周期信号的频谱分析-傅里叶级数

（ n1:基 波 角 频 率 的 整 数 倍 ） 的 线 性 组 合 ．
cn ~ n ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
14
第
二．指数函数形式的傅里叶级数 页
1．复指数正交函数集 ejn 1 t n0, 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n1)ejn1t
0.15
0.25
2 1 1
0.25
1
0
2 1
0.15
X
23
第
四．总结 页 （1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率
X
24
第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有
页
两种形式
三角形式 f(t)a0 ancosn1tbnsinn1t n 1 c0 cncos(n1tn) n1
指数形式 f(t) F(n1) ejn1t n
X
25
第
(2)两种频谱图的关系 页
● 三 角 函 数 形 式 ： c n~， n~ 单边频谱
指 数 函 数 形 式 ： F n~ ， n~ 双边频谱
关系 F (n 1 ) 1 2 c nn 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 谱 为 偶 函 数
X
28
第
1．偶函数 页
信号波形相对于纵轴是对称的 f(t)f(t)
f (t) E
bn 0
T O
T
t
anT 40T2f(t)cosn1tdt0
FnF(n1)1 2anjbn1 2an
n 0
傅里叶级数中不 项含 ，正 只弦 含直流项 项和 。余
F(n1)为实函数。
X
29
2．奇函数
第
页
波形相对于纵对 坐称 标的 f是 (t： )反 f(t)
1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) c o s n 1 td t jT 1 0 T f( t) s in n 1 td t
1 2
an
jbn
F(n1)F , (n1)是复 数 F n1F (n1)ejn
X
17
第
幅频特性和相频特性 页
幅频特性
F(n1)1 2
T | f (t)| dt
X
7
例1
第
页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯 的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t)
2
0
2
X
8
例2
第
页
不满足条件2的一个函数是
ftsin2t,0t1
ft
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 2 F(n1) ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1
F1121j1.12ej0.15
F(n1)F(n1)
● 相 位 频 谱 为 奇 函 数
(n1)(n1)
X
26
第
(3)三个性质 页
收 敛 性 ：n,Fn1 谐 波 性 ： （ 离 散 性 ） ， 频 率 只 出 现 在 n1处 唯 一 性 ：f(t)的 谱 线 唯 一 (f(t)与 F(n)一 一 对 应 )
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
X
5
第
2．级数形式
页
周 期 信 号 ft,周 期 为 T 1,基 波 角 频 率 为 1 2 T 1
在满足狄氏条件时，可展成
f(t) a 0a nc o sn1 t b nsin n1 t
n 1
1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量 余弦分量的幅度
1
a0
T
t0T t0
f (t)dt
1
T1
2 T1
2
TA1 tsinn1tdt
nA (1)n1
2 T1
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0 Asin1t2 A sin21t
直流
基波
谐波
X
12
第
其他形式 页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
an cncosn
cn an2 bn2
bn cnsinn
离散谱，谱线
X
18
例5
已 知 f(t) 1 sin1 t 2 c o s1 t c o s 21 t 4 ， 第页
请画出其幅度谱和相位谱。
19
化为余弦形式
f(t) 1 5 c o s( 1 t 0 .1 5 ) c o s 2 1 t 4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
0.15
2 1 1 0
0.25
1 2 1
0.25
0.15
X
22
三角形式与指数形式的频谱图对比
第
页
三角函数形式的频谱图
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
指数形式的频谱图
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
Fn1
n
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 0 1 21
第
页
f (t)
OT2 T
t
X
30
31
第
4．偶谐函数 页
波 形 移 动 T1 与 原 波 形 重 合 ，
2
称为偶谐函数。
f (t)
f
t
f
t
T1 2
1
2 T1
T1 T1 2O T1 2 T1 t
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量
n=1,3,5,…时, an bn 0
n=2,4,6,…时,
F nT 1Tftejn 1 tdtT 1Tftdt
Fn
1 T
T
f t dt
X
11
第
例4 页
求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
f(t)At T1
T1/2tT1/2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
At T1
dt
0
T1 2
f t
A
T1
2
t
an
2 T1
bn
2 T1
T2T 121TA1tcosn1tdt0
an
4 T1
T1 2
0
f(t)cosn1tdt
4
bn
T1
T1 2
0
f(t)sinn1tdt
X
32
第
六．周期信号的功率 页
功率信号 能量信号
P1 T
T 0
f 2(t)dt
c02 an2bn2
n1
Fn2
n
这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;
表明：
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量
c0 1
0 0
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
c1 52.236 1 0.15
c2 1
2 0.25
X
20
化为指数形式
第
页
f(t)1 1 ej1t ej1t 2j
2ej1t ej1t 1e2j1t4 e2jn1t4
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 (n1) ，只有数学意义，而无物 理意义。为什么引入负频率?
