高等代数第八章 5第五节 初等因子
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事实上， 证明 事实上，令 (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ))=d(λ)， ， (f1(λ), f2(λ))=d1(λ)， (g1(λ), g2(λ))=d2(λ) . ， 显然， 显然， d1(λ)|d(λ)， d2(λ)|d(λ) . ， 由于 (f1(λ), g1(λ))=1，故 (d1(λ), d2(λ))=1， ， ， 因而， 因而， d1(λ)d2(λ)|d(λ). 另一方面，由于 d(λ)|f1(λ)g1(λ)， 另一方面， ， 可令 d(λ)= f(λ)g(λ)，其中 f(λ)|f1(λ)，g(λ)|g1(λ). ， ， 由于 (f1(λ), g2(λ))=1，故 (f(λ), g2(λ))=1, ， 由 f(λ)|f2(λ)g2(λ)，又得 f(λ)|f2(λ)，因而 f(λ)|d1(λ) . ， ， 同理 g(λ)|d2(λ). 所以 d(λ)|d1(λ)d2(λ). 证毕. 于是 d(λ)=d1(λ)d2(λ) . 证毕
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二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 如何从初等因子 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法 设一个n 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法. 设一个 唯一地作出不变因子的方法 级矩阵的全部初等因子为已知， 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子 全部初等因子为已知 将同一个一次因式(λ中将同一个一次因式 -λj), (j=1,2, …,r)的方幂的那 的方幂的那 些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的 些初等因子按降幂排列， 个数不足n时 就在后面补上适当个数的 ， 个数不足 时，就在后面补上适当个数的1，使得 凑成n个 设所得排列 排列为 凑成 个. 设所得排列为
(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 , (λ − 1)2 , (λ + 1) , (λ + 1) , (λ − i )2 , (λ + i )2
其中(λ- 出现三次， 1出现二次. 其中 -1)2出现三次， λ+1出现二次
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现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系. 不变因子 首先，假设n级矩阵 级矩阵A的 首先，假设 级矩阵 的不变因子 d1(λ),d2(λ),…,dn(λ) 已知. 为已知 将di(λ), (i=1,2, …,n)分解成互不相同的一次因 分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积： 式方幂的乘积：
(λ − λ j ) | (λ − λ j )
k ij k i +1 , j
( i = 1 , 2 ,L , n − 1 ; j = 1 , 2 , L , r )
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因此在d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)的分解式中，属于同一个 因此在 的分解式中 一次因式的方幂的指数有递升的性质， 一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
k1 j ≤ k 2 j ≤ L ≤ k nj ( j = 1 , 2 ,L , r )
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子 中，方次最高的必定出现在 n(λ)的分解中，方次 方次最高的必定出现在d 的分解中， 次高的必定出现在 - 的分解中. 如此顺推下去 顺推下去， 次高的必定出现在dn-1(λ)的分解中 如此顺推下去， 可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在 可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不 属于同一个一次因式的方幂的初等因子 变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的. 变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的
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综上所述， 综上所述，即得 定理8 两个同级复数矩阵相似的<＝>是它们有相 两个同级复数矩阵相似 同级复数矩阵相似的 ＝ 是它们 是它们有相 定理 同的初等因子. 同的初等因子 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 都是矩阵的相似不变量. 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较， 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反 初等因子的求法 而方便一些. 而方便一些 在介绍直接求初等因子的方法之前， 在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说 初等因子的方法之前 多项式的最大公因式的一个性质 明关于多项式的最大公因式的一个性质： 明关于多项式的最大公因式的一个性质： 如果多项式 都与g 互素， 如果多项式f1(λ), f2(λ)都与 1(λ), g2(λ)互素，则 多项式 都与 互素 (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ))=(f1(λ), f2(λ))·(g1(λ), g2(λ))
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d1(λ)=(f2(λ)g1(λ), f1(λ)g2(λ)) .
