随机信号分析与应用第三章
随机信号与分析课后答案 王琳DOC
第一章 随机过程基础本章要点概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。
本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。
基本内容一、概率论 1、古典概型用A 表示所观察的随机现象（事件），在A 中含有的样本点（基本事件）数为A n ，则定义事件A 出现的概率()P A 为 ()An P A n=（1-1）2、几何概型用A 表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为()L A ,则规定事件A 出现的概率()P A 为 ()()()E L A P A L S =（1-2）3、统计概率对n 次重复随机试验C E ，事件A 在这n 次试验中出现的次数()n f A 称为频数。
用事件A 发生的频数()n f A 与试验次数n 的比值()n F A 称为频率()()()n n f A P A F A n≈=（1-3）4、概率空间对随机试验E ，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间E S （也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A （A 中的每一个集合称为事件）。
若事件A ∈A ，则()P A 就是事件A 的概率。
并称{},,E S P A 为一个概率空间，而样本空间E S ，事件域A，概率P 是构成概率空间的三个要素。
二、随机变量1、随机变量的概念 设已知一个概率空间(),,E S P A ，对E s S ∈，()X s 是一个取实数值的单值函数，则对任意实数1x ，()1X s x ≤是一个随机事件，且(){}1:s X s x ≤∈A，则称()X s 为随机变量。
显然，随机变量()X s 总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变量的研究。
为了方便，此后若无特别需要将随机变量()X s 简记为X 。
2、随机变量的概率密度函数定义随机变量X 的累积概率分布函数为()()F x P X x =≤而把它的导数定义为随机变量X 的概率密度函数。
随机信号分析(常建平-李海林版)课后习题答案
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。
给大家造成的不便，敬请谅解随机信号分析 第三章习题答案、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。
求（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。
（3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）（2）3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232()(16)X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？解[][]()[]2()cos 211,cos 5cos 22X E X t E A E t B A B R t t EA τττ=++=⎡⎤⎣⎦+=+=+与相互独立()()()21521()lim2TT T E X t X t X t X t dt AT-→∞⎡⎤=<∞⇒⎣⎦==⎰是平稳过程()()[]()()4112211222222242'4(1)24()()444(0)41132(1)224414414(2)121tan 13224X X XE X t G d RFG F e R G d d d arc x x ττωωωωωππωωπωωπωπωω∞----∞∞-∞-∞∞--∞∞⎡⎤⨯⎡⎤==⋅=⋅⎢⎥+⎣⎦====+==⎛⎫+ ⎪==⎣⎦=++⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰P P P P 方法一()方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功)2d ω=3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。
证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-[][]:()[()()]{()()}{()(}2()()()()()()()()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-⇒⇒=+=--+-+-=--=+=-⇔⇔∴=-+-=已知平稳过程的表达式利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳换的延时特性2()2()22()(1cos )j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=-3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为216()16X G ωω=+22()16Y G ωωω=+令新的随机过程()()()()()()Z t X t Y t V t X t Y t =+⎧⎨=-⎩ ①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0()()(,)[()][()]0()()(2)()()()()[()()][()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R eE Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τττωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立稳[][]{}2214||()]()()()()()0()()()16()()()116(3)()0()0(4)()[()()]()()()()()()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||)[()()][()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。
随机信号分析与处理(第2版)
随机信号分析与处理（第2版）概述本文档介绍了随机信号分析与处理（第2版）的主要内容。
随机信号是一种在时间上或空间上具有随机性质的信号，在诸多领域中都有广泛的应用，如通信、图像处理、控制系统等。
随机信号的分析和处理对于了解其性质、提取有用信息以及设计有效的处理算法都是必不可少的。
主要内容第一章：随机信号的基本概念本章介绍了随机信号的基本概念和特性，包括随机信号的定义、概率密度函数、均值、方差等。
通过对随机信号的特性分析，可以为后续的分析和处理提供基础。
第二章：随机过程本章讨论了随机过程的定义和性质。
随机过程是一类具有随机性质的信号集合，其在时间上的取值不确定，但具有统计规律性。
通过对随机过程的分析，可以了解其演化规律和统计性质。
本章介绍了随机信号的表示与分解方法。
随机信号可以通过不同的数学模型进行表示，如傅里叶级数、傅里叶变换、小波变换等。
通过将随机信号进行分解，可以提取出其中的有用信息。
第四章：随机信号的功率谱密度本章研究了随机信号的功率谱密度。
功率谱密度描述了随机信号在频率域上的分布，通过分析功率谱密度可以获得随机信号的频率特性和频谱信息。
第五章：随机信号的相关与协方差本章讨论了随机信号的相关与协方差。
相关是用来描述随机信号之间的依赖关系，协方差是用来描述随机信号之间的线性关系。
通过分析随机信号的相关与协方差，可以研究信号之间的相关性和相关结构。
本章介绍了随机信号的滤波和平均处理方法。
滤波是用来抑制或增强随机信号中的某些频率分量，平均则是通过对多次采样的随机信号进行求平均来减小随机性。
第七章：随机信号的参数估计本章研究了随机信号的参数估计方法。
参数估计是通过对随机信号进行采样和分析，通过估计参数来了解信号的统计性质和特征。
第八章：随机信号的检测和估计本章讨论了随机信号的检测和估计方法。
检测是用来判断随机信号的存在或不存在，估计是通过对随机信号的采样和分析来估计信号的参数。
第九章：随机信号的最优滤波本章研究了随机信号的最优滤波方法，最优滤波是通过优化设计滤波器来最小化系统误差或最大化输出信噪比。
随机信号分析第三章new
因而，我们根据定义式，求得过程X (t) 的均值，自相关函数和均 方值分别为
mX (t ) E[ X (t )] E[ cos(0t )]
2 0
1 cos(0t ) d 0 2
过程X( t )的均值为“0”（常数），
R X (t1 , t 2 ) R X (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos( 0 t ) cos( 0 (t ) )]
1 x(t ) x(t ) Rx ( ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t ) dt f ( )
其结果 f ( ) 是个确定的时间函数。
若对随机过程 X ( , t ) 求时间自相关，则
X (t ) X (t ) X (t ) X (t ) RX ( ) 1 T 1 lim T X (t ) X (t )dt Tlim 2T T 2T f ( , )
例3.1 设随机过程 X (t ) cos(0t )
式中， , 0 皆为常数， 是在 (0,2 )上均匀分布的随机变量。
试问： X( t )是否是平稳随机过程？为什么？ 解：由题意可知，随机变量 的概率密度为
1 / 2 , f ( ) 0,
0 2 其他
1
说明
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳? 是很困难的 一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在 时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它 在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段 上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为 是平稳过程。 一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的 平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题
北大随机信号分析基础课件 3.1 随机信号通过线性系统的分析
