北师大版九年级上册数学复习知识点及例题

数学九年级上册知识点总结

第一章特殊的平行四边形复习

中考考点综述：ﻩ

特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形,它们是历年中考的必考内容之一,主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力,以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系,掌握平行四边形是矩形、菱形、正方形的条件。

知识目标

掌握矩形、菱形、正方形等概念,掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学,使学生逐步学会分别从题设和结论出发,寻找论证思路分析法和综合法。

重难点:

1.矩形、菱形性质及判定的应用

2.相关知识的综合应用

知识点归纳

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；(２）一一个角是直角.

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角;

性质２矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法１:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件:（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法２:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3:有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cｍ，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2:菱形具有而矩形不具有的性质是 ( )

A．对角线互相平分; B.四条边都相等； C.对角相等; D.邻角互补

例3：已知：如图，□ＡBＣD各角的平分线分别相交于点E,Ｆ,G，•H,

•求证：•四边形EFGH是矩形.

二．菱形

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1)是平行四边形；(２)一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角;

菱形的判定

菱形判定方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

注意此方法包括两个条件：(1）是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直．菱形判定方法２：四边都相等的四边形是菱形.

例1已知:如图,四边形AＢCD是菱形,F是ＡB上一点,ＤF交AC于E.

求证：∠AＦD=∠CBE．

例２已知:如图A ＢCD 的对角线ＡC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ． 求证：四边形A ＦCE 是菱形．

例3、如图,在 Ａ

ＢCD 中,Ｏ是对角线AC 的中点，过点Ｏ作AC 的垂线与边AD 、B Ｃ分别交

于E 、Ｆ，求证：四边形ＡFCE 是菱形.

例４、已知如图，菱形A ＢCD 中，E 是ＢC 上一点,AE 、BD 交于Ｍ， 若AB=AE,∠EAD ＝2∠B ＡE 。求证：AM=BE 。

例５． (１0湖南益阳)如图,在菱形ABCD 中,∠A =６0°,AB =4，O 为对角线ＢD 的中点,过O 点作ＯE ⊥AB ,垂足为E ． (1)求线段BE 的长.

例6、（20１1四川自贡)如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥ＡB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交

ＢC 的延长线于F 。请你猜想DE 与ＤＦ的大小有什么关系？并证明你的猜想

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

D B O

60

例7、（201１山东烟台)

如图，菱形ABCD的边长为2,ＢD=2,Ｅ、Ｆ分别是边ＡD,ＣD上的两个动点,且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BＤE≌△BCF；

(2）判断△BＥF的形状，并说明理由;

(3)设△BEＦ的面积为S,求S的取值范围.

三．正方形

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思:

①有一组邻边相等的平行四边形(菱形)

②有一个角是直角的平行四边形(矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．叫做正方形．

．．．．．．．的平行四边形

．．．．．．并且有一个角是直角

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点,正方形又是轴对称图形,对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴;

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合,正方形的性质总结如下:

边:对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角;

对角线：对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.

注意:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法:

•（1)有一个角是直角的菱形是正方形；

•(２）有一组邻边相等的矩形是正方形．

•注意：1、正方形概念的三个要点:

•(１）是平行四边形;

• (2)有一个角是直角； • (３）有一组邻边相等.

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD 中,对角线的交点为O,E 是O Ｂ上的

一点，ＤＧ⊥AE 于G ，DG 交OA 于Ｆ． 求证：ＯE=ＯＦ．

例2 已知:如图，四边形A ＢCD 是正方形，分别过点A 、C 两点作l 1∥l ２，作BM ⊥l 1于M,ＤN ⊥ｌ

1于

N,直线MB 、DN 分别交ｌ2于Q 、P 点. 求证：四边形PQMN 是正方形．

例3、(２0１１海南）如图，P 是边长为１的正方形ABCD 对角线ＡC 上

一动点(Ｐ与A 、C 不重合)，点Ｅ在射线ＢC 上，且PE ＝PB . （1)求证：① PE ＝P Ｄ ; ② ＰE ⊥PD ； （2)设A Ｐ=x , △PB Ｅ的面积为y .

① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围; ② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值.

实战演练：

１.对角线互相垂直平分的四边形是( ）

Ａ.平行四边形、菱形 Ｂ.矩形、菱形ﻩﻩＣ．矩形、正方形 D .菱形、正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( ） A .等腰梯形ﻩ B .正方形ﻩﻩC .平行四边形ﻩ Ｄ.矩形

3．如图,已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时,它是菱形 B .当AC ⊥ＢＤ时，它是菱形

C .当∠ABC=90０

时，它是矩形 Ｄ．当A Ｃ=ＢD 时,它是正方形

４.如图，在ABC △中,点E D F ，，分别在边AB ,BC ，CA 上，且DE CA ∥,DF BA ∥.下列四

个判断中,不正确．．．的是( ) A.四边形AEDF 是平行四边形ﻩＢ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形

C.如果AD 平分BAC ∠,那么四边形AEDF 是菱形

Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形

5.如图,四边形ABCD 为矩形纸片.把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =,则AF 等于（ ）

C B A Ａ

Ｆ Ｃ Ｄ Ｂ Ｅ