4.3.1 等比数列(2)(人教A版高中数学选择性必修第二册)(解析版)

课时同步练
4.3.1 等比数列 （2）
一、单选题
1．已知数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,则4a 等于 （ ）
A ．18
B ．54
C ．36
D ．72
【答案】B
【详细解析】数列{}n a 中,13n n a a +=,12a =,
∴数列{}n a 是等比数列,公比3q =．
则3
42354a =⨯=．
故选B ．
2．22 （ ）
A ．1
B ．1-
C ．1±
D ．2
【答案】C
【详细解析】设等比中项为a ,则,2(21,1a a ===±, 故选C ．
3．已知数列{}n a 是等比数列,函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、,则3
a = （ ）
A ．1
B ．1-
C ．
D 【答案】D
【详细解析】由韦达定理可知155a a +=,153a a ⋅=,则10a >,50a >,从而30a >,
且2
31533a a a a =⋅=∴=故选D
4．已知数列{}n a 为等比数列,且2
234764a a a a =-=-,则46tan 3a a π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B
C ．
D ．【答案】A
【详细解析】由题意得3234364a a a a ==-,所以34a =-．又2
764a =,
所以78a =-或78a = （由于7a 与3a 同号,故舍去）．所以463732a a a a ==,
因此4632tan tan tan 11tan 3333a a πππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
故选A
5．数列{}n a 中,121n n a a +=+,11a =,则6a = （ ）
A ．32
B ．62
C ．63
D ．64
【答案】C
【详细解析】数列{}n a 中,121n n a a +=+,故()1121n n a a ++=+, 因为11a =,故1120a +=≠,故10n a +≠, 所以
11
21
n n a a ++=+,所以{}1n a +为等比数列,公比为2,首项为2. 所以12n
n a +=即21n n a =-,故663a =,
故选C.
6．在等比数列{}n a 中,121a a =,369a a =,则24a a = （ ）
A ．3
B ．3±
C
D
．【答案】A
【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为1210a a =>,所以0q >, 又369a a =,
所以423a a ===.
故选A
7．对于按复利计算机利息的储蓄,若本金为a 元,每期利率为r ,存期为n ,则本金和利息总和y （元）与存期n 的函数表达式为 （ ）
A ．()1n
y a r =+ B ．()
1
1n y a r -=+
C ．()
1
1n y a r +=+
D ．()1y a nr =+
【答案】A
【详细解析】
1期后的本息和为()1a ar a r +=+;2期后的本息和为()()()2
111a r a r r a r +++=+;3
期后的本息和为()()()223111a r a r r a r +++=+;…n 期后的本息和为()1n
y a r =+. 故选A
8．已知等比数列{n a }中,1a +2a =
1
2,1a ﹣3a =34
,则4a = A ．﹣
1
8
B ．
18
C ．﹣4
D ．4
【答案】A
【详细解析】∵等比数列{a n }中,a 1+a 2=
1
2,a 1﹣a 3=34
, ∴1121112
34a a q a a q ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
, 解得11
1,2a q ==-, ∴a 4=3
1a q =1× （﹣12）3=﹣18
．
故选A ．
9．等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1,公差与公比均为3,则1b a +2b a +3b a = （ ）
A ．64
B ．32
C ．33
D ．38
【答案】C
【详细解析】依题意1231,3,9b b b ===,故139172533a a a ++=++=, 故选C.
10．已知数列{}n a 是等比数列,数列{}n b 是等差数列,
若1611a a a ⋅⋅=-16117b b b π++=,则
39
48
tan
1b b a a +-⋅的值是 （ ）
A ．1
B
C
．
D
．【答案】D
【详细解析】在等差数列{}n b 中,由16117b b b π++=,得637b π=,673
b π=
,
3961423
b b b π
∴+==
, 在等比数列{}n a 中,
由1611a a a =-,
得3
6a =-
6a =
(2
24861112a a a ∴-=-=-=-,
则39481473tan tan tan tan 123
3b b a a π
π
π+⎛⎫⎛⎫==-=-=
⎪ ⎪
-⋅-⎝⎭⎝⎭
故选D.
11．等比数列{}n a 的公比为,||1q q ≠,则2237a a +与22
46a a +的大小关系是 （ ）
A ．2222
3746a a a a +>+ B ．2222
3746
a a a a +<+ C ．22223746
a a a a +=+
D ．不能确定
【答案】A
【详细解析】由等比数列的通项公式可得,(
)2
2
38
2
371a a q
a =++,()32
4
26262a a
q q a =++,
()()()()()()()
2
826262233333222237461111111a q q q a q q a q q q q a a a a --=+--=--=-+-++()()()()()()2
2
2
222224233111111a q q q q q q a q q q =-+-+++=-++,
1,0n q a ≠≠,∴
()()2
22423110a q q q -++>,即22223746a a a a +>+.
故选A .
12．已知数列{},{}n n a b 满足1111112
1.1,0.2,,,233
n n n n n n b a a b a b a b n ++++====+∈N ,令n n n c a b =-,则满足4
1
10n c ≤
的n 最小值为 （ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
【答案】B
【详细解析】()111111111211
22223323
n n n n n n n n n n n n b a a b b b a a b a a b ++++++⎛⎫-=
-=-+=-++=- ⎪⎝⎭,1110.9c a b =-=,故{}n c 是首项为0.9,公比为1
3的等比数列,故110.93n n c -=⨯,则14110.9310
n -⨯≤,即
33310n -≥,当9n =时,63372910=<;当10n =时,733218710=>,显然当10n ≥时,33310n -≥成立,
故n 的最小值为10. 故选B ．
二、填空题
13．设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式为_______．
【答案】13-=n n a ,*n N ∈
【详细解析】设等比数列{}n a 的公比为q , 因为245a a a =,427a =,
所以2
23542427a a a a q q q =
===,解得3q =,所以41327127
a a q ===, 因此,13-=n n a ,*n N ∈. 故填13-=n n a ,*n N ∈
14．等比数列{}n a 的各项为正数,且564718a a a a +=,则3132310log log log a a a ++
+=_____.
