作用于流体的力应力张量
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11
（2.27）
（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量： ， ， 已知， 则任一法向为 的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。 因此三个矢量 ， ，
，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。 称下面由9个分量组成的张量为应力张量Р：
Р=
， k=1,2,3, l=1,2,3 (2.28)
12
根据张量运算的原则，就有： Р=
而 应力张量的9个分量中， 称为法应力（是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。 其余6个量称为切应力（分量）。
13
3、应力张量的性质 （1）应力张量是一个对称张量，已经证明：
（2）不论坐标如何选择，
为一不变的量。
14
4、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：
随着受力面元取向的不同而变化，即：
是空间某一点的位置, 是该点某一个受力面元的法向单位矢。
这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。
流体力学
气大象气学科与学气学候院 学
刘海文
1
§2 作用于流体的力、应力张量
——研究流点所受的力和性质 在流体中任取一个以s 为界面的体积 ，作用于该体积上的力
分成两类： 质量力（体力） 和 面力（表面力） 下面逐一分析之：
一、质量力（体力） 1、定义：质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流 点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。 在大气动力学中指重力。是非接触力。 2、表示方法
理想流体的应力矢可以写成：
， （矩阵称为单位张量
所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。
16
5、静止流体 因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体
一样了，上述对理想流体的性质依然成立。
四、表面应力张量与形变速度张量的关系 真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时 （即剪切变形）时，在相反方向产生一切向应力， 阻止变形的产生，因此切向应力与切向形变之间存在关系。
4
问题
那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？ ----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。
此时只有法向应力（实际就是压力） pxx, pyy, pzz
则根据（2.27）得到：
（2-1）
如果按法向和切对于理想流体，没有切应力，即
，上式（2-2）就成为：
15
（2-3）
将（2.1）与（2.3）对比，得到：
可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数， 一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）
根据牛顿第二运动定律，有：
（2.18）
而流体所受的力 ，就是上面表中所列的内容，则可以写出这 这个四面体的运动方程：
（2.21）
（体力
+面力）
上式中的 是三阶小量， 是二阶小量， 含 的项比含
的项小一个量级。当四面体无限缩小时，含 的项可以略去，
则得到：
2.21中含 的略去
又因为：
9
上式又可以写成： 移项为： 上式中的三个小面积
（2.24） 是 在三个坐标面上的投影，即：
（2.25）
上式中的
表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。
另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到： （2.26）
将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，
10
所以, 应力矢 在直角坐标轴上的投影
就为：
（2.27）
（分别是i, j, k 方向）
（2.20）
上式中的 是作用于某个流体面积 上的表面力，面力
又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：
3
3、质量力和面力的区别(
)
（1）质量力 是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的
函数，即：
，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数
完全描述了。
（2）面力 是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还
（4） 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在 面元的法向和切向都有投影，即：
法线方向上的投影： p nn ----法向应力
切线方向上的投影： p n ----切向应力
7
2、应力张量的证明 设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体 MABC，如图2-3。
注意：
不一定垂直于YOZ, XOZ, XOY平面。 8
面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：
（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示.）
根据牛顿的作用力与反作用力定律： 6
注意：pn 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的 n只是表示面元的法向。 （3）应力矢 在直角坐标轴上的投影。记为：
注意：第一个下标表示面元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。
质量力用空间中分布密度函数 表示。
2
F
lim m0 m F
（2.19）---可以看成是力的分布密度。
如果质量力是重力，则 就是重力加速度g。
3、作用于有限体积元 上的质量力是： 二、面力（表面力）
1、定义：面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体） 作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。 2、表达式 以面力在表面上的分布密度来表示（记作 )
流体的这种性质——粘性规律，通过它将应力张量与形变速度 张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。
17
1、牛顿实验： 1687年，建立了此关系 实验（如书上P53图2.5）
实验： 开始-------两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。 上板以速度U 平行于下板移动，下板静止。 此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。 过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-------速度分布如下：
即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量 完全地描述了一点的应力状况。
