微分方程的幂级数解法
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第十一节 微分方程的幂级数解法
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
第七章
本节内容: 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
dy 2 2 例如 x y , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似wenku.baidu.com法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
n
n 0
n 0
n 1
an x n 0,
n 0
n [( n 2 )( n 1 ) a ( n 1 ) a ] x 0, n 2 n
a n 2
an , n 2
n 0,1,2,
a0 a0 a 2 , a4 , 8 2 a1 a1 a3 , a5 , 3 15
n2
n 4 ( n 1 )( n 2 ) a ( n 2 ) a x x n n 1
从而得
当n > 4 时,
1 1 1 an an 1 a4 n 1 (n 1) ! (n 1)(n 2) 4
因此
1 n x n 4( n 1) ! 1 n 此题的上述特解即为 注意到: e x , n 0 n!
假设所求特解可展开为 x x0 的幂级数
y y0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2
其中 a1 , a2 ,, an ,为待定的系数 .
dy 2 求 x y 满足y | x 0 0的特解. 例1 dx 解 x0 0， y0 0,
则 y nan x n1 ,
n 0
n 0
y n( n 1)a n x
n1
n 2
( n 2)(n 1)an 2 x n ,
n 0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
n 0
( n 2)(n 1)an 2 x x na n x
设 y a1 x a2 x a3 x an x ,
2 3 n
y a1 2a2 x1 3a3 x 2 nan x n1 ,
将 y, y 的幂级数展开式带入原 方程
a1 2a2 x 3a3 x 4a4 x
2 3
x (a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 )2
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解: n(n 1) 2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4 y a0 1 x x 2! 4! (n 1)(n 2) 3 a1 x x 3! (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5 x 5! (1 x 1)
练习题答案
1 3 x 一、1、 y Ce [1 x 1 3 x 2 n 1 ] ； 1 3 5 ( 2n 1) k m x x 2、 y C1e C 2 . k 0 k! 1 1 1 2 1 3 9 4 x ； 二、1、 y x x x 2 4 8 16 32 1 2 2 4 9 55 8 2、 x a (1 t t t . 2! 4! 6! 8!
小结: 无初始条件求解
可设 y C an x n
n 1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 中的系数
x 的幂级数, P ( x ) 与Q ( x ) 可在 R x R 内展为
那么在 R x R 内原方程必有形如
2 k ak x k n(n 1) ak x k 0
k 1 k 0
k 2
整理后得:
k 0
(k 2)(k 1) ak 2 (n k )(n k 1) ak x
k
0
比较系数, 得 ak 2
例如:
(n k )(n k 1) ak (k 0 ,1,) (k 2)(k 1)
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a 0 a 0 x
比较系数得: a0 0 ,
6 a4 2 a3 1 (n 1)(n 2)an (n 2)an 1 0 (n 2 , n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0 , 1 a3 0, a4 6
dy 二、 f ( x , y )特解求法 dx
dy 问题 求 f ( x , y ) 满足 y x x y0 的特解. dx
0
其中 f ( x , y ) a00 a10 ( x x0 ) a01 ( y y0 ) a lm ( x x0 ) l ( y y0 ) m .
(n 1)(n 2) n(n 1) a3 a1 a2 a0 3! 2! (n 2)n(n 1)(n 3) (n 2)(n 2) a0 a4 a2 4! 3 4 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) (n 3)(n 4) a1 a5 a3 5! 45
x
1 2 y x ( e 1 x x ) 2
x
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程
③
解:
都可在 (1,1)内
展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y
k 0
k a x k , 代入③:
k 2
k 2 k k ( k 1 ) a x k ( k 1 ) a x k k
y an x n
n 0
的解.
作法
设解为 y an x n ,
n 0
将 P( x ), Q( x ), f ( x ) 展开为 x x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an x n ,
x a x 2a1a2 x (a 2a1a3 ) x
2 1 2 3 2 2 4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
1 1 a1 0, a2 , a3 0, a4 0, a5 , , 2 20
1 2 1 5 所求解为 y x x . 2 20
x2 2
原方程的通解
2n
a0 a2 k , k k! 2 a1 a 2 k 1 , ( 2k 1)!!
k 1,2,3,
x x y a0 n a1 n 0 2 n! n 0 ( 2n 1)!!
2 n1
(a0 , a1是任意常数)
2 4 例3. 求方程 x y ( x 2) ( x y y ) x 的一个特解.
