条件极值与拉格朗日乘数法

§4条件极值

一、何谓条件极值

在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000z y x 到一曲面0),,(=z y x G 的最短距离问题，就是这种情形。我们

知

道

点

)

,,(z y x 到点

)

,,(000z y x 的距离为

202020)()()(),,(z z y y x x z y x F -+-+-=.现在的问题是要求出曲面0

),,(=z y x G 上的点),,(z y x 使F 为最小.即问题归化为求函数),,(z y x F 在条件0),,(=z y x G 下的最小值问题.

又如，在总和为C 的几个正数n x x x ,,21的数组中，求一数组，使函数值

2

2221n x x x f +++= 为最小，这是在条件C x x x n =+++ 21 )0(>i x 的限制下，

求函数f 的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）.

例1 要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 .

分别以x 、y 和z 表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件

V xyz =之下求函数xy yz xz z y x S ++=)(2),,(的最小值 .

条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ϕ

限制下， 求目标函数),,,(21n x x x f y =的极值.

对这种问题的解法有: 化为无条件极值. 例 1 由V xyz =解出

xy

V

z =

, 并代入函数),,(z y x S 中, 得到xy x

y V y x F ++=)1

1(2),(, 然后按)0,0(),(=y x F F , 求出稳定点32V y x ==, 并有

3

22

1V z =

, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243V S =.

然而, 在一般情形下条件组中解出m 个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法. 二、条件极值的必要条件

设在约束条件0),(=y x ϕ之下求函数=z ),(y x f 的极值 . 当满足约束条件的点

),(00y x 是函数),(y x f 的条件极值点 , 且在该点函数),(y x ϕ满足隐函数存在条件时, 由

方程0),(=y x ϕ决定隐函数)(x g y =, 于是点0x 就是一元函数())( , x g x f z =的极限点 , 有

0)(='+=x g f f dx dz

y x .代入 )

,(),()(00000y x y x x g y x ϕϕ-=', 就有 0)

,()

,()

,(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ,

即 x f -y ϕy f x ϕ0= , 亦即 (x f , y f ) (⋅y ϕ ,x ϕ-)0= .

可见向量(x f , y f )与向量(y ϕ , x ϕ-)正交. 注意到向量(x ϕ , y ϕ)也与向量

(y ϕ , x ϕ-)正交, 即得向量(x f , y f )与向量(x ϕ , y ϕ)线性相关, 即存在实数λ, 使

(x f , y f ) +

λ(x ϕ , y ϕ)0=.

亦即 ⎩⎨⎧=+=+. 0

, 0y y

x x f f λϕλϕ

三、 Lagrange 乘数法:

由上述讨论可见 , 函数=z ),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ之下的条件极值点应是方

程组⎪

⎩⎪

⎨⎧==+=+.

0),(, 0),(),(, 0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 的解.

引进所谓Lagrange 函数

),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=, ( 称其中的实数λ为Lagrange 乘数 )

则上述方程组即为方程组

⎪

⎩⎪

⎨⎧===.

0),,( , 0),,( , 0),,(λλλλy x L y x L y x L y x

下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange 乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyz f = 在条件0,12

2

2

=++=++z y x z y x 下的极值。

解 令)()1(2

2

2

z y x z y x xyz L +++-+++=μλ

02=++=μλx yz L x , 02=++=μλy xz L y ,

02=++=μλz xy L z ,

得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+2

2

2

222, （1）

又 12

2

2

=++z y x , （2）

0=++z y x , （3）

由（1）得 )()(22

2

x y y x -=-μλ ，)()(22

2

y z z y -=-μλ,

当z y x ≠≠时得 μλ-=+)(2y x ， μλ-=+)(2z y

故得z x =，代入（2）（3）式得 122

2=+y x ,

02=+y x .

解得稳定点)61,62,

61

(

1-P ，)61,62,61(2--P . 由对称性得)61

,61,62(4,3±± P ，)6

2

,61,61(

6,5 ±±P 也是稳定点. 四、 用Lagrange 乘数法解应用问题举例:

例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V 的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是

)()(2),,,(V xyz xy yz xz z y x L -+++=λλ