(完整版)第四节空间曲线及其方程教案

重庆科创职业学院授课教案

课名：高等数学（上）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间：

课题：

第四节 空间曲线及其方程

教学目的及要求：

介绍空间曲线的各种表示形式。为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点： 1.空间曲线的一般表示形式 2.空间曲线在坐标面上的投影

教学难点： 空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ：

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲面联立方程组形

式来表示曲线。

⎩

⎨

⎧==0),,(0

),,(z y x G z y x F 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的

点不能同时满足两个方程。

二、空间曲线的参数方程

将曲线C 上的动点的坐标表示为参数t 的函数：

⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 当给定1t t =时，就得到曲线上的一个点),,(111z y x ，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。

旁批栏：

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C 的一般方程为

⎩

⎨

⎧==0),,(0

),,(z y x G z y x F （1）

消去其中一个变量（例如z ）得到方程

0),(=y x H

（2）

曲线的所有点都在方程（2）所表示的曲面（柱面）上。

此柱面（垂直于xoy 平面）称为投影柱面，投影柱面与xoy 平面的交线叫做空间曲线C 在xoy 面上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

⎩⎨

⎧==0

),(z y x H 同理可以求出空间曲线C 在其它坐标面上的投影曲线。

在重积分和曲面积分中，还需要确定立体或曲面在坐标面上的投影，这

时要利用投影柱面和投影曲线。 例1：设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z -=所围

成，见下图，求它在xoy 面上 的投影。

解：半球面与锥面交线为

⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)

(34:2

222y x z y x z C

消去z 并将等式两边平方整理得投影曲线为：

⎩⎨

⎧==+0

1

22z y x 即xoy 平面上的以原点为圆心、1为半径的圆。立体在xoy 平面上的投影为圆所围成的部分：

122≤+y x

旁批栏：

小结与思考：1.空间曲线的一般方程、参数方程：

⎩⎨

⎧==0

),,(0

),,(z y x G z y x F ⎪⎩

⎪

⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x

2.空间曲线在坐标面上的投影

⎩

⎨⎧==00),(z y x H

⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩

⎨⎧==00),(y z x T 作业： 见作业本 7.4

双曲抛物面（鞍形曲面）方程为

z q

y p x =+-2222 （p 与q 同号） 当p >0， q >0时，其形状如图所示。 3．双曲面

单叶双曲面方程为

122

2222=-+c

z b y a x 双叶双曲面方程为

122

2222-=+-c

z b y a x 各种图形注意规律特点，可以写出其它的方程表达式。

小结与思考：曲面方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱面的概念(母线、准线)，了解方程对应的图形形状，并利用截痕法简单地描出图形。

作业：见作业本7.3