z反变换

K1 = ( z + 1)
X (z ) z
=ห้องสมุดไป่ตู้−1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K K K X (z ) z 2 + z +1 = = 0+ 1 + 2 z z ( z + 1)( z + 2) z z +1 z + 2
K 0 = X ( z ) z =0 = 1 2
z = −1
X (z ) z = −1 = 1.5 z 1 z 1.5 z X ( z) = − + 2 z +1 z + 2 1 n x( n) = δ (n ) − (−1) n ε (n ) + 1.5 ⋅ (− 2 ) ε (n ) 2 K 2 = (z + 2)
5．3部分分式法求逆Z变换
部分分式展开法
N ( z ) bm z m + bm−1 z m−1 + ⋯ + b1 z + b0 X ( z) = = D ( z ) an z n + an−1 z n−1 + ⋯ + a1 z + a0
为了方便，可以先将X(z)/z展开成部分分 式，然后再对每个分式乘以z。这样做不 但m=n的情况可直接展开，而且展开的基 本分式为Kz/(z-zi)的形式，所对应的序列 为K(zi)nε(n)。
1 d n−1 K1n = (z − z1 )m X (z ) (n − 1)! dz n−1 z
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
１.X(z)仅含有一阶极点
n Kn K K1 K2 X (z ) K 0 = + + +⋯+ =∑ i z z z − z1 z − z 2 z − z n i =0 z − z i
上式两边同时程以z，得
Ki X (z ) = ∑ i =0 z − z i
确定系数Ki的方法与拉氏反变换中部分分式法一样，即
2
X (z ) =
z z + (z − 1)2 z − 1
z ↔ ε (n ) z −1
x(n ) = nε (n ) + ε (n ) = (n + 1)ε (n )
z ↔ nε (n ) 2 (z − 1)
可以容易地得到上式的反变换。
z 例子： X (z ) = 2 (z − 1)
解：
2
求其原序列x(n)。
K11 K12 X (z ) z = = + 2 2 z (z − 1) (z − 1) z − 1
X (z ) z =1 = 1 z d 2 X (z ) K12 = (z − 1) z =1 = 1 dz z K11 = ( z − 1)