数理方程

x
x
x x
时刻的波形。
t5
x
南京邮电大学、数理学院
2、三维波动方程的初值问题（平均值法）
uut|tt
0
a
2
(
2u 0 x,y,z)
ut |t0 (x, y, z)
- x,y,z ,t 0
数理方程
达朗贝尔公式:
u(x,t)
f1(x at)
f2
(x
at)
1 2
[ ( x
at)
(x
数理方程 南京邮电大学、数理学院
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics
主讲：王 正 斌
南京邮电大学 、 数理学院、应用物理系
: wangzb@ BBS: 科技教育/物理研究 答疑： 周二中午11：30～1：30，教2＃426
南京邮电大学、数理学院
例、求下列初值问题的解
uutt|t
0
a22u 0
0
ut |t0 2xy
- x, y,z , t 0
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数理方程
3、二维波动方程的初值问题（降维法）
uutt|t
0
a22u
(x,
0 y)
ut |t0 (x, y)
- x, y , t 0
u(x,
y,
z,t)
t
[
t
4a2t 2
SaMt
(
,,
)ds]
t
4a2t
2
(,, )ds
SaMt
d dxdy cos ds
(at)2 ( x)2 ( y)2 cos
at
u(x, y,t) 1 [
( ,)d
]
2a t
M at
(at)2 ( x)2 ( y)2
1
( ,)d
2a
M at
(at)2 ( x)2 ( y)2
第二章 行 波 法
数理方程
❖ 行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
1、弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的泛定方程 :
其通解为：
utt a 2u xx 0
u f ( )d f2 () f1( ) f2() f1(x at) f2(x at)
（1）物理意义： 对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想传输线上电
( )d
x0
1[ 2
f1(x0 )
f2 (x0 )]
f2
(x)
1 2
( x)
1 2a
x
x0
( )d
1[ 2
f1(x0 )
f2 (x0 )]
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f1 ( x
at)
1 2
(x
at)
1 2a
x at
( )d
x0
1[ 2
f1(x0 )
f2 (x0 )]
f2(x
at)
u t0 (x)
ut
t0
(x)
( x )
把初始条件代入泛定方程的通解，得到:
af1f1((xx))fa2f(2x()x) (x()x)
f1
(
x)
f1
(
x)
f2 ( x) f2 ( x)
(x)
1
x
( )d
a x0
f1(x0 )
f2 (x0 )
f1 ( x)
1 (x)
2
1 2a
x
流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为两个方向传播出去，波
a 速为 a ，也即 : f1(x at) 以速度 沿 x 负方向移动的行波 a f2 (x at) 以速度 沿 x 正方向移动的行波
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数理方程
(2) 函数 f1 和 f2 的确定
若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界 条件，只有初始条件。设初始条件为：
x1 x2 2
x
x2
t0
0
x x1或x x2
t1
根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出
t2
u(x,t) 1 (x at) 1 (x at)
2
2
t3
该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度a
移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个
t4
(x) u0
x1 x2 2
x1
x2
x
uБайду номын сангаас
x1
x2
x
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数理方程
例1、初速为零 (x) 0，而初始位移 (x)只在区间 (x1, x2 )上不为零，于 x (x1 x2 ) / 2
处达到最大值 ，如图所示，求出该问题的解。
解：根据图形，初始位移为
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
( x)
2u0
x x1 x2 x1
1 2
(x
at)
1 2a
xat
( )d
x0
1[ 2
f1(x0 )
f2 (x0 )]
数理方程
u(x,t)
f1 ( x
at)
f2 (x at)
1 [(x
2
at) (x
at)]
1 2a
xat
( )d
xat
——达朗贝尔公式
只要知道初始条件：u ut
t
0 t 0
(x) (x)
( x ) 就可得到波动方程的解
数理方程
u(x,t) [ t
xat
( )d ]
t
xat
( )d
t 2at xat
2at xat
—— 达朗贝尔公式
u(x, y, z,t) [ t
(,, )ds] t
(,, )ds
t 4a2t 2 SaMt
4a2t 2
S
M at
—— 泊松公式
z
ds a2t 2 sindd
k
at)]
1 2a
xat
( )d
xat
[ t
xat
( )d ]
t
xat
( )d
t 2at xat
2at xat
三维波动问题可以看为无穷个方向的一维波动问题的叠加
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数理方程
一维
区间: [x at, x at]
三维
球面：( x)2 ( y)2 ( z)2 a2t 2
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—— 泊松公式
例、求下列初值问题的解
区间中心：x
球心：M (x, y, z)
区间半径：at
区间长度：2at （积分区间）
函数 f (x) 在区间上的均值：
1
xat
f ( )d
2at xat
球半径：at
球的表面积：4a2t 2 （积分区间）
函数f (x, y, z)在球面上的均值：
1
4a2t 2
f ( ,, )ds
S
M at
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x at sin cos
y at sin sin
M (x, y, z)
y
z at cos
x
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u(x, y, z,t) [ t
(,, )ds] t
(,, )ds
t 4a2t 2
S
M at
4a2t 2 SaMt
物理意义：（1）空间任一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心，at为 半径的球面上 初始状态决定；（2）三维空间的局部有界域内的初始扰动导致 空间各点在有限时段受扰，无持续后效；（3）三维空间局部初始扰动的传播 有清晰的波前与波后。