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由上面的讨论知道， 由上面的讨论知道，d(λ)和d1(λ)是相等的，因而 和 是相等的， A(λ)和B(λ)也有相同的一级行列式因子 所以 和 也有相同的一级行列式因子 也有相同的一级行列式因子. 所以A(λ) 等价. 和B(λ)等价 等价 证毕. 证毕
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引理 设λ -矩阵
f1 (λ ) g1 (λ ) A(λ ) = 0 f 2 (λ ) g2 (λ ) 0
f 2 (λ ) g1 (λ ) B( λ ) = 0
0 f1 (λ ) g2 (λ )
如果多项式 都与g 互素， 如果多项式f1(λ),f2(λ)都与 1(λ),g2(λ)互素，则A(λ)和 多项式 都与 互素 和 B(λ)等价 等价. 等价 显然， 二级行列式因子. 证明 显然，A(λ)和B(λ)有相同的二级行列式因子 和 有相同的二级行列式因子 而A(λ)和B(λ)的一级行列式因子分别为 和 的一级行列式因子分别为 d(λ)=(f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ)) 和
d 1 (λ ) = (λ − λ1 ) k11 (λ − λ2 ) k12 L (λ − λr ) k1 r
d 2 (λ ) = (λ − λ1 ) k 21 (λ − λ2 ) k 22 L(λ − λr ) k2 r LLLLLL
d n (λ ) = (λ − λ1 ) kn1 (λ − λ2 ) kn 2 L(λ − λr )knr
(λ − λ1 ) k11 g1 (λ ) O k (λ − λ1 ) i+1,1 gi (λ ) D1 (λ ) = (λ − λ1 ) ki 1 gi +1 (λ ) O (λ − λ1 ) k n1 g n (λ )
ki 1
g i ( λ ) , ( i = 1 , 2 ,L , n )
都与g 互素. 而且每个( λ − λ1 ) k i 1都与 j(λ) (j=1,2, …,n)互素 如果 互素 相邻的一对指数k 则在D(λ)中将( λ − λ1 ) k i 1 有相邻的一对指数 i1>ki+1,1，则在 中将 与 ( λ − λ1 ) k i+1 ,1 对调位置，而其余因式保持不动. 根 对调位置， 其余因式保持不动 据引理， 据引理，
(λ − λ1 )k i 1 gi (λ ) k i +1 , 1 (λ − λ1 ) g i + 1 ( λ )
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与
(λ − λ1 )k i +1,1 gi (λ ) ki 1 (λ − λ1 ) gi +1 (λ )
等价，从而D(λ)与对角矩阵 等价，从而 与
第五节
初等因子
在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域P 在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 复数域. 是复数域 一、初等因子的概念 上面已经看到不变因子是矩阵的相似不变量 上面已经看到不变因子是矩阵的相似不变量. 不变因子 为了得到若当标准形 若当标准形， 为了得到若当标准形，再引入 定义7 把矩阵 (或线性变换 的每个次数大于零 矩阵A 或线性变换A)的每个 的每个次数大于零 定义 不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数 所有这些一次因式方幂 相同的必须按出现的次数 计算)称为矩阵 或线性变换 或线性变换A)的初等因子. 计算 称为矩阵 A(或线性变换 的初等因子
我们现在要证明的是，对于每个相同的一次 我们现在要证明的是，对于每个相同的一次 因式方幂
(λ − λ j ) , (λ − λ j )
k1 j k2 j
,L , (λ − λ j )
k nj
( j = 1 , 2 ,L , r )
排列后 得到的新 在D(λ)的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新 的主对角线上按递升幂次排列 对角矩阵D’(λ)与D(λ)等价 此时 等价. 就是λE- 的 对角矩阵 与 等价 此时D’(λ)就是 -A的 就是 k ij 标准形，而且所有不为1的 ( λ − λ j ) 就是A的全部 标准形，而且所有不为 的 就是 的 初等因子. 初等因子
就是A的不变因子. 则d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)就是 的不变因子 就是 这也说明了这样一个事实：如果两个同级的 这也说明了这样一个事实： 事实 数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的 数字矩阵有相同的初等因子， 不变因子，因而它们相似. 反之， 不变因子，因而它们相似 反之，如果两个矩阵 相似，则它们有相同的不变因子， 相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相 同的初等因子. 同的初等因子
(λ − λ j )
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k nj
, (λ − λ j )
k n −1 , j
,L , ( λ − λ j )
k1 j
, ( j = 1 , 2 ,L , r )
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于是令
d i ( λ ) = ( λ − λ1 ) k i 1 ( λ − λ2 ) k i 2 L ( λ − λr ) k ir ( i = 1 , 2 ,L , n)
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不变因子是 例 设12级矩阵的不变因子是 级矩阵的不变因子