第三章 随机信号通过线性系统3.1 随机信号通过线性系统的分析3.1.1 线性系统的基本理论设时不变线性系统的冲激响应函数为h(t)，系统输入为x(t)，输出为y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：ττττττd t x h d t h x t h t x t y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-若)()]([),()]([),()]([ωωωH t h F Y t y F X t x F ===，则有)()()(ωωωH X Y =式中函数)(ωH 称为系统的传输函数。
卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数)(),(21t f t f ，已知)()]([),()]([2211ωωF t f F F t f F ==，则)()()](*)([2121ωωF F t f t f F =频域卷积定理：)(*)(21)]()([2121ωωπF F t f t f F =⋅3.1.2 系统的输出响应所讨论的系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现的。
若输入为随机信号X(t)，则线性时不变系统的输出Y(t)为：ττττττd t X h d t h X t h t X t Y )()()()()(*)()(-=-==⎰⎰∞∞-∞∞-对于物理可实现系统，当t<0时，有h(t)=0，则上式改写为ττττττd t X h d t h X t Y t)()()()()(0-=-=⎰⎰∞∞-3.1.3 系统输出的概率分布理论上，根据输入随机信号的统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。
一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。
3.1.4 随机信号通过线性系统的时域分析主要讨论线性系统输出的时域数字特征。
1． 系统输出的数学期望若输入X(t)为平稳随机过程，且假设其均值为X m ，则有)0()]([)()()]([])()([)]([H m m t Y E m d h m d h t X E d t X h E t Y E X Y YX====-=-=⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-ττττττττ对于物理可实现系统，有ττd h m t Y E m X Y ⎰∞==0)()]([显然，系统输出随机信号的均值是常数。
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
随机信号分析理论的应用综述
随机信号分析理论的应用综述结课论文学院：系别：电子信息工程班级：姓名：学号：指导老师：目录第一章概述随机信号分析的研究背景随机信号分析的主要研究问题第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析的主要研究内容随机信号分析的基本研究方法第三章随机信号分析的应用实例均匀分布白噪声通过低通滤波器语音盲分离系统辨识基于bartlett的周期图法估计功率谱基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中,所传输的信号都具有一定的不确定性,因此都属于随机信号,否则不可能传递任何信息,也就失去了通信的意义;随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号,也无法用实验的方法重复实现;随机信号是客观上广泛存在的一类信号,它是持续时间无限长,能量无限大的功率信号,这类信号的分析与处理主要是研究它们在各种变化域中的统计规律,建立相应的数学模型,以便定性和定量的描述其特性,给出相关性能指标,并研究如何改善对象的动静态性能等;随机信号分析内容涉及线性系统与信号、时间序列分析、数字信号处理、自适应滤波理论、快速算法、谱估计等方面的知识;我们所学的是从工程应用的角度讨论随机信号的理论分析和研究方法,主要以分析随机信号与系统的相互作用为主要内容;近年来,随着现代通讯和信息理论的飞速发展,对随机信号的研究已渗透到的各个科学技术领域,随机信号的处理是现代信号处理的重要理论基础和有效方法之一;主要研究问题对随机过程信号的分析来讲,我们往往不是对一个实验结果一个实现或一个具体的函数波形感兴趣,而是关心大量实验结果的某些平均量统计特性,因而随机过程信号的描述方式以及推演方式都应以统计特性为出发点;这样,尽管从个别的实现看不出什么规律性的东西,但从统计的角度却表现出一定的规律性,即统计规律性,它是本门学科一个最根本的概念;随机信号分析重点研究一般化抽象化的系统干扰和信号,往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型,而不是讨论具体的系统,更不会局限于一些具体的电路系统上;概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法,更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解;随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号,如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等;第