ft是实函数，分解 数成 ，虚 必指 须有共轭
ejn1和e－jn1，才能保 f(t)的 证实函数的性质不
X
27
第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系 页 偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数 注：指交流分量
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
T1 f (t) ejn1t dt
F(n1)
0
e e dt T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1T1f(t)ejn1tdt
T0
5
X
15
第
说明 页
f(t) F(n1)ejn1t n
Fn1
1T 1f(t)e jn 1 td t T0
4 5
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
1
1
0
1t
对此函数，其周期为1，有
1
0
f
t dt
1
X
9
例3
第 页
周期信号 f t1,0，周t 期1为1，不满足此条件。
t
f t
1
2 1
0
1
2t
X
10
说明
第
页
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t0T1 f (t) dt t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
n
tg 1
bn an
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
tg 1
bn an
an dnsinn bn dncosn
X
13
第
幅度频率特性和相位频率特性 页
周 期 信 号 可 分 解 为 直 流 ， 基 波 （ ） 和 各 次 谐 波 1
析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数
函数的组合）。
频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号
内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的
密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调
制和频分复用等重要概念。
X
3
主要内容
第
页
•从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶 变换，建立信号频谱的概念。 •通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌 握傅里叶分析方法的应用。 •对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里 叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅 里叶变换的一种特殊表达形式。 •最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。
X
4
一．三角函数形式的傅里叶级数
第
页
1.三角函数集
cosn1t,sinn1t是一个完备的正交函数集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,....
T
2 T
cosn1tsinm1t
0
2
T 2T 2cosn1tcosm1t T 20,,
mn mn
T2T2sinn1tsinm1tT20,,
mn mn
F21
1ej 2
4
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej4 2
X
21
第
谱线 页
F0 F(0) 1
F1F(1) 1.12 F1F(1)1.12 F2 F(21) 0.5 F2F(21)0.5 指数形式的频谱图
0 0
1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25
Fn1
n
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 0 1 21
an
2 T
t0T t0
f(t)cosn1tdt
正弦分量的幅度
2 bnT
t0T t0
f(t)sinn1tdt
X
6
狄利克雷（Dirichlet）条件
第
页
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
a0
1 T
T 2
T 2
f(t)dt
=0
f (t)
1
T
O
anT 2 TT22f(t)cosn1tdt0
1
T
t
bn
2 T
T 0
f(t)sinn1tdt
4 T
T
02f(t)sinn1tdt0
F nF (n1)1 2anjbn1 2jbn
傅 里 叶 级 数 中 量无 ， F(n余 1)为 弦虚 分函 数 。
有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的.
Fn 2 ~ 绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率 随频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
X
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半个周 期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：
f
(t)
f
t
T 2
T
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即 a0 0
n=2,4,6,…时, an bn 0
n=1,3,5,…时,
an
4 T
T 2
0
f(t)cosn1tdt
bn
4 T
T 2
0
f(t)sinn1tdt
an 2bn2
1 2cn
相频特性
n
tg 1
bn an
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实 取际 正值） 关于 的奇函数（n实 取际 正值） 关于 的偶函数 关于 的奇函数
X
频谱图（单边谱）
幅度频谱
cn ~
cn c1
c0
c3
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
n
O 1 3 1
第 页
的线性组合。
•如给 F (n 1出 )，ft则 唯一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。 傅立叶级数反变换————（4）
傅立叶级数正变换————（5）
X
16
三．两种系数之间的关系及频谱图 第 页
F(n1)T 1
T 0
f(t)ejn1t
dt
利用欧拉公式
源自文库
T 10 Tf(t)c o sn1 td t jT 10 Tf(t)s in n1 td t
1
主要内容
第
页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率
X
2
频域分析
第
页
从本章开始由时域转入变换域分析。
傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展
而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分