1 , 1 ,L, 1 , (λ − 1) 2 ,(λ − 1) 2 (λ + 1) , (λ − 1) 2 (λ + 1)(λ2 + 1) 2 1 24 4 3
9个
按定义，它的初等因子 初等因子有 个 按定义，它的初等因子有7个，即
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则其中对应于k 的那些 的那些方幂 则其中对应于 ij≥1的那些方幂
(λ − λ j )
k ij
( k ij ≥ 1)
就是A的全部初等因子 注意不变因子 初等因子. 不变因子有 就是 的全部初等因子 注意不变因子有一个除尽 一个的性质， 一个的性质，即 di(λ)| di+1(λ), (i=1,2, …,n-1) 从而
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为方便起见，先对 - 的方幂进行讨论 进行讨论. 为方便起见，先对(λ-λ1)的方幂进行讨论 令
g i ห้องสมุดไป่ตู้ λ ) = (λ − λ2 ) k i 2 (λ − λ3 ) k i 3 L (λ − λr ) k ir , ( i = 1 , 2 ,L , n )
于是
hi ( λ ) = (λ − λ1 )
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定理9 定理
首先用初等变换化特征矩阵λE-A为对角 首先用初等变换化特征矩阵 - 为 初等变换
形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同 形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积， 的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的 方幂(相同的按出现的次数计算 就是A的全部初等 相同的按出现的次数计算)就是 方幂 相同的按出现的次数计算 就是 的全部初等 因子. 因子 证明 设λE-A已用初等变换化为对角形 已用初等变换化为对角形 - 已用初等变换化为
h1 (λ ) h2 (λ ) D( λ ) = O hn (λ )
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其中每个h 的最高项系数都为 都为1. 其中每个 i(λ)的最高项系数都为 将hi(λ)分解成 分解成 互不相同的一次因式方幂的乘积： 互不相同的一次因式方幂的乘积：
hi ( λ ) = ( λ − λ1 ) k i 1 ( λ − λ2 ) k i 2 L ( λ − λr ) k ir ( i = 1 , 2 ,L , n )
事实上， 证明 事实上，令 (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ))=d(λ)， ， (f1(λ), f2(λ))=d1(λ)， (g1(λ), g2(λ))=d2(λ) . ， 显然， 显然， d1(λ)|d(λ)， d2(λ)|d(λ) . ， 由于 (f1(λ), g1(λ))=1，故 (d1(λ), d2(λ))=1， ， ， 因而， 因而， d1(λ)d2(λ)|d(λ). 另一方面，由于 d(λ)|f1(λ)g1(λ)， 另一方面， ， 可令 d(λ)= f(λ)g(λ)，其中 f(λ)|f1(λ)，g(λ)|g1(λ). ， ， 由于 (f1(λ), g2(λ))=1，故 (f(λ), g2(λ))=1, ， 由 f(λ)|f2(λ)g2(λ)，又得 f(λ)|f2(λ)，因而 f(λ)|d1(λ) . ， ， 同理 g(λ)|d2(λ). 所以 d(λ)|d1(λ)d2(λ). 证毕. 于是 d(λ)=d1(λ)d2(λ) . 证毕
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二、初等因子与不变因子的求法 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 上面的分析给了我们一个如何从初等因子和 如何从初等因子 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法 设一个n 矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法. 设一个 唯一地作出不变因子的方法 级矩阵的全部初等因子为已知， 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子 全部初等因子为已知 将同一个一次因式(λ中将同一个一次因式 -λj), (j=1,2, …,r)的方幂的那 的方幂的那 些初等因子按降幂排列，而且当这些初等因子的 些初等因子按降幂排列， 个数不足n时 就在后面补上适当个数的 ， 个数不足 时，就在后面补上适当个数的1，使得 凑成n个 设所得排列 排列为 凑成 个. 设所得排列为
(λ − 1)2 ,(λ − 1)2 , (λ − 1)2 , (λ + 1) , (λ + 1) , (λ − i )2 , (λ + i )2
其中(λ- 出现三次， 1出现二次. 其中 -1)2出现三次， λ+1出现二次
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现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系 现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系. 不变因子 首先，假设n级矩阵 级矩阵A的 首先，假设 级矩阵 的不变因子 d1(λ),d2(λ),…,dn(λ) 已知. 为已知 将di(λ), (i=1,2, …,n)分解成互不相同的一次因 分解成互不相同的一次因 式方幂的乘积： 式方幂的乘积：