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程,是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础,在学习过程中,我们需要学会三个概念,统计的概念、模型的概念和物理概念,学习时既要理论联系实际,又要学会数学模型的抽象思维方法;一随机信号分析的主要研究内容：随机过程的基本概念和基本特征,它是学习随机信号分析的基础；随机信号的平稳性,平稳随机过程的数字特征、相关函数的性质;掌握平稳随机序列的期望、自相关序列的求解等；功率谱密度以及它的性质、互谱密度及性质等；随机信号两种统计特性的描述方法,重点研究数字特征,均值、方差、相关函数、相干函数、功率谱密度;平稳随机过程：将随机过程划分为平稳和非平稳有重要的实际意义,因为过程若属于平稳的可使问题的分析变得简单;随机信号的功率谱密度：利用傅里叶变换,研究随机过程的频域分析的功率谱密度并讨论其频率结构带宽以及系统的相互作用;随机信号通过线性系统：当输入信号为随机过程时,线性,稳定,时不变系统输出的统计特性,讨论系统的冲激响应ht是实函数的情况;功率谱估值：基于傅里叶变换的经典法和基于随机信号模型的现代谱估值法,前者称为非参数谱估值法,后者称为参数谱估值法;窄带随机过程：建立窄带过程的物理模型和数学模型以及分析窄带信号和系统的重要工具希尔伯特变换,来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质;讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换;随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时,分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联,一般用多项式和伏特拉级数的方法;马尔可夫过程：一随机过程 {Xt,t∈T},其值域状态可以连续取值,也可以离散取值,如果他的条件概率满足下列关系：PXtn+1<=Xn+1 Xtn=xn,Xtn-1=xn-1,...,Xto=xo=PXtn+1<=xn+1 Xtn=xn 则Xt为马尔可夫过程;基于假设检验的信号检测：信号的统计检测是随机信号分析与处理的重要内容,应用统计方法来导出判决和估值的步骤,是合乎情理的;二随机信号分析理论的基本研究方法：在学习随机信号分析这一门课程时除了注意处理随机信号的方法外,更重要的是深入理解数学推演结果、结论的物理意义;对一些复杂的数学推演的中间步骤不必死记硬背,更不必深究其数学上的严密性,重在弄清楚来龙去脉,掌握分析的思路与方法;利用计算机为工具,对特定随机过程产生的数据进行统计分析,也是研究随机过程的重要方法,以及利用现代分析手段去分析,研究随机信号用来解决工程应用中的实际问题;第三章随机信号分析的应用实例均匀分布白噪声通过低通滤波器matlab环境下%%%%均匀分布白噪声通过低通滤波器xn=rand1,500; hn=fir150,;f,xi=ksdensityxn; plotxi,f;title'均匀分布白噪声概率密度';yn=filterhn,1,xn;t,xi=ksdensityyn;figure; plotxi,t;title'均匀分布白噪声通过低通滤波器后的概率密度';均匀分布白噪声概率均匀分布白噪声通过低通滤波器后的概率密度语音盲分离语音信号的盲源就是在源信号和源信号如何混合都未知的情况下,从观测到的混合信号中恢复出未知源信号;语音信号盲分离技术被成功地用在了通信、医学、图像和语音信号处理等领域;我们所要研究的混合语音信号盲分离问题就是用麦克风阵列或多个麦克风阵列来模仿人的耳朵,采集得到相互干扰的混叠语音信号,然后通过分离算法将混叠的语音信号相互分离开来,提取我们所感兴趣的信号;举个例子就是在多人同时说话的嘈杂环境下,我们能够辨识感兴趣人的说话声的能力;然后把它分辨出来;系统辨识根据系统的输入输出时间函数来确定描述系统行为的数学模型;通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数,建立一个能模仿真实系统行为的模型,用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变,以及设计控制器;对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号;对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入,使输出满足预先规定的要求;而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题;通常,预先给定一个模型类μ={M},一类输入信号u和等价准则J=Ly,yM；然后选择使误差函数J达到最小的模型,作为辨识所要求的结果;系统辨识包括两个方面：结构辨识和参数估计;在实际的辨识过程中,随着使用的方法不同,结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的,而是可以交织在一起进行的;基于bartlett的周期图法估计功率谱功率谱估计是随机信号分析中的一个重要内容;从介绍功率谱的估计原理入手分析经典谱估计和现代谱估计两类估计方法的原理、各自特点及在Matlab中的实现方法;经典功率谱估计的方差大、谱分辨率差,分辨率反比于有效信号的长度,但现代谱估计的分辨率不受此限制;给出了功率谱估计的应用;基