2010—2019年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——4.平面向量

x1x2 + y1 y2
= 16 = 16 ，
ab
x12 + y12 x22 + y22 5 13 65
故选：C
二、填空题
（2016·13）已知向量 a = (m, 4) ， b = (3, −2) ，且 a b ，则 m = ___________.
【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可
【解析】 a b x1 y2 = x2 y1 −2m = 12 m = −6 ，故答案为：-6
【拓展】 a = ( x1, y1 ),b = ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 ) ， a = x12 + y12 , b = x22 + y22
( ) （2018·4）已知向量 a ， b 满足 | a |= 1， a b = −1，则 a 2a − b = （ ）
2010—2019 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编
一、选择题
4．平面向量
（2019·3）已知向量 a = (2,3) ， b = (3, 2) ，则 | a − b |= ( )
A． 2
B．2
C． 5 2
D．50
【分析】利用坐标运算对应的向量减法公式，模长的坐标运算求解即可
【解析】由题可知 a − b = (−1,1) a − b = (−1)2 +12 = 2 ，故选：A
补充：
( ) ①在 ABC 中，若 D 为 BC 中点，则有 AD = 1 AB + AC ，如图： 2
②向量减法的拆解 AB = PB − PA = CB − CA（这个起点的选择一般和基底向量有关！） ③若 O 是 ABC 的中心，则有 OA + OB + OC = 0 2020 考向预测： ①向量的数量积公式与模长公式的相关运算，即 a b = a b cos
( ) a + 2b =
2
2
2
a + 2b = a + 4b + 4a b =
a 2 + 4 b 2 + 4 a b cos 进行运算
（2017·4）设非零向量 a, b ，满足 a+b = a - b 则（ ）
A． a ⊥ b
B. a = b
C. a ∥ b
D. a b
【分析】同时平方，采用上一题拓展中讲的方法即可求解，考点为向量模长与数量积的关系
B = (2,0), D = (0, 2), E = (1, 2), A = (0,0), AE = (1, 2), BD = (−2, 2)，AE BD = 2 ，故答案为：2
（2012·15）已知向量 a ， b 夹角为 45º，且 a = 1，|2a − b|= 10 ，则 b =
.
【分析】见模长，用平方即可求解
A．4
B．3
C．2
D．0
【分析】采用数量积公式去括号，再结合 a2 = a 2 代换即可求解，考点为数量积公式的应用
( ) 【解析】 a
2a − b
=
2
2a
−
a
b
=
2
a
2
−
a
b
=
2
+1
=
3
，故选：B
【拓展】 a2 = a 2 这个公式使用频率极高，例如求 a + 2b ，在不知道坐标的情况下，只能采用
.
【分析】结合向量垂直的数量积公式求解即可
( ) ( ) ( )( ) 【解析】 a + b ⊥ ka − b a + b
ka −b
=
0
2
ka
+
(k
− 1) a
b
−
2
b
=
0
k
−1+
(k
−1) a
b
=
0
( ) (k −1) 1+ a b = 0 ，要使等式恒成立，则 k −1= 0 k =1，故答案为：1
a,b
满足
a
+
b
=
10 ， a − b =
6 ，则 a b （
）
A．1
B．2
C．3
D．5
【分析】话不多说，直接平方，再采用整体法作差，即可求解
( ) ( ) 【解析】 a + b =
2
10 a + b =
a+b
2 = 10 ①，同理可得
a−b
2 = 6 ②，①-②可得 4a b = 4 a b =1 ，
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
( ) 【分析】解法不唯一，先求 2a + b ，再求 2a + b a ，考查向量加法的坐标运算，数量积的坐标运算
( ) 【解析】 a = (1，−1) ， b = (−1,2) 2a + b = (1,0) 2a + b a =1 ，故选：C
（2014·4）设向量
【拓展】 a
b
a
=
b
0, a与b同向 0, a与b反向
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x1 y2
=
x2
y1
（2013·14）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则 AE BD = _______. 【分析】两种解法，一种是采用平面向量基本定理，选出两个基底向量，将 AE, BD 用基底向量表示，再
结合数量积公式求解；另一种是直接建系，采用坐标公式表示出 AE, BD ，再利用向量数量积的坐标运 算求解即可
( ) 【解析】|2a − b|=
10
2a − b
2
=
2
4a
−
4a
b
+
2
b
=
4
a
2
−
4
a
b cos + b 2 = 10 ，又 a = 1代入前式可得：
( )( ) 2
b − 2 2 b − 6=0 b − 3 2 b + 2 = 0 b = 3 2
（2011·13）已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量 a + b 与向量 ka − b 垂直，则 k =
( ) ( ) 2
2
【解析】 a+b = a - b a+b = a - b 2a b = −2a b a b = 0 a ⊥ b ，故选：A
【拓展】 a ⊥ b a b = 0 x1x2 + y1y2 = 0 a+b = a - b
( ) （2015·4）向量 a = (1，−1) ， b = (−1,2) ，则 2a + b a = （ ）
故选：A
（2010·2） a ， b 为平面向量，已知 a =（4，3）， 2a + b =（3，18），则 a ， b 夹角的余弦值等于
A8
B− 8
C 16
65
65
65
D − 16 65
【分析】根据向量的夹角公式，和数量积的坐标公式，模长的坐标公式求解即可
【解析】2a + b − 2a = b = (−5,12) a b =16，a = 5，b = 13，cos = a b =
【解法一】如图，以 AB，AD 为基底向量，则 AE = AD + DE = 1 AB + AD ， 2
BD = BA + AD = − AB + AD ，则
( ) AE
BD
=
1 2
AB
+
AD
−AB + AD
=
−
1
2
AB
+
2
AD
=
2
，故答案为：2
2
【解法二】以 AB 方向为 x 轴， AD 为 y 轴，建立直角坐标系，如下图：