高考数学真题分类汇编专题 概率和统计理

专题十二 概率和统计
1.【2015高考重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（o C ）数据的茎叶图如下：
0891258
200338312
则这组数据的中位数是（ ）
A 、19
B 、20
C 、21.5
D 、23 【答案】B .
【博雅解析】从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B ..
【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念.
【名师点晴】本题通过考查茎叶图的知识，考查样本数据的数字特征，考查学生的数据处理能力. 2.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．1 B. 2111 C. 2110 D. 21
5
【答案】B ．
【博雅解析】从袋中任取2个球共有215105C =种，其中恰好1个白球1个红球共有11
10550C C =种，所以从
袋中任取的2个球恰好1个白球1个红球的概率为5010
=10521
，故选B ． 【考点定位】排列组合，古典概率．
【名师点睛】本题主要考查排列组合，古典概率的计算和转化与化归思想应用、运算求解能力，解答此题关键在于理解所取2球恰好1个白球1个红球即是分步在白球和红球各取1个球的组合，属于容易题． 3.【2015高考新课标1，理4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。

已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
【答案】A
【博雅解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为2
2330.60.40.6C ⨯+=0.648，故选A.
【考点定位】本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式
【名师点睛】解答本题时，先想到所求事件是恰好中3次与恰好中2次两个互斥事件的和，而这两个事件又是实验3次恰好分别发生3次和2次的独立重复试验，本题很好考查了学生对独立重复试验和互斥事件的理解和公式的记忆与灵活运用，是基础题，正确分析概率类型、灵活运用概率公式是解本题的关键.
4.【2015高考陕西，理2】某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为 （ ）
A ．167
B ．137
C ．123
D ．93
【答案】B
【博雅解析】该校女老师的人数是()11070%150160%137⨯+⨯-=，故选B ． 【考点定位】扇形图．
【名师点晴】本题主要考查的是扇形图，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“女教师”，否则很容易出现错误．扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形图可以很清晰地表示各部分数量同总数之间的关系．
5.【2015高考湖北，理2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1365石 【答案】B
【博雅解析】依题意，这批米内夹谷约为1691534254
28
=⨯石，选B. 【考点定位】用样本估计总体.
【名师点睛】《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.本题“米谷粒分”是我们统计中的用样本估计总体问题. 6.【2015高考安徽，理6】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，
1021x -的标准 差为（ ）
（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C
【博雅解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x DX 8DX =，即方差64DX =，而数据
121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差22(21)2264D X DX -==⨯，2
26416⨯=.
故选C.
【考点定位】1.样本的方差与标准差的应用.
【名师点睛】已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直
接用X 的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX 、标准差
DX ，则数
Y aX b =+的均值aEX b +、方差2a DX 、标准差a DX .
7.【2015高考湖北，理4】设211(,)X N μσ，2
22(,)Y N μσ，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列
结论中正确的是（ ）
A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥
B ．21()()P X P X σσ≤≤≤
C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤
D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥
【答案】C
【考点定位】正态分布密度曲线. 【名师点睛】正态曲线的性质
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交． ②曲线是单峰的，它关于直线μ=x 对称． ③曲线在μ=x 处达到峰值
π
σ21
.
④曲线与x 轴之间的面积为1.
⑤当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图甲所示
⑥μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中．如图乙所示．
8.【2015高考福建，理4】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
15万元家庭年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元 【答案】B
【博雅解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++=
=（万元）， 6.27.58.08.59.8
8
5
y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为ˆ0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．
【考点定位】线性回归方程．
【名师点睛】本题考查线性回归方程，要正确利用平均数公式计算和理解线性回归方程的意义，属于基础题，要注意计算的准确性．
9.【2015高考湖北，理7】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1
2
x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤
”的概率，3p 为事件“1
2
xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p << D ．321p p p <<
【答案】B
【博雅解析】因为,[0,1]x y ∈，对事件“1
2
x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ， 对事件“1
||2
x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ， 对为事件“1
2
xy ≤
”，如图（3）阴影部分3S ， 由图知，阴影部分的面积从下到大依次是132S S S <<，正方形的面积为111=⨯， 根据几何概型公式可得231p p p <<.
（1） （2） （3） 【考点定位】几何概型.
【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
10.【2015高考山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()
20,3N ，从中随机取
一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布()
2,N μσ ，则()68.26%P μσξμσ-<<+= ，
()2295.44%P μσξμσ-<<+=。

）
（A ）4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D ）31.74% 【答案】B
【考点定位】正态分布的概念与正态密度曲线的性质.
【名师点睛】本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.
11.【2015高考新课标2，理3】根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