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序MATLAB_GUI为Kalman滤波器的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器;它以矩阵运算为基础,把计算、可视化、仿真以及设计融合到一个交互式的工作环境中;本文基于MATLAB_GUI对Kalman滤波器进行设计和仿真;第四章展望电子信息工程是一门应用计算机等现代化技术进行电子信息控制和信息处理的学科,主要研究信息的获取与处理,电子设备与信息系统的设计、开发、应用和集成;现在,电子信息工程已经涵盖了社会的诸多方面,像电话交换局里怎么处理各种电话信号,手机是怎样传递我们的声音甚至图像的,我们周围的网络怎样传递数据,甚至信息化时代军队的信息传递中如何保密等都要涉及电子信息工程的应用技术;我们可以通过一些基础知识的学习认识这些东西,并能够应用更先进的技术进行新产品的研究和开发;中国IT行业起步至今有十年,很年轻;新鲜的事物、朝阳的产业总是备受注目;正是这个原因,计算机专业迅速成为高校的热门专业,不少同学削尖又再削尖了脑袋往这个象牙塔里的象牙顶钻,或为兴趣,或为谋生掌握一门技能,或为前途更好更快地发展;在学习随机信号分析这一门课程时,应能掌握随机过程的基本概念、其统计特性的描述、随机信号通过系统分析以及电子系统中常见的窄带、正态随机信号的分析,而数字技术的发展使得离散随机信号分析成为本课程的重点要求掌握内容,其在电子信息技术中所占比重及重要性将得到进一步加强;随机信号理论在它形成的初期,便在通信、雷达、导航以及密码学等领域中获得了广泛的应用;近年来,随着对随机信号理论研究的进一步深入,人们对随机信号有了更多的认识,随机信号的实际应用也越来越多;其应用范围从上述领域扩展到自动控制、计算机、声学和光学测量、数字式跟踪和测距系统以及数字网络系统的故障检测等方面;参考文献：1“随机信号分析与处理”研究型教学总结谢明霞,罗鹏飞,张文明,徐振海3基于局域波法和盲源分离的故障诊断方法应用郝治华 20054概率论与数理统计第二版盛骤等北京高等教育出版社 2001.5非平稳随机信号分析与处理王宏禹国防工业出版社1999.6非平稳信号的一种ARMA模型参数估计法.信号处理王文华,王宏禹 19987Electronic Design EngineeringGao Hai Ning,YUAN Lei Ming,L of signal processing module of agricultural products based on acoustic resonance. 20128随机信号分析与应用刘磊 20139随机信号分析与处理0课程设计案例张文明,罗鹏飞长沙：电气电子教学学报,201010随机信号分析赵淑清,郑薇哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1999。
随机信号分析基础第三章课后答案
第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。
同样均方值也应是常数。
（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。
因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。
则称他们是联合宽平稳的。
第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
随机信号分析第三章
E{ X (t + Δt )} → E{ X (t )}
或
m X (t + Δt ) → m X (t )
(3.2.10)
由此可以得出结论: 如果 X (t ) 均方连续，则其均值函数亦连续。(3.2.10)式也可以表示为
Δt →0
lim E{ X (t + Δt )} = E{ X (t )} = E{l ⋅ i ⋅ m X (t + Δt )}
(3.1.11)
假定系统是线性时不变的，由线性时不变的基本特性和两个基本定理可以看出，如果 X (t ) 是 严平稳的，则 Y (t ) 也是严平稳的。如果 X (t ) 是广义平稳的，则 Y (t ) 也是广义平稳的。
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3.2 随机过程的导数与积分
与确定性过程一样，导数和积分是随机过程的两种重要的运算，而导数和积分又是以极限为基 础的。因此，本节首先介绍随机变量极限的概念，进而引入导数和积分的概念。随机变量的极限有 几种，我们只讨论其中最常用的一种，即均方极限，因此，我们讨论的导数和积分都是均方意义下 的导数和积分。
3.2.3 随机过程的导数
有了随机过程极限与连续性的定义后，我们就可以引入导数的概念。 1 导数的定义 定义：设随机过程 X (t ) ，如果下列极限存在，
l ⋅i ⋅m
Δt →∞
X (t + Δt ) − X (t ) Δt dX (t ) , 即 dt
(3.2.12)
则称此极限为随机过程 X (t ) 的导数，记为 X ′(t ) 或
以上两个定理是线性变换的两个基本定理，它给出了随机过程经过线性变换后，输出的均值和 相关函数的计算方法。 从两个定理可知，对于线性变换，输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确 定。推广而言，对于线性变换，输出的 k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。如
