人教版八年级数学下册教学设计19.2.3一次函数与方程、不等式

19.2.3一次函数与方程、不等式》

本课是在学习一次函数的基础上，讨论一次函数与二元一次方程的关系，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组．从而建立它们之间的联系．

1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义；

2．经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想．

理解一次函数与二元一次方程（组）的联系．

多媒体：PPT 课件、电子白板

一、问题导入:

小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面．

上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.

请用列方程的方法解决下面两个问题：

(1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？

(2)当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？

在此题中，路程随时间的变化而变化，能否建立路程和时间的函数，用函数解析式或函数的图象来解决此题呢？这节课我们就是学习一次函数与方程、不等式的关系.

二、深入探究：

【探究1】下面3个方程有什么共同点和不通电？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？

（1）2x+1=3; （2）2x+1=0; （3）2x+1=-1.

教师引导学生发现：这3个方程的等号左边都是2x+1,等号右边分别是3，0，-1.

从函数解析式的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y=2x+1的函数值分别为3,0,-1时，求自变量x的值.

从函数图象的角度看，在直线y=2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少？

[归纳]任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0（a≠0）的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值.

【探究2】下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？

（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1.

教师引导学生发现：这3个不等式的不等号左边都是3x+2，而不等号及不等号右边却有不同.

从函数解析式的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.

从函数的图象看，在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.

[归纳]因为任意一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b ＞0或ax+b ＜0（a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b 的值大于0或小于0时，求自变量x 的取值范围.

三、典型问题：

问题1：1号探测气球从海拔5m 处出发，以1m/min 的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m 处出发，以0.5m/min 的速度上升.两个气球都上升了1h.

（1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y （单位：m ）关于上升时间x （单位：min ）的函数关系；

（2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？

分析：（1）气球上升的时间x 满足0≤x ≤60. 对于1号气球，y 与x 的函数关系式为y=x+5. 对于2号气球，y 关于x 的函数关系式为y=0.5x+15.

（2）在某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x 的某个值（0≤x ≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.

从数的角度看：解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5，y ＝0.5x ＋15.

教师引导学生归纳：此问题就是求自变量为何值时，两个一次函数y ＝x ＋5，y ＝0.5x ＋15的函数值相等，并求出函数值．

从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？

教师引导学生归纳：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交点坐标．

问题2：小聪和小慧去某风景区游览，约好在“飞瀑”见面．

上午7：00小聪乘电动汽车从“古刹”出发，沿景区公路去“飞瀑”，车速为36 km/h ，小慧也于上午7：00从“塔林”出发，骑电动自行车沿景区公路去“飞瀑”，车速为26 km/h.

请用函数解析式或函数图象两种方法解决下面两个问题： (1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了“草甸”？ (2)当小聪到达“飞瀑”时，小慧离“飞瀑”还有多远？

四、当堂训练：

1．若直线y ＝x ＋m 与直线y ＝－x －n 的交点坐标是(1，－2)，则( C ) A ．m ＝3，n ＝－1 B ．m ＝1，n ＝－3 C ．m ＝－3，n ＝1 D ．m ＝1，n ＝3

2．若直线y ＝3x ＋6与y ＝2x －4的交点坐标为(a ，b)，则⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a y ＝b 是方程组________的解

( B )

A.⎩⎪⎨⎪⎧y －3x ＝6，y ＋2x ＝－4

B.⎩

⎪⎨⎪⎧y －3x ＝6，

y －2x ＝－4

C.⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝6，2x －y ＝4

D.⎩

⎪⎨⎪⎧3x －y ＝－6，2x －y ＝－4 3．若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，－x ＋y ＝2的解是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，则直线y ＝2x －1与直线y ＝x ＋2的交

点坐标是__(3，5)__．

图19－2－91

4.以方程3x －y ＝2的解为坐标的所有点都在一次函数y ＝__3x －2__的图象上．

5．如图19－2－91是函数y ＝kx ＋b 与y ＝mx ＋n 的图象，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，

y ＝mx ＋n 的解为

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝3，

y ＝4 6．某单位需要用车，准备和一个个体车主或一家国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶x km ，应付给个体车主的月租费是y 1元，付给出租车公司的月租费是y 2元，y 1，y 2与x 之间的函数关系图象是如图19－2－92所示的两条直线，观察图象，回答下列问题：

(1)每月行驶的路程等于__1500__时，租两家车的费用相同；

(2)如果这个单位估计每月行驶的路程为2300 km ，租__个体车主__的车合算． (3)当x__＞1500__时，选用个体车主的车较合算．

五、课堂小结：

略。