以下结论不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D
【博雅解析】由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关，故选D ．
【考点定位】正、负相关．
【名师点睛】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正负相关的概念是解题关键，属于基础题．
12【2015高考湖南，理7】在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ） A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附：若2(,)X
N μσ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P ，9544.0)22(=+≤<-σμσμX P
【答案】C. 【博雅解析】
试题分析：根据正态分布的性质，34.0)11(2
1
)10(≈<<-=<<x P x P ，故选C. 【考点定位】1.正态分布；2.几何概型.
【名师点睛】本题主要考查正态分布与几何概型等知识点，属于容易题，结合参考材料中给出的数据，结 合正态分布曲线的对称性，再利用几何概型即可求解，在复习过程中，亦应关注正态分布等相对冷门的知 识点的基本概念.
【2015高考湖南，理12】在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示，若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]
上的运动员人数是 .
【答案】4. 【博雅解析】
试题分析：由茎叶图可知，在区间]151,139[的人数为20，再由系统抽样的性质可知人数为435
7
20=⨯人. 【考点定位】1.系统抽样；2.茎叶图.
【名师点睛】本题主要考查了系统抽样与茎叶图的概念，属于容易题，高考对统计相关知识的考查，重点 在于其相关的基本概念，如中位数，方差，极差，茎叶图，回归直线等，要求考生在复习时注意对这些方 面的理解与记忆.
13.【2015江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________. 【答案】6 【博雅解析】465876
66
x +++++=
=
【考点定位】平均数
【名师点晴】样本数据的算术平均数，即12n 1
(x +x +...+x )x n
=．解答此类问题关键为概念清晰，类似概念有样本方差2
222121
[()()...()]n s x x x x x x n
=
-+-++-，标准差222121
[()()...()]n s x x x x x x n
=
-+-++-.其中x n 是样本数据的第n 项，n 是样本容量，x 是平均数．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
14.【2015高考广东，理13】已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()30E X =，()20D X =，则
p =.
【答案】
13
． 【博雅解析】依题可得()30E X np ==且()()120D X np p =-=，解得13p =，故应填入13
． 【考点定位】二项分布的均值和方差应用．
【名师点睛】本题主要考查二项分布的均值和方差应用及运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于理解熟记二项分布的均值和方差公式()E X np =，()()1D X np p =-并运用其解答实际问题．
15.【2015高考福建，理13】如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2
f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．
【答案】
512
【博雅解析】由已知得阴影部分面积为2
21
75
4433
x dx -
=-
=⎰
．所以此点取自阴影部分的概率等于5
5
3412
=．
【考点定位】几何概型．
【名师点睛】本题考查几何概型，当实验结果由等可能的无限多个结果组成时，利用古典概型求概率显然是不可能的，可以将所求概率转化为长度的比值（一个变量）、面积的比值（两个变量）、体积的比值（三个变量或根据实际意义）来求，属于中档题．
16.【2015江苏高考，5】袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】5.6
【博雅解析】从4只球中一次随机摸出2只，共有6种摸法，其中两只球颜色相同的只有1种，不同的共有5种，所以其概率为5
.6
【考点定位】古典概型概率
【名师点晴】求解互斥事件、对立事件的概率问题时，一要先利用条件判断所给的事件是互斥事件，还是对立事件；二要将所求事件的概率转化为互斥事件、对立事件的概率；三要准确利用互斥事件、对立事件的概率公式去计算所求事件的概率．
17.【2015高考福建，理16】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.
(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(Ⅰ)
12；(Ⅱ)分布列见博雅解析，期望为52
． 【博雅解析】（Ⅰ）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则5431
(A)
=6542
P
（Ⅱ）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3 又1
511
542
(X=1)
,(X=2),(X=3)1=.6656653
P P P
所以X 的分布列为
所以5
2
)(=
X E ． 【考点定位】1、古典概型；2、离散型随机变量的分布列和期望．
【名师点睛】本题考查古典概型和随机变量的期望，第一问，将事件转化为所选的三个密码都不是该银行
卡密码，共有35A 种，而基本事件总数为3
6A ，代入古典概型概率计算公式；第二问，写出离散型随机变量
所有可能取值，并求取相应值的概率，写成分布列求期望即可．确定离散型取值时，要科学兼顾其实际意义，做到不重不漏，计算出概率后要注意检验概率和是否为1，以便及时矫正。