随机信号分析理论的应用综述
欢迎共阅随机信号分析理论的应用综述（结课论文）学院：3.1均匀分布白噪声通过低通滤波器3.2语音盲分离3.3系统辨识3.4基于bartlett的周期图法估计功率谱3.5基于MATLAB_GUI的Kalman滤波程序第四章展望参考文献第一章概述1.1随机信号分析的研究背景在一般的通信系统中，所传输的信号都具有一定的不确定性，因此都属于随机信号，否则不可能传递任何信息，也就失去了通信的意义。
随机信号是一种不能用确定的数学关系式来描述的、无法预测未来时刻精准值的信号，也无法用实定的规律性，即统计规律性，它是本门学科一个最根本的概念。
随机信号分析重点研究一般化（抽象化）的系统干扰和信号，往往仅给出他们的系统函数模型和数学模型，而不是讨论具体的系统，更不会局限于一些具体的电路系统上。
概率论与数理统计随机过程理论等只是处理本命学科有关问题的一种工具因而学习本门课程除了注意处理问题的方法，更重要的是对一数学推演的结果和结论的物理意义有深入的理解。
随机信号通过线性、非线性系统统计特件的变化；在通信、雷达和其他电子系统中常见的一些典型随机信号，如白噪声、窄带随机过程、高斯随机过程、马尔可夫过程等。
第二章随机信号分析的主要内容随机信号分析与处理时研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础课程，是目标检测、估计、滤波等信号处理的理论基础，在学习过程中，我们需要学会统的重要工具希尔伯特变换，来分析窄带随机过程的统计特性及其一些重要性质。
讨论窄带随机过程经包络检波器和平方律检波器后统计特性的变换。
随机信号通过非线性系统：当动态非线性系统可分时，分为线性系统与无记忆的非线性系统的级联，一般用多项式和伏特拉级数的方法。
马尔可夫过程：一随机过程 {X(t),t∈T}，其值域（状态）可以连续取值，也可以离散取值，如果他的条件概率满足下列关系：P[X(tn+1)<=Xn+1 X(tn)=xn,X(tn-1)=xn-1,...,X(to)=xo]=P[X(tn+1)<=xn+1 X(tn)=xn] 则X（t）为马尔可夫过程。
随机信号分析(第3版)第三章习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解：(1)2(;)}4x f u t =-22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44u u f u u t t f u t f u t π+==-211,212,1(,,;,,)()}4kiki k k i i i uf u u u t t t f u t ====-∑∏(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值； （2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。
随机信号分析(2-4章)
求： 解：
1 1 F ( , x ), F (1, x ), F ( ,1, x1 , x2 ) 2 2
1 0 cos , 1 2 2 t 时，X ( 1 ) 2 1 2 1 2 , 1 2 2
1 - 1 cos( t ), 2 t 1时，X（ 1 ） 2 2 1, 1 2
例3 求随机二进制信号的均值和自相关函数
半随机独立二进制（观察信号的起始时刻为每个时 隙的起点）
随机二进制信号（观察信号的起始时刻在一个时隙 均匀分布）
解：
E[ X (t0 )] 0 q 1 p p R X (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ X (t1 ) X (t2 )] E ( R半随机 (t1 , t2 )) E E X [ X (t1 ) X (t2 ) / ]
一维分布函数
FX ( x1, n1 ) P{ X ( n1 ) x} 0, x 0 q,1 x 0 1, x 1
一维密度函数
f x ( x1, n1 ) q ( x) p ( x 1)
例2 利用投掷硬币的实验 定义R.S
cost X (t ) 2t 1 2 1 硬币出现反面而且概率 为 2 硬币出现正面而且概率 为
2 密度函数
F ( x, t ) x F ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) f X ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) x1x 2 f X ( x, t ) F ( x, t )
2.1.3 随机过程的数字特征
随机信号分析课件3
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
在系统分析中，常用复频率表示更为方便.
sj
S X ( )
S X (s)
最简单的情况是σ=0，s=jω。
S X ( s ) 沿复频率面s在虚轴j ω的变化与 S X ( )
沿实轴的变化相一致。二者只是符号的一致，各自 的函数形式并不相同。
【例题】
SX()410(10225)24
2A 2 2
例4. 已知平稳随机过程X(t)，具有功率谱密度为
SX()411 36236
求该过程的自相关函数和均方值。
解：RX()Ae
SX
()
2A 2 2
SX()4113 6236
16/ 5
2 4
162 /59
16
(2 4)(2 9)
16/5 224/5
24 24
16/5 238/15
29 29
R X ( )
4 e 2 | | 5
