隐函数及参数方程确定函数求导法则

1
=
c
o
s
y
•
y
/ x
y
/ x
1 cos
y
cos y 1 sin 2 y 1 x 2
y
/ x
1 1 x2
( y )
2
2
类 似 可 证 明 （ arccos x)/ 1 1 x2
(arv
tan
x)/
1
1 x2
(arc
cot
x)/
1 1 x2
例6. 求下列导数:
(1 )(x); (2 )(xx);
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 16
x y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x2)
2
4
即
3x4y830
例5. 求 yxsixn(x0)的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式 ln ysixn ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cx o ls x n sin x x
(x2)/+(y2)/=（R2）/
2x 2 y dy 0 dx
dy x dx y
例2 求由方程ysinx+lny=1所确定的隐
函数的导数 y
/ x
解 将方程的两边同时对 x 求导，得
yx/
sin
x
y
cos
x
1 y
yx/
0
整理得
yx/
y2 cos x
1 y sin x
例3. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
说明:
1) 对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
注意:
lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
例7 指数函数 yax(a0,且 a1)的 导 数
yxsix(n co xlsn x six)n x
例6 函数求 y4 x(x1) 的导数 (x1)(x3)
解 将等式两边取对数得
ln y 1[ln xln(x1)ln(x2)ln(x3)] 4
两边对x求导得
1 y
yx/
1 4
(1 x
1 x 1
x
1 2
1) x3
所以
yx/
1 4
y(1 x
1 x 1
dt
dt
dy
dy dx
dt dx
b cos t a sin t
b cot t a
dt
例11 求曲线
x y
2et e t
在点（2，1）处的切线方程
和法线方程
解 对应于点（2，1）的参数t=0,所以
k yx/
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
例1 求 由 方 程 x 2 y 2 R 2 所 确 定 的 隐 函 数 的 导 数
解 将方程的两边同时对 x 求导，这里 y 是 x 的函 数，y2 是 x 的复合函数，根据复合函数求导法则得
x
1 2
1) x3
1 x(x1) 1 1 1 1
4
( )
4 (x2)(x3) x x1 x2 x3
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
yx xy x3
例10
求由参数方程 x a c o s t
y
b
sin
t
确定的函数的导数
解
因为 dx a sin t, dy b cot t
或 dy dx
1 dx
dy
即反函数的导数等于其原函数导数的倒数。
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]20,则
(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
两边对 x 求导
y ln a a b y bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x4
解:
(1)
(x)(elnx)elnx (lnx) x
x
x1
(2) (xx)(exlnx)exlnx(xlnx) xx (lnx1)
反函数的求导法则
设单调函数 x=(y) 在某区间内可导，并且 / ( y) 0 ， 则它的反函数 y=f(x)在对应区间内也可导，并且
f / (x) 1
/ (y)
解 把 y=ax 改写成x loga y
(x)/ (loga y)/
1
1 y ln a
yx/
y
/ x
y ln a
ax
ln a
(a x )/ a x ln a
当a e时，(ex )/ ex
例8 证明(arcsinx)/
1 1x2
证 明 设 y=arcsinx， 则 x=siny， 两 边 对 x求 导 得
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
ddx(y52yx3x7)0
得
5 y 4 d y 2 d y 121x6 0
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dy dx
x
0
1 2
例4.
求椭圆
x2 16
y2 9
1
在点
(2,23
3)处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
第三节 隐函数及参数方程确定的函数 的求导法则
• 隐函数的求导法则 • 参数方程确定的函数的求导法则 • 初等函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 . 例如, xy310可确定显函数 y31x