(λ − λ j ) | (λ − λ j )
k ij k i +1 , j
( i = 1 , 2 ,L , n − 1 ; j = 1 , 2 , L , r )
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因此在d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)的分解式中，属于同一个 因此在 的分解式中 一次因式的方幂的指数有递升的性质， 一次因式的方幂的指数有递升的性质，即
k1 j ≤ k 2 j ≤ L ≤ k nj ( j = 1 , 2 ,L , r )
这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子 中，方次最高的必定出现在 n(λ)的分解中，方次 方次最高的必定出现在d 的分解中， 次高的必定出现在 - 的分解中. 如此顺推下去 顺推下去， 次高的必定出现在dn-1(λ)的分解中 如此顺推下去， 可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在 可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不 属于同一个一次因式的方幂的初等因子 变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的. 变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的
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综上所述， 综上所述，即得 定理8 两个同级复数矩阵相似的<＝>是它们有相 两个同级复数矩阵相似 同级复数矩阵相似的 ＝ 是它们 是它们有相 定理 同的初等因子. 同的初等因子 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 都是矩阵的相似不变量. 初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较， 但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反 初等因子的求法 而方便一些. 而方便一些 在介绍直接求初等因子的方法之前， 在介绍直接求初等因子的方法之前，先来说 初等因子的方法之前 多项式的最大公因式的一个性质 明关于多项式的最大公因式的一个性质： 明关于多项式的最大公因式的一个性质： 如果多项式 都与g 互素， 如果多项式f1(λ), f2(λ)都与 1(λ), g2(λ)互素，则 多项式 都与 互素 (f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ))=(f1(λ), f2(λ))·(g1(λ), g2(λ))
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d1(λ)=(f2(λ)g1(λ), f1(λ)g2(λ)) .
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由上面的讨论知道， 由上面的讨论知道，d(λ)和d1(λ)是相等的，因而 和 是相等的， A(λ)和B(λ)也有相同的一级行列式因子 所以 和 也有相同的一级行列式因子 也有相同的一级行列式因子. 所以A(λ) 等价. 和B(λ)等价 等价 证毕. 证毕
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引理 设λ -矩阵
f1 (λ ) g1 (λ ) A(λ ) = 0 f 2 (λ ) g2 (λ ) 0
f 2 (λ ) g1 (λ ) B( λ ) = 0
0 f1 (λ ) g2 (λ )
如果多项式 都与g 互素， 如果多项式f1(λ),f2(λ)都与 1(λ),g2(λ)互素，则A(λ)和 多项式 都与 互素 和 B(λ)等价 等价. 等价 显然， 二级行列式因子. 证明 显然，A(λ)和B(λ)有相同的二级行列式因子 和 有相同的二级行列式因子 而A(λ)和B(λ)的一级行列式因子分别为 和 的一级行列式因子分别为 d(λ)=(f1(λ)g1(λ), f2(λ)g2(λ)) 和
d 1 (λ ) = (λ − λ1 ) k11 (λ − λ2 ) k12 L (λ − λr ) k1 r
d 2 (λ ) = (λ − λ1 ) k 21 (λ − λ2 ) k 22 L(λ − λr ) k2 r LLLLLL
d n (λ ) = (λ − λ1 ) kn1 (λ − λ2 ) kn 2 L(λ − λr )knr
(λ − λ1 ) k11 g1 (λ ) O k (λ − λ1 ) i+1,1 gi (λ ) D1 (λ ) = (λ − λ1 ) ki 1 gi +1 (λ ) O (λ − λ1 ) k n1 g n (λ )
ki 1
g i ( λ ) , ( i = 1 , 2 ,L , n )
都与g 互素. 而且每个( λ − λ1 ) k i 1都与 j(λ) (j=1,2, …,n)互素 如果 互素 相邻的一对指数k 则在D(λ)中将( λ − λ1 ) k i 1 有相邻的一对指数 i1>ki+1,1，则在 中将 与 ( λ − λ1 ) k i+1 ,1 对调位置，而其余因式保持不动. 根 对调位置， 其余因式保持不动 据引理， 据引理，
(λ − λ1 )k i 1 gi (λ ) k i +1 , 1 (λ − λ1 ) g i + 1 ( λ )
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与
(λ − λ1 )k i +1,1 gi (λ ) ki 1 (λ − λ1 ) gi +1 (λ )
等价，从而D(λ)与对角矩阵 等价，从而 与
第五节
初等因子