5
三、应力张量 1、一些符号和名词 （1）小面元 的法线方向：
当 封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1
当 不封闭时，可以规定一个方向为正。 (2)外法向（即周围）流体通过面元对面元 内流体的应力作用记为：
（或说法线正向一侧流体作用于面元上的 应力以 表示）
（2.27）
（2.27）说明，若三个坐标面上的应力矢量： ， ， 已知， 则任一法向为 的面上的应力矢可以按照（2.26）求出。 因此三个矢量 ， ，
，或它们的共9个分量的组合就完全描述了一点的应力状况。 称下面由9个分量组成的张量为应力张量Р：
Р=
， k=1,2,3, l=1,2,3 (2.28)
12
根据张量运算的原则，就有： Р=
而 应力张量的9个分量中， 称为法应力（是YOX平面、XOZ、XOY平面法向上的分量）。 其余6个量称为切应力（分量）。
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3、应力张量的性质 （1）应力张量是一个对称张量，已经证明：
（2）不论坐标如何选择，
为一不变的量。
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4、理想流体的应力张量 理想流体没有粘性，其切向应力为零，即：
随着受力面元取向的不同而变化，即：
是空间某一点的位置, 是该点某一个受力面元的法向单位矢。
这段话可以这样理解：流体中有各个位置的点，不同点用 确定， 对于某一点 ，过这一点可以做无数个不同方向的面元，这些 面元就用 区别开来了，作用在这些面元上的面力 一般来说是不 同的，因此， 是 位置 和表面法向 的函数了，另外还 随着时间变化。
流体力学
气大象气学科与学气学候院 学
刘海文
1
§2 作用于流体的力、应力张量
——研究流点所受的力和性质 在流体中任取一个以s 为界面的体积 ，作用于该体积上的力
分成两类： 质量力（体力） 和 面力（表面力） 下面逐一分析之：
一、质量力（体力） 1、定义：质量力（体力）是作用于所有流点上的力，它与周围流 点无关，常见的有：重力、万有引力、电磁力等。 在大气动力学中指重力。是非接触力。 2、表示方法
理想流体的应力矢可以写成：
， （矩阵称为单位张量
所以，对理想流体而言，压力是唯一的表面应力，且与方向无关。
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5、静止流体 因为静止，则没有形变，即没用切应力，就同上面的理想流体
一样了，上述对理想流体的性质依然成立。
四、表面应力张量与形变速度张量的关系 真实流体都有粘性。当相邻两层流体作相对滑动时 （即剪切变形）时，在相反方向产生一切向应力， 阻止变形的产生，因此切向应力与切向形变之间存在关系。
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问题
那么，要描写某一点的应力就需要知道所有通过该点 的面上所受的应力。-------是否一定要这样做？ ----------不必，后面就会看到，过同一点不同面上所受到的 应力并不是处处相互独立，事实上，只要知道三个与坐标 面平行面上的应力，则任一以 为法向的面上的应力都可 以通过它们及 表示出来。
此时只有法向应力（实际就是压力） pxx, pyy, pzz
则根据（2.27）得到：
（2-1）
如果按法向和切对于理想流体，没有切应力，即
，上式（2-2）就成为：
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（2-3）
将（2.1）与（2.3）对比，得到：
可见，理想流体的应力与方向无关，是(x,y,z,t)的函数， 一般称之为压力-p。（取负号表示压力方向与法向方向相反。）
根据牛顿第二运动定律，有：
（2.18）
而流体所受的力 ，就是上面表中所列的内容，则可以写出这 这个四面体的运动方程：
（2.21）
（体力
+面力）
上式中的 是三阶小量， 是二阶小量， 含 的项比含
的项小一个量级。当四面体无限缩小时，含 的项可以略去，
则得到：
2.21中含 的略去
又因为：
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上式又可以写成： 移项为： 上式中的三个小面积
（2.24） 是 在三个坐标面上的投影，即：
（2.25）
上式中的
表示法向单位矢量n与x轴的方向余弦。
另外两个类同。将（2.25）代入（2.24）得到： （2.26）
将上式中的矢量都分解到直角坐标系的三个作用轴上，
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所以, 应力矢 在直角坐标轴上的投影
就为：
（2.27）
（分别是i, j, k 方向）
（2.20）
上式中的 是作用于某个流体面积 上的表面力，面力
又称为应力矢。则作用于流体面元上的面力（应力）为：
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3、质量力和面力的区别(
)
（1）质量力 是力的分布密度，是非接触力，是空间和时间的
函数，即：
，是一个矢量场。流点所受的质量力被质量函数
完全描述了。
（2）面力 是应力矢，它不但是空间和时间的函数，而且还
（4） 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），因而它在 面元的法向和切向都有投影，即：
法线方向上的投影： p nn ----法向应力
切线方向上的投影： p n ----切向应力
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2、应力张量的证明 设在流体中的一个点M，想象把它扩大一点，成为一个四面体 MABC，如图2-3。
注意：
不一定垂直于YOZ, XOZ, XOY平面。 8
面元内流体经过面元对周围流体的应力作用记为：
（或说法线负向一侧流体作用于面元上的应力以 表示.）
根据牛顿的作用力与反作用力定律： 6
注意：pn 一般而言不平行于法线（不垂直于作用面），下标的 n只是表示面元的法向。 （3）应力矢 在直角坐标轴上的投影。记为：
注意：第一个下标表示面元的法向，第二个 下标表示应力的投影方向。
质量力用空间中分布密度函数 表示。
2
F
lim m0 m F
（2.19）---可以看成是力的分布密度。
如果质量力是重力，则 就是重力加速度g。
3、作用于有限体积元 上的质量力是： 二、面力（表面力）
1、定义：面力（表面力）是与流体表面S相接触的流体（或固体） 作用于流体表面S 上的力。如压力、粘性力、摩擦力。 2、表达式 以面力在表面上的分布密度来表示（记作 )
流体的这种性质——粘性规律，通过它将应力张量与形变速度 张量以某种关系联系起来，现在来推导这个关系。
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1、牛顿实验： 1687年，建立了此关系 实验（如书上P53图2.5）
实验： 开始-------两块很长的平行板，中间充满不可压缩粘性流体。 上板以速度U 平行于下板移动，下板静止。 此时，粘在上板上的流体速度是U，下板上的流体速度为零。 过一定时间后测量两板间各层的流体速度，发现-------速度分布如下：
即三个矢量（三个坐标面上的应力）或9个分量 完全地描述了一点的应力状况。
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三、应力张量 1、一些符号和名词 （1）小面元 的法线方向：
当 封闭时，取外法线方向为正，如图SS2-2-1
当 不封闭时，可以规定一个方向为正。 (2)外法向（即周围）流体通过面元对面元 内流体的应力作用记为：
（或说法线正向一侧流体作用于面元上的 应力以 表示）