列 3 ，7 ，11 , 15 ， … 的第 20 项．
解 ：第20项=首项+（项数－1）×公差 =3+（20－1）×4 =3+76 =79
通过观察发现这是一个公差为3的等差数列，首项为9，项数为8，公差 为3，求末项
第一天
第二天
第三天
第四天
······ 第八天
项首 数项
9
12
比第一天多
? 解析：原式=（1+199）×199÷2
?
=200÷2×199
?
=100×199
?
=19900
? 【注】：计算是基础，利用巧算方法更省力。
认识等差数列
? 如果一个数从第二项开始，每一项与前面的差都相等，这样
的数列叫做
。这个相等的差叫做等差数列的公差，
数列中每一个数称为数列的项，并且根据他们所在的位置，
? 方法二：过根据已知的数，列出算式（数出增加的公差） ? 第二项比首项多 1个公差，第三项比首项多 2个公差，……，
第21项比首项多20个公差，则第 21项比首项多 3×20=60， 所以第21项是62 ? 列式：2+（21-1）×3=62 ? 思考：这个数列的第40项是多少？
第n项 =首项+（项数－ 1）×公差
高斯 - 德国数学家
? 约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（ C.F.Gauss ，1777年4月 30日－1855 年2月23日），德国著名数学家、物理学家、 天文学家、大地测量学家。高斯被认为是历史上最重要的 数学家之一，并有“数学王子”的美誉。他独立发现了二 项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”、素数定 理、及算术 -几何平均数。 1795 年高斯进入哥廷根大学， 1796年得到了一个数学史上极重要的结果，就是《正十七 边形尺规作图之理论与方法》。高斯在历史上影响巨大， 有 数学王子 、 数学家之王 的美称、被认为是人类有史 以来 最伟大的四位数学家之一 （阿基米德、牛顿、高斯、 欧拉）。
第一个数叫做首项，第二个数叫做第二项，以此类推，最后
一个数称为末项。这个数列的个数称为项数
? 例如数列1、3、5、7、9、11、13
?
2、4、6、8、10
?
5、8、11、14、17
?
······
你能根据自己的理解再写出几个 等差数列吗，并指出它的首项、
末项、项数、公差
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? 下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若 不是，则说明理由。
哇！又是 等差数列
综合算式得（34﹣6）÷4+1 =28 ÷4+1 =8（次）
公差 首项 末项
例题精讲
例 求数列 3,5,7,9,11,13,15,17的和 解：3+5+7+9+11+13+15+17
=（3+17）×8÷2 =80
计算下列各式的和 1、 2+4+6+……+2008
2、3+5+7+9+……+97
思考：高斯是怎么算出来的呢？
公式推导
我们先来看看当时的高斯是怎么回答的。 高斯说：“老师， 1加 至 100 可以排两行，第一行顺 着排，第二行倒过来排。”我们来看一下
1 + 2 + 3 + 4 + 5 +……+ 97 + 98 + 99 + 100 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ……+ 4 + 3 + 2 + 1
补充：64是这个数列的第几项？
项数=（末项-首项）÷公差 +1
第一次 第二次
第三次
6
10
14
比第一次多 比第一次多
一个4
2个4
第四次 18
比第一次多 3个4
第五次 22
比第一次多 4个4
··· ··· 比第一次多 ···
第n次 34
比第一次多 7个4
那么当取34个乒乓球的时候，比第一次多取了7个4 （34﹣6）÷4=7，就是第8次取得（7+1=8次）
我们两排的第一个数相加是101，第二个相加还是101，第三个还 是101，第四个还是101，最后一个还是101，也就是说两排相加共 有100个101，也就是10100，那么一排相加的和是10100÷2=5050 所以 和=（1+100）×100÷2=5050
动手算一算
? 计算 1+2+3+……+198+199的和。
? ①6，10，14，18，22，…，98； ? ②1，2，1，2，3，4，5，6； ? ③ 1，2，4，8，16，32，64； ? ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ? ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ? ⑥1，0，1，0，l，0，1，0；
? 方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接写到第 21项
1个3
9+（8-1）×3
=9+21
=30（个）
公
差
15 比第一天多
2个3
18 比第一天多
3个3
······
比第一 天多
4个3
？
比第一 天多
7个3
末项=首项+（项数﹣1）×公差
思考：第15天摘了多少松果
方法一：采用最笨的办法，直接按照规律，直接从4数到42 方法二：分析这是一个等差数列，首项为4，末项为46，公差为6, 46-4=42,42÷6=7，所以46比4多7个公差，多1个公差是第二项， 多2个公差是第三项，……，多7个公差应该是第8项。 列式：（46-4）÷6+1=8