《离散数学》刘任任版第八章

习题8

1、图中8.10中哪些是

分析：根据欧拉定理及其推论，E 图是不含任何奇点的图，半E 图是最多含两个奇点的图。

解： (a) 半E 图 。（b ）E 图。 （c

）非半E 图 和 E 图

2、试作出一个E 图G(p,q),使得p 与q 均为奇数。能否作出一个E 图G(p,q)，使得p 为偶数，而q 为奇数？如果是p 为奇数，q 为偶数呢？

解：以下 E 图中， p 与 q 的奇偶如下表

3、求证：若G 是 E 图，则 G 的每个块也是 E 图。

分析：一个图如果含有E 回路，则该图是E 图；另一方面一个块是G 中不含割点的极大连通不可分子图，且非割点不可能属于两个或两个以上的块。这样沿G 中的一条E 回路遍历G 的所有边时，从一个块到达另一个块时，只能经过割点才能实现。

证明：设B 是G 的块，任取G 中一条E 回路C ，由B 中的某一点v 出发，沿C 前进，C 只有经过G 的割点才能离开B ，也就是说只有经过同一个割点才能回到B 中，注意到这个事实后，我们将C 中属于B 外的一个个闭笔回路除去，最后回到v 时，我们得到的就是B 上的一个E 回路，所以B 也是E 图。

4、求证：若G 无奇点，则G 中存在边互不重的回路 ，使得

分析：G 中无奇点，则除了孤立点后其他所有点的度至少为2，而孤立点不与任何边关联，因此在分析由边构成的回路时可以不加考虑；而如果一个图所有的顶点的度至少为2，则由第五章习题18知该图必含回路。

证明：将G 中孤立点去掉以后得到图G1，显然G1也是一个无奇点的E 图，且2)1(≥G δ。由第五章习题18知，G1必含有回路C1；在图G1-C1中去掉孤立点，得图G2，显然G2仍然是一个无奇点的图，且2)2(≥G δ，于是G2中也必含回路C2，…如此直到Gm 中有回路

)(a )(b )

(c m C C ,,1 )

()()()(21m C E C E C E G E ⋃⋃⋃= 3

G 2

G 1

G

Cm ，且Gm-Cm 全为孤立点为止，于是有：

5、求证：若G 有2k>0个奇点，则G 中存在k 个边互不重的链 ,使得：

分析：一个图的E 回路去掉一条边以后，将得到一条E 链。

证明：设 为 G 中的奇数度顶点，k ≥1在Vi 和Vi+k 之间用新边ei 连接，ⅰ=1，2….k,所得之图记为G*，易知G*的每个顶点均为偶数，从而G*存在 E 闭链C* 。现从C*中删去ei （ⅰ=1，2….k ），则C*被分解成 k 条不相交的链Qi(ⅰ=1，2….k),显然有:

6、 证明：如果 （1）G 不是2—连通图，或者（2）G 是二分图,且X ≠Y,则 G 不是 H 图。

分析：G 不是2—连通图，说明

1)(≤G κ，于是1)(=G κ或0)(=G κ，如果0)(=G κ，则说明

G 不连通，如G 不连通，显然G 不是H 图，如1)(=G κ则G 中存在孤立点，因此有ω(G-v)≥2，由定理8.2.1G 不是H 图。若G 是二分图，则X 或Y 中的任意两个顶点不邻接，因此G-X 剩下的是Y 中的点，这些点都是孤立点；同样G-Y 剩下的是X 中的点，这些点也是孤立点；即有||)(||)(X Y G Y X G =-=-ωω，，如果X ≠Y ，则有

||||)(||||)(Y X Y G X Y X G >=->=-ωω或成立。无论哪个结论成立，根据定理8.2.1都有G 不

是H 图。

证明：若（1）成立则G 不连通或者是G 有割点u ，若G 不连通,则G 不是H 图，若G 有割点u ，取S={u},于是ω(G-u)> S 因此 G 不是H 图.

因此 G 不是H 图.

7、证明：若 G 是半 H 图,则对于V(G)的每一个真子集S ，有:

分析：图G 的权与它的生成子图 的连通分支数满足： ，因为一个图的生成

子图是在该图的基础上去掉若干边得到的，显然去掉边以后只能使该图的连通分支增加。 对于图G 的一条H 通路C ，满足任取V S ⊂, 证明:设C 是G 的一条H 通路，任取V S ⊂, 易知 )

()()()(21m C E C E C E G E ⋃⋃⋃= k Q Q ,,1 )

()()()(21k Q E Q E Q E G E ⋃⋃⋃= k k k V V V V V 212,1,,,,, +)()()()(2

1

k

Q E Q E Q E G E ⋃⋃⋃= .,.2S S G S

X Y S G X S Y X >-=>=-=<）（即：）（则令）成立，不妨设若（ωω.

1)(+≤-S S G ω.

1)(+≤-S S C ω')()(G G ωω≤'G .1)(+≤-S S C ω

而 C-S 是 G-S 的生成子图.

8、试述 H 图与 E 图之间的关系。

分析：H 图是指存在一条从某个点出发经过其他顶点有且仅有一次的回路；而E 图是指从某点出发通过图中所有的边一次且仅有一次的回路。从定义可看出，这两者之间没有充分或必要的关系。

解 ： 考虑如下四个图:

易知G1是E 图，但非H 图; G2是H 图，但非E 图; G3既非E 图，又非H 图；G4既是E 图，也是H 图。

9、作一个图，它的闭包不是完全图

分析：一个p 阶图的闭包是指对G 中满足d(u)+d(v)≥p 的顶点u,v ，若uv ∉E(G)，则将边uv 加到G 中，得到G+uv ，如此反复加边，直到满足d(u)+d(v)≥p 的所有顶点均邻接。由闭包的定义，如果一个图本身不存在任何一对顶点u,v ，满足d(u)+d(v)≥p ，则它的闭包就是其自身。显然可找到满足这种条件的非完全图。

10、若 G 的任何两个顶点均由一条 H 通路连接着，则称G 是H 连通的。

（2）对于p ≧4，构造一个具有 的H 连通图G 。

分析：根据定理5.3.1有)(21

∑==

p

i i

v d q ，因此2/)(1

∑==p

i i v d q 而

)()(1

G p v d p

i i

δ*≥∑=，所以q ≥p*δ(G)/2，因此如果能判断δ(G)≥3，则有

下面的证明关键是判断δ(G)≥3。

1

34

G 2

G .1)()(+≤-≤-S S C S G ωω故.1)(+≤-S S G ω故不是完全图。，但，解：如右图

G

G G G =.

)13(21,4)1(⎥⎦⎥

⎢⎣⎢+≥≥p q p H G 则连通的，且是证明：若⎥⎦

⎥

⎢⎣⎢+=)13(21p q ;)13(21

2/32/)(⎥⎦⎥⎢⎣⎢+≥≥*≥p P G p q δ