19.【2015高考山东，理19】若n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分.
（I ）写出所有个位数字是5的“三位递增数” ；
（II ）若甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX . 【答案】（I ）有：125，135，145，235，245，345； （II ）X 的分布列为
X 0
-1
1
P
2
3 11
4 1142
421
EX =
【博雅解析】
试题分析：（I ）明确“三位递增数”的含义，写出所有的三位符合条件的“三位递增数”；（II ）
试题博雅解析：明确随机变量的所有可能取值及取每一个值的含义，结合组合的知识，利用古典概型求出X 的分布列和数学期望EX .
解：（I ）个位数是5的“三位递增数”有：125，135，145，235，245，345；
（II ）由题意知，全部“三位递增烽”的个数为3984C =
随机变量X 的取值为：0，-1，1，因此
()3839203C P X C ===()2
4391114C P X C =-== ,()1211
1114342
P X ==--=
, 所以X 的分布列为
因此21114
0(1)13144221
EX =⨯+-⨯+⨯=
【考点定位】1、新定义；2、古典概型；3、离散型随机变量的分布列与数学期望；4、组合的应用. 【名师点睛】本题在一个新概念的背景下，考查了学生对组合、概率、离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生对新知识的理解与应用能力，以及利用所学知识解决遇到了的问题的能力，解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出数学模型.
20.【2015高考天津，理16】（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；
(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】(I)
6
35
; (II) 随机变量X 的分布列为
()52
E X =
【博雅解析】(I)由已知，有
22222333486
()35
C C C C P A C +==
所以事件A 发生的概率为
635
.
(II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4
()45348
(1,2,3,4)k k C C P X k k C -=== 所以随机变量X 的分布列为
所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142
E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 【考点定位】古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.
【名师点睛】本题主要考查古典概型、互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望.把实际生活中的乒乓球比赛与数学中的古典概型相结合，体现了数学的实际应用价值与研究价值，也体现了数学中概率、期望对实际生活中的一些指导作用.
21.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3
名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队
（1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.
【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为99100
p =
. （2）X 的分布列为：
X 的期望为()2E X =.
【博雅解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.
参赛学生全从B 中抽取（等价于A 中没有学生入选代表队）的概率为333433661100
C C C C =. 因此，A 中学至少1名学生入选的概率为1991100100
-
=. （2）根据题意，X 的可能取值为1，2，3.
1333461(1)5C C P X C ===，
2233463(2)5
C C P X C ===， 3133461(3)5
C C P X C ===， 所以X 的分布列为：
因此，X 的期望为131()1232555
E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点定位】本题考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.
【名师点睛】应用问题一定要注意弄清题意，找出题中的关键字词.在本题中，就要分清楚集训队与代表队的区别.求概率时，如果直接求比较复杂，就应该先求其对立事件的概率.超几何分布和二项分布是中学中的两个重要概率分布，考生必须牢固掌握.本题的概率分布就是一个超几何分布问题.
程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.
23.【2015高考北京，理16】A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A 组：10，11，12，13，14，15，16
B 组：12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间互相独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．
(Ⅰ) 求甲的康复时间不少于14天的概率；
(Ⅱ) 如果25a =，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率； (Ⅲ) 当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
【答案】（1）37，（2）1049
，（3）11a =或18 【博雅解析】
试题分析：针对甲有7种情况，康复时间不少于14天有3种情况，概率为37；如果25a =，甲、乙随机各取一人有49种情况，用列举法列出甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有10种，概率为
1049，
由于A 组数据为10，11，12，13，14，15，16；B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，由于A ，B 两组病人康复时间的方差相等，即波动相同，所以11a =或18. 试题博雅解析：(Ⅰ)甲有7种取法，康复时间不少于14天的有3种取法，所以概率37
P =； (Ⅱ) 如果25a =，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙共有49种取法，甲的康复时间比乙的康复时间长的列举如下：（13，12），（14，12），（14，13），（15，12），（15，13），(15,14),（16，12）（16，13）,（16，15）,(16,14)有10种取法，所以概率1049P =. (Ⅲ)把B 组数据调整为a ，12，13，14，15，16，17，或12，13，14，15，16，17，a ，可见当11a =或18a =时，与A 组数据方差相等.(可利用方差公式加以证明，但本题不需要)
考点：1、古典概型；2、样本的方差
【名师点睛】本题考查古典概型和样本的方差，本题属于基础题，利用列举法准确列举事件的种数，求出概率.根据方差反应样本波动的大小，求出未知量.
24. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.
（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.
【答案】（1）10
7；（2）详见博雅解析. 【博雅解析】
试题分析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝ 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知
1A
与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，
再
利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ，分别求得00331464(0)()()55125P X C ===，11231448(1)()()55125P X C ===，22131412(2)()()55125P X C ===，3303141(3)()()55125
P X C ===，即可
知X 的概率分布及其期望.
试题博雅解析：（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝
1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝
，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，∵142()105P A ==，251()102P A ==，∴11212211()()()()525
P B P A A P A P A ===⨯=， 2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-
21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=，故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=；（2）顾
【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.
【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一 直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计 的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以 关注.。