CH7 图的基本概念 4 最短路径 关键路径

练习：求下图中u到v的所有最短路径
关键路径




源自文库
PERT图 Program/Project Evaluation and Review Technique 后继元集 前驱元集 最早完成时间 最晚完成时间 缓冲时间 关键路径

例子7.4 练习7.23
作业

P175 7.22 7.23
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
有向图的可达矩阵
设有向图G=<V,E>,V={v1,v2,· ,vn}, · ·
则称(pij)n×n为G的可达矩阵，记为P(G)。其中， pij = 1 vi可达vj或i=j 0 否则
0 0 0 0
有向图的邻接矩阵
1 0 0 0
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
该矩阵中的数为点到点间长度为1的通路和回路
有向图中长度为n(n>1)的通路和回路数的求法
定理: 设A为有向图D的邻接矩阵， 则An(n≧1)中元素a(n)ij为vi到vj的长度为n的通 路数，ija(n)ij 为D中长度等于n的通路总数。
Q&A
23
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
a(3)11=1， v1到v1长度为3的通路为1条。 a(3)12=2， v1到v2长度为3的通路为2条。 a(3)13=4， v1到v3长度为3的通路为4条。
ija(3)ij =13，图中长度为3的通路的总数为13。
设Br=A+A2+···+Ar(r≧1)， 则Br中元素b(r)ij为D中vi到vj的长度小于等 于r的通路条数，ij b(r)ij为D中长度小于 等于r的通路总数，其中i b(r)ii 为D中长 度小于等于r的回路总数。 上例中：
离散数学
CH7 图的基本概念 4 最短路径及关键路径
今日内容

图的矩阵表示
-有向图中长度为n的通路和回路数的求法 -图的可达矩阵

最短路径 关键路径
内容回顾

图的关联矩阵 图的邻接矩阵
回顾：无向图的关联矩阵
回顾：有向图的关联矩阵
无向图的邻接矩阵
0 2 2 0 1 1 0 0
1 1 0 0
{
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
练习：7.18 如图，求长度为4的通路总 数
A2=AXA=
A3=A2XA=
A4=A3XA=
长度为4的路总数：15
7.4 最短路径和关键路径

最短路径
什么是带权图 什么是两点之间的最短路径 求最短路径的标号法 阅读课本及例子

例7.3
1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 1
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
2 0 0 0
4 1 0 1
3 0 1 0
3 0 0 0 1 0 0 0
6 0 0 0 2 0 0 0
8 2 1 2 3 0 1 0
4 1 2 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 1 1 0 1
2 0 0 0
1 1 0 1
0 0 1 0
a(2)11=1， v1到v1长度
为2的通路为1条。 a(2)12=2， v1到v2长度 为2的通路为2条。 a(2)13=3， v1到v3长度 为2的通路为2条。
1 0 0 0