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
作变换
一阶方程
作 降 变 阶 换
分离变量法
全微分方程 常数变易法
积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练 习 题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1 ； 2、 xy ( x m ) y my 0 .( m 为自然数 ) 二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: 1 2 3 1、 y y x , y x 0 ； 2 d2x dx 0. 2、 2 x cos t 0 , x t 0 a , dt t 0 dt
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
第七章
本节内容: 一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
dy 2 2 例如 x y , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似wenku.baidu.com法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
n
n 0
n 0
n 1
an x n 0,
n 0
n [( n 2 )( n 1 ) a ( n 1 ) a ] x 0, n 2 n
a n 2
an , n 2
n 0,1,2,
a0 a0 a 2 , a4 , 8 2 a1 a1 a3 , a5 , 3 15
n2
n 4 ( n 1 )( n 2 ) a ( n 2 ) a x x n n 1
从而得
当n > 4 时,
1 1 1 an an 1 a4 n 1 (n 1) ! (n 1)(n 2) 4
因此
1 n x n 4( n 1) ! 1 n 此题的上述特解即为 注意到: e x , n 0 n!
假设所求特解可展开为 x x0 的幂级数
y y0 a1 ( x x0 ) a 2 ( x x0 ) 2
其中 a1 , a2 ,, an ,为待定的系数 .
dy 2 求 x y 满足y | x 0 0的特解. 例1 dx 解 x0 0， y0 0,
则 y nan x n1 ,
n 0
n 0
y n( n 1)a n x
n1
n 2
( n 2)(n 1)an 2 x n ,
n 0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
n 0
( n 2)(n 1)an 2 x x na n x
设 y a1 x a2 x a3 x an x ,
2 3 n
y a1 2a2 x1 3a3 x 2 nan x n1 ,
将 y, y 的幂级数展开式带入原 方程
a1 2a2 x 3a3 x 4a4 x
2 3
x (a1 x a2 x 2 a3 x 3 a4 x 4 )2
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解: n(n 1) 2 (n 2)n(n 1)(n 3) 4 y a0 1 x x 2! 4! (n 1)(n 2) 3 a1 x x 3! (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) 5 x 5! (1 x 1)
练习题答案
1 3 x 一、1、 y Ce [1 x 1 3 x 2 n 1 ] ； 1 3 5 ( 2n 1) k m x x 2、 y C1e C 2 . k 0 k! 1 1 1 2 1 3 9 4 x ； 二、1、 y x x x 2 4 8 16 32 1 2 2 4 9 55 8 2、 x a (1 t t t . 2! 4! 6! 8!
小结: 无初始条件求解
可设 y C an x n
n 1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P ( x ) y Q ( x ) y 0 中的系数
x 的幂级数, P ( x ) 与Q ( x ) 可在 R x R 内展为
那么在 R x R 内原方程必有形如
2 k ak x k n(n 1) ak x k 0
k 1 k 0
k 2
整理后得:
k 0
(k 2)(k 1) ak 2 (n k )(n k 1) ak x
k
0
比较系数, 得 ak 2
例如:
(n k )(n k 1) ak (k 0 ,1,) (k 2)(k 1)
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a 0 a 0 x
比较系数得: a0 0 ,
6 a4 2 a3 1 (n 1)(n 2)an (n 2)an 1 0 (n 2 , n 4)
可任意取值, 因是求特解, 故取 a1 a2 0 , 1 a3 0, a4 6
dy 二、 f ( x , y )特解求法 dx
dy 问题 求 f ( x , y ) 满足 y x x y0 的特解. dx
0
其中 f ( x , y ) a00 a10 ( x x0 ) a01 ( y y0 ) a lm ( x x0 ) l ( y y0 ) m .
(n 1)(n 2) n(n 1) a3 a1 a2 a0 3! 2! (n 2)n(n 1)(n 3) (n 2)(n 2) a0 a4 a2 4! 3 4 (n 3)(n 1)(n 2)(n 4) (n 3)(n 4) a1 a5 a3 5! 45
x
1 2 y x ( e 1 x x ) 2
x
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程
③
解:
都可在 (1,1)内
展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y
k 0
k a x k , 代入③:
k 2
k 2 k k ( k 1 ) a x k ( k 1 ) a x k k
y an x n
n 0
的解.
作法
设解为 y an x n ,
n 0
将 P( x ), Q( x ), f ( x ) 展开为 x x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y. 例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an x n ,
x a x 2a1a2 x (a 2a1a3 ) x
2 1 2 3 2 2 4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
1 1 a1 0, a2 , a3 0, a4 0, a5 , , 2 20
1 2 1 5 所求解为 y x x . 2 20
x2 2
原方程的通解
2n
a0 a2 k , k k! 2 a1 a 2 k 1 , ( 2k 1)!!
k 1,2,3,
x x y a0 n a1 n 0 2 n! n 0 ( 2n 1)!!
2 n1
(a0 , a1是任意常数)
2 4 例3. 求方程 x y ( x 2) ( x y y ) x 的一个特解.
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
作变换
一阶方程
作 降 变 阶 换
分离变量法
全微分方程 常数变易法
积分因子
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练 习 题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1 ； 2、 xy ( x m ) y my 0 .( m 为自然数 ) 二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解: 1 2 3 1、 y y x , y x 0 ； 2 d2x dx 0. 2、 2 x cos t 0 , x t 0 a , dt t 0 dt