在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域P 在这一节与下一节中我们假定讨论中的数域 复数域. 是复数域 一、初等因子的概念 上面已经看到不变因子是矩阵的相似不变量 上面已经看到不变因子是矩阵的相似不变量. 不变因子 为了得到若当标准形 若当标准形， 为了得到若当标准形，再引入 定义7 把矩阵 (或线性变换 的每个次数大于零 矩阵A 或线性变换A)的每个 的每个次数大于零 定义 不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积 分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积， 所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数 所有这些一次因式方幂 相同的必须按出现的次数 计算)称为矩阵 或线性变换 或线性变换A)的初等因子. 计算 称为矩阵 A(或线性变换 的初等因子
我们现在要证明的是，对于每个相同的一次 我们现在要证明的是，对于每个相同的一次 因式方幂
(λ − λ j ) , (λ − λ j )
k1 j k2 j
,L , (λ − λ j )
k nj
( j = 1 , 2 ,L , r )
排列后 得到的新 在D(λ)的主对角线上按递升幂次排列后，得到的新 的主对角线上按递升幂次排列 对角矩阵D’(λ)与D(λ)等价 此时 等价. 就是λE- 的 对角矩阵 与 等价 此时D’(λ)就是 -A的 就是 k ij 标准形，而且所有不为1的 ( λ − λ j ) 就是A的全部 标准形，而且所有不为 的 就是 的 初等因子. 初等因子
就是A的不变因子. 则d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)就是 的不变因子 就是 这也说明了这样一个事实：如果两个同级的 这也说明了这样一个事实： 事实 数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的 数字矩阵有相同的初等因子， 不变因子，因而它们相似. 反之， 不变因子，因而它们相似 反之，如果两个矩阵 相似，则它们有相同的不变因子， 相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相 同的初等因子. 同的初等因子
(λ − λ j )
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k nj
, (λ − λ j )
k n −1 , j
,L , ( λ − λ j )
k1 j
, ( j = 1 , 2 ,L , r )
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于是令
d i ( λ ) = ( λ − λ1 ) k i 1 ( λ − λ2 ) k i 2 L ( λ − λr ) k ir ( i = 1 , 2 ,L , n)
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不变因子是 例 设12级矩阵的不变因子是 级矩阵的不变因子
1 , 1 ,L, 1 , (λ − 1) 2 ,(λ − 1) 2 (λ + 1) , (λ − 1) 2 (λ + 1)(λ2 + 1) 2 1 24 4 3
9个
按定义，它的初等因子 初等因子有 个 按定义，它的初等因子有7个，即
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则其中对应于k 的那些 的那些方幂 则其中对应于 ij≥1的那些方幂
(λ − λ j )
k ij
( k ij ≥ 1)
就是A的全部初等因子 注意不变因子 初等因子. 不变因子有 就是 的全部初等因子 注意不变因子有一个除尽 一个的性质， 一个的性质，即 di(λ)| di+1(λ), (i=1,2, …,n-1) 从而
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为方便起见，先对 - 的方幂进行讨论 进行讨论. 为方便起见，先对(λ-λ1)的方幂进行讨论 令
g i ห้องสมุดไป่ตู้ λ ) = (λ − λ2 ) k i 2 (λ − λ3 ) k i 3 L (λ − λr ) k ir , ( i = 1 , 2 ,L , n )
于是
hi ( λ ) = (λ − λ1 )
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定理9 定理
首先用初等变换化特征矩阵λE-A为对角 首先用初等变换化特征矩阵 - 为 初等变换
形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同 形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同 的一次因式方幂的乘积， 的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的 方幂(相同的按出现的次数计算 就是A的全部初等 相同的按出现的次数计算)就是 方幂 相同的按出现的次数计算 就是 的全部初等 因子. 因子 证明 设λE-A已用初等变换化为对角形 已用初等变换化为对角形 - 已用初等变换化为
h1 (λ ) h2 (λ ) D( λ ) = O hn (λ )
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其中每个h 的最高项系数都为 都为1. 其中每个 i(λ)的最高项系数都为 将hi(λ)分解成 分解成 互不相同的一次因式方幂的乘积： 互不相同的一次因式方幂的乘积：
hi ( λ ) = ( λ − λ1 ) k i 1 ( λ − λ2 ) k i 2 L ( λ − λr ) k ir ( i = 1 , 2 ,L , n )