【答案】10
【详细解析】∵等比数列{}n a 的各项均为正数,且564718a a a a +=, ∴56479a a a a ==, ∴3132310log log log a a a ++
+
31210()log a a a =⨯⨯
⨯
6535log ()a a ⨯= 103log 3=
10=
故填10
15．各项为正数的等比数列{}n a 中,2
a 与10a 则3438log log a a +=_____． 【答案】1-
【详细解析】根据题意,等比数列{}n a 中,2
a 与10a
的等比中项为3
,则有21013a a =
又由等比数列的性质可得:482101
3
a a a a == 则343834831
log log log log 13
a a a a +===- 故填1-．
16．已知数列{}n a 满足12a =且132n n a a +-=,则数列{}n a 的通项公式为__________．
【答案】31n -
【详细解析】因为132n n a a +-=,所以()113331n n n a a a ++=+=+,即
11
31
n n a a ++=+, 即数列{}1n a +为首项3,公比为3的等比数列, 则1
133
n n a -+=⨯=3n ,
所以31n
n a =-．
故填31n -.
17．已知数列{}n a 中,12a =,且对于任意正整数m ,n 都有m n m n a a a +=,则数列{}n a 的通项公式是___________.
【答案】2n
n a =
【详细解析】数列{}n a 中,令1m =,得12n n a a +=,又12a =, 所以{}n a 是首项和公比均为2的等比数列, 则1
2
2=2n n n a -⨯=.
故填2n
n a =
18．各项均为正偶数的数列1234,,,a a a a 中,前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,后三项依次成公比为
q 的等比数列.若4188a a -=,则q 的所有可能的值构成的集合为________.
【答案】5837⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，
【详细解析】因为前三项依次成公差为(0)d d >的等差数列,4188a a -=,所以这四项可以设为
1111,,2,88a a d a d a +++,其中1,a d 为正偶数,后三项依次成公比为q 的等比数列,所以有
()
()()2
111288a d a d a +=++,整理得14(22)
0388
d d a d -=
>-,得(22)(388)0d d --<,
88
223
d <<
,1,a d 为正偶数,所以24,26,28d = 当24d =时,1512,3a q ==;当26d =时,1208
5
a =
,不符合题意,舍去;当28d =时,18168,7a q ==,故q 的所有可能的值构成的集合为5837⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
，.
故填5837⎧⎫⎨⎬⎩⎭
，
三、解答题
19．数列{}n a 满足11a =,1120n n n n a a a a +++-=
（1）写出数列的前5项;
（2）由 （1）写出数列{}n a 的一个通项公式; 【详细解析】 （1）由已知可得11a =,213
a =
,315a =,417a =,519a =.
（2）由 （1）可得数列的每一项的分子均为1,分母分别为1,3,5,7,9,…,
所以它的一个通项公式为1
21n a n =-. 20．已知数列{}n a 满足156a =,()*
11133
n n a a n N +=+∈.
（1）求证:数列12n a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是等比数列; （2）求数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）
()*111
33
n n a a n N +=+∈,
1111
1111113233236211113222
2
n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫
-+---
⎪⎝⎭∴
====---
-,
因此,数列12n a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是等比数列; （2）由于115112623a -
=-=,所以,数列12n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭是以13为首项,以13为公比的等比数列,
1
1111
2333
n n n
a -⎛⎫
∴-=⨯=
⎪
⎝⎭
,因此,1123n n a =+. 21．已知数列{}n a 满足124n n n a a -=+,且13a =,求:
（1）数列{}n a 的前3项; （2）数列{}n a 的通项公式. 【详细解析】 （1）
124n n n a a -=+,且13a =
∴2212422a a =+=,33224108a a =+=
（2）由题可令:(
)1
1424
n
n n n a k a k --+⋅=+⋅
-1242
n n n k
a a =-⋅
又
124n n n a a -=+,2k ∴=-
故数列{
}24
n
n a -⋅是以2为公比的等比数列,且首项-5
∴ 12452n n n a --⋅=-⋅
∴ 12452n n n a -=⋅-⋅
22．已知等比数列{}n a 的首项为1,公比为2,数列{}n b 满足11b a =,22b a =,2122n n n b b b ++=-+．
（1）证明{}1n n b b +-为等差数列;求数列{}n b 的通项公式; （2）求数列n n b a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的最大项． 【详细解析】 （1）根据等比数列的通项公式,得12n n a ,11b =,22b =.
因为2122n n n b b b ++=-+
所以()()2112n n n n b b b b +++---=,且2121211b b a a -=-=-=,
所以数列{}1n n b b +-是以1为首项,2为公差的等差数列, 所以()112121n n b b n n +-=+-=-, 当2n ≥时,
()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-
()11323n =+++⋅⋅⋅+- ()()123112
n n +--=+
()2
21122n n n =-+=-+,
又2111212b ==-⨯+,满足上式,因此2
22n b n n =-+．
（2）设21222
n n n n b n n c a --+==, 所以()()()()2
2
1
121
12122422222n n n n n n n n n n n c c -------+---+-=-=-, 所以123456c c c c c c =<=>>>⋅⋅⋅,故n c 的最大值为2343
4825
24
c c -+===．。