8 e 3| | 15
E[ X 2 (t )] RX (0) 4/58/15 4/15
双边带功率谱密度：功率谱密度分布在整个频 率轴上，称为双边带功率谱密度。
3.1.2随机过程的功率谱密度 样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率
是有限的
Qlim1 T x(t)2dt T 2T T
随机信号分析课件3、4(常建平)
则其时间平均 P E[ X 2 (t )] R(0) R(0) 所以平稳过程的平均功率： 3、各态历经过程的平均功率 由于各态历经过程X(t)的每个样本函数的时间平均都以概率1 相 同，与 无关，则可推出：
P R(0)
1 P lim T 2T
1 －T X (t, )dt Tlim 2T
1 P lim T 2T 1 T E[ X (t )]dt E[ X (t )] E[ X (t )] 2
T 2 2 2
kT
( )
2
随机过程的平均功率也可以由过程的均方值求时间平均：
GX ( )d
2、平稳过程的平均功率 若X(t)为平稳过程，其均方值 E[ X (t )] R(0)与“t”无关，
二、实随机信号的平均功率 随机过程的任意一个样本函数，都不满足傅立叶变换的绝对 可积条件，直接对随机过程进行傅立叶变换不可能。但是对其样 本函数作某些限制后，其傅立叶变换存在。
最简单的是应用截尾函数。如右图所示：
在
xk (t ) 中任意截取长为2T的一段
xk (t ) T 0
xkT (t )
T t
k 不同由于样本函数 xk (t )不同， Pk 也不同。
相对所有试验结果 来讲，所有样本的平均功率 P k 的总体
P 就是一个随机变量。
1 P lim T 2T 1 －T X (t )dt Tlim 4 T
T 2
X T ( ) d
2
其中X(t)是随机过程，XT ( ) XT (, )是随机过程的截取函数的频谱 若对 P 取统计平均，得确定值：
xiT (t ) 为 t 的实函数时，其频谱满足
《随机信号分析基础》课件第3章
RXY t,t E X t Y t E Acost B sin tAcos 2t B sin 2t
E A2 cost cos 2t AB cost sin 2t ABsin t cos 2t B2 sin t sin 2t
令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
tn+Δt, t1′+Δt, t2′+Δt, …, tm′+Δt) (3-14)
联合严格平稳性的性质为： X(t)与Y(t)的二维联合概率 分布或密度函数只与选取两个时刻的差值有关。
FXY(x, y; t1, t2)=FXY(x, y; t1+Δt, t2+Δt)=FXY(x, y; τ), τ=|t1－t2| (3-15)
证明 由题意知：
E A=E B=0 D A=DB= 2 E AB=E A E B=0
E X t =E Acos0t+B sin 0t = cos0t E A+ sin 0t E B=0=mX
RX t,t+ =E X t X t+
=E Acos0t+B sin 0t Acos0 t+ +B sin 0 t+
3.1.3
1. 若随机信号X(t)与Y(t)的任意n+m维联合概率分布函数具 有下述的时移不变性： FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1, t2, …, tn, t1′, t2′, …, tm′) =FXY(x1, x2, …, xn, y1, y2, …, ym; t1+Δt, t2+Δt, …,tn+Δt,
随机信号处理第三章PPT课件
x2(n) E{[X(n) mX (n)]2}
[xmX
(n)]2
fX
(x,n)dx
E[X2(n)]mX2 (n)
自相关函数 R X(i,j)E [X (i)X (j)]
协方差函数 K X ( i ,Y j ) E { X ( i ) [ m X ( i )Y ( ] j ) [ m Y ( j )]}
E[X2(t)]RX(0)5
X 2RX(0)mX 2 5.
12
随机信号处理
3、 相关系数及相关时间
相关系数： rX()CX(X 2)RX()X 2mX 2
也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关时间： 0 0rX()d
rX(0) 00
相关时间示意图
13
随机信号处理
E[AB]cost1sint2 E[AB]sint1cost2
2cost1cost2 2sint1sint2
2 cos(t1 t2)
2cos
t1 t2.
故X(t)是广义平稳的。 7
随机信号处理
由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论(一、二阶矩) 的范围内讨论问题，因此划分出广义平稳随机过程来。而相关 理论之所以重要，是因为在实际中，一、二阶矩能给出有关平 稳随机过程平均功率的几个主要指标。另外，在电子系统中经 常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的 任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随 机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑 广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。
.
27
随机信号处理 3、平稳随机序列
广义平稳的定义 均值和方差为常数，
R X(im ,i)R X(m )
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第三章 随机信号通过线性系统分析
《随机信号分析》教学组
主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 连续时间系统的线性系统分析 3.3 离散时间系统的线性系统分析 3.4 3dB带宽和等效噪声带宽
3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
RY ( )
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h(u)h(v)E[X(t
0
0
0
0
1
u)X(t2 v)]dudv
0
h(u)h(v) RX (t1 u, t2 v)dudv
RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
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结论：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统 输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
RYX (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t1 )
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
：
对于随机信号 X(t ) 任意一个样本函数均成立。 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数， 这族样本函数构成随机过程
Y(t ) h( ) X (t )d h(t ) X (t )
0
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
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3.1 线性系统的基本理论
3.1.2 连续时不变线性系统的分析方法
1. 时域分析
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
2．频域分析
y( ) H ()X()
证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统 输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
RYX (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t1 )
0
RXY (t1 , t2 ) E[X(t1 )Y(t2 )] E[X(t1 ) h(u)X(t2 u)du]
RY (t1 , t2 ) EY t1 Y t2
0Fra bibliotek hu hvR t
0 X
1
u, t2 v dudv
hv R t u , t v dv du hu X 1 2 0 0 hu RXY t1 u, t2 du
连续与离散系统：
• 连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号； • 离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。 线性时不变系统： （1）线性性： （2）时不变：
L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )] y(t t0 ) L[ x(t t0 )]
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主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 连续时间系统的线性系统分析 3.3 离散时间系统的线性系统分析 3.4 3dB带宽和等效噪声带宽
3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
RY (t1 , t2 ) E[Y(t1 )Y(t2 )] h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 )
结论：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 在给定系统的条件下，输出信号的某个统 计特性只取决于输入信号的相应的统计特 性。 • 根据输入随机信号的均值、相关函数和功 率谱密度，再加上已知线性系统单位冲激 响应或传递函数，就可以求出输出随机信 号相应的均值、相关函数和功率谱密度 • 分析方法：卷积积分法；频域法。
若输入信号x(t)时移时间C, 输出y(t)也只引起一个相同 的时移，即 y(t-C) = L[x(t-C)]
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若任意常数a, b, 输入信号 x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
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3.1 线性系统的基本理论
• 什么是线性系统？
x(t) h(t) y(t) = x(t)*h(t)
连续时不变线性系统
若任意常数a, b, 输入信号x1(t), x2(t), 有 L[ax1(t)+bx2(t)] = aL[x1(t)] + bL[x2(t)]
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
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主要内容
3.1 线性系统基本理论 3.2 连续时间系统的线性系统分析 3.3 离散时间系统的线性系统分析 3.4 3dB带宽和等效噪声带宽
3.5 希尔伯特变换和解析过程 3.6 窄带随机过程表示
3.7 窄带随机过程包络和相位的特性 3.8 正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性
RY (t1 , t2 ) E[Y(t1 )Y(t2 )] h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 ) RY (t1 , t2 ) E[Y (t1 )Y (t2 )]
E[ h(u)X(t1 u)du h(v)X(t2 v)dv]
0
h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 ) RY (t1 , t2 ) h(t1 ) RXY (t1, t2 ) h(t2 ) RYX (t1, t2 )
0
0
h(u)h(v) RX ( u v)dudv RX ( ) h( ) h( )
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
RY (t1 , t2 ) E[Y(t1 )Y(t2 )] h(t1 ) h(t2 ) RX (t1, t2 )
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
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ht1 * ht2 * RX t1 , t2
3.1 线性系统的基本理论
3.1.3 离散时不变线性系统的分析方法
1. 时域分析
y(n)
2．频域分析
k
x(n k )h(k ) x(k )h(n k ) x(n) h(n)
k
x(e )
y(e ) x(e ) H (e )
3. 物理可实现的稳定系统
x( ) x(t )e jt dt
H ( ) h(t )e jt dt
Y ( s) H ( s) X ( s) s j
3. 物理可实现的稳定系统
如果当 t 0 时，
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h(t ) 0 ，那么该系统称为因果系统。
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所有实际的物理可实现系统都是因果的。 《随机信号分析》教学组
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3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输 出信号的统计特性
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• 下面的分析限定系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变 的、线性的和物理可实现的稳定系统。
0
hu R t u , t v du dv hv X 1 2 0 0 ht2 * RYX t1 , t2
ht1 * RXY t1 , t2
hv RYX t1 , t2 v dv
0
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0
一个确定性函数
系统的单位冲激响应 一个确定性函数
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
j j j
j
j
n
x(n)e jn
jn
y( z) x( z) H ( z)
H (e )
n
h ( n )e