椭圆中的最值问题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
P A
o Qx
课堂小结：
解析几何中的最值与取值范围问题涉及的 知识面较广，但主要运用数形结合、函数两 大数学思想，具体方法有以下几种：
1、利用数形结合、几何意义，尤其是以 圆与椭圆的性质求最值与取值范围。
2、利用函数，尤其是二次函数求最值与 取值范围。
3、利用不等式，尤其是均值不等式求最 值与取值范围。
与椭圆有关的最值问题 ——常见解决方法
回想下 :
若P
是椭圆上
x2 a2
+
y2 b2
=
1的点,F1,F2是椭圆的焦点,
则 PF2 max
, PF2 min
。
则PO max
, PO m in
函数思想
-6
-4
。
4
y3
2 1
-2
o
-1
-2
-3
-4
2
F2
x4
例1
若
AB
是过椭圆
x2 25
y2 16
1的中心的弦，F1 是左
焦点，则 AF1B 的面积最大值为多少？
【练习】以坐标轴为对称轴，坐标原点 为中心的椭圆上一点P和两个焦点为顶 点的三角形的最大面积为1，求此椭圆 长轴的长的最小值．
例2
求定点A (a,0)到椭圆 x2 + y2 = 1上一 2
点B之间的最短距离.
【方法小结1】 求一点与椭圆上一点的距离最值问题： 常用两点距离公式表示，消去x或y，转化成 二次函数求最值问题。注意自变量取值范围。
求 PQ 的最大值。4
y
P
点p在圆A上运动时
A
总有 PQ PA AQ
AQ 1 2
o
x
Q
∴只需求 AQ 的最大值
规ຫໍສະໝຸດ Baidu方法：
1、P，Q均为动点，可先借助图形，利 用圆的性质：平面上点到圆上最大最小值 过圆心。把其中一点看作定点，使其一定 一动，把问题转移到熟悉的情境中来。
2、利用三角形中两边之和大于第三边， 逐个击破难点。
动点，求 MF2 MB 的最大值和最小值
y
分析：MF1 MF2 2a
M
M F2 + M B 2a MF1 MB
BMmin
2a ( MB
2a F1B
MF1
)
Mmax
F1
o
x
同理 MF2 MB 2a F1B ∴最大值=10+2 2
∴最小值=10-2 2
时,所作椭圆的长轴最短?并求出此时的椭圆方程。
简析:
F2’
y
M
长轴长为 MF1 + MF2
Mmin
即在已知直线上找一点使 其到两定点距离和最小，
F1 o F2
x
应用对称知识便可求得。M (- 5,4)
例5、已知：B
(2,2)是椭圆
x2
25
y2
9
1
内一
点，F1 , F2是两焦点，M是椭圆上的一个
4、利用判别式求最值与取值范围。
例3、椭圆上一点到直线的最值问题：
求椭圆 x2 y2 1上的点到直线 x y 6 0 3
的距离的最大值，最小 值。
【方法小结24 】
3
常转化为与已知直线平行的直线m与椭圆相切问 题，利用判别2 式求出直线m，再利用平行线间距 离公式求出最1 值。
-2 -1
2
4
6
-2
-3
-4
例以椭4：圆如x2图 ,yM2 是 1直的线焦点l :为x-焦y+点9=作0上椭的圆动,问点M,在过何M且处 12 3
方法总结3： 1、椭圆上点到焦点与一定点距离之和（差）的 最值问题往往可用定义转化到另一焦点距离之 差（和）进而求解。 2、本题利用了三角形三边关系，求最值的方法。
AB - AC BC
y
Mmax
M
o
F1
PMmin
x
例6
如运图动，，已点Q知在点椭P在圆圆xA2 :xy22+(1y上-2运)2=动，14 试上
P A
o Qx
课堂小结：
解析几何中的最值与取值范围问题涉及的 知识面较广，但主要运用数形结合、函数两 大数学思想，具体方法有以下几种：
1、利用数形结合、几何意义，尤其是以 圆与椭圆的性质求最值与取值范围。
2、利用函数，尤其是二次函数求最值与 取值范围。
3、利用不等式，尤其是均值不等式求最 值与取值范围。
与椭圆有关的最值问题 ——常见解决方法
回想下 :
若P
是椭圆上
x2 a2
+
y2 b2
=
1的点,F1,F2是椭圆的焦点,
则 PF2 max
, PF2 min
。
则PO max
, PO m in
函数思想
-6
-4
。
4
y3
2 1
-2
o
-1
-2
-3
-4
2
F2
x4
例1
若
AB
是过椭圆
x2 25
y2 16
1的中心的弦，F1 是左
焦点，则 AF1B 的面积最大值为多少？
【练习】以坐标轴为对称轴，坐标原点 为中心的椭圆上一点P和两个焦点为顶 点的三角形的最大面积为1，求此椭圆 长轴的长的最小值．
例2
求定点A (a,0)到椭圆 x2 + y2 = 1上一 2
点B之间的最短距离.
【方法小结1】 求一点与椭圆上一点的距离最值问题： 常用两点距离公式表示，消去x或y，转化成 二次函数求最值问题。注意自变量取值范围。
求 PQ 的最大值。4
y
P
点p在圆A上运动时
A
总有 PQ PA AQ
AQ 1 2
o
x
Q
∴只需求 AQ 的最大值
规ຫໍສະໝຸດ Baidu方法：
1、P，Q均为动点，可先借助图形，利 用圆的性质：平面上点到圆上最大最小值 过圆心。把其中一点看作定点，使其一定 一动，把问题转移到熟悉的情境中来。
2、利用三角形中两边之和大于第三边， 逐个击破难点。
动点，求 MF2 MB 的最大值和最小值
y
分析：MF1 MF2 2a
M
M F2 + M B 2a MF1 MB
BMmin
2a ( MB
2a F1B
MF1
)
Mmax
F1
o
x
同理 MF2 MB 2a F1B ∴最大值=10+2 2
∴最小值=10-2 2
时,所作椭圆的长轴最短?并求出此时的椭圆方程。
简析:
F2’
y
M
长轴长为 MF1 + MF2
Mmin
即在已知直线上找一点使 其到两定点距离和最小，
F1 o F2
x
应用对称知识便可求得。M (- 5,4)
例5、已知：B
(2,2)是椭圆
x2
25
y2
9
1
内一
点，F1 , F2是两焦点，M是椭圆上的一个
4、利用判别式求最值与取值范围。
例3、椭圆上一点到直线的最值问题：
求椭圆 x2 y2 1上的点到直线 x y 6 0 3
的距离的最大值，最小 值。
【方法小结24 】
3
常转化为与已知直线平行的直线m与椭圆相切问 题，利用判别2 式求出直线m，再利用平行线间距 离公式求出最1 值。
-2 -1
2
4
6
-2
-3
-4
例以椭4：圆如x2图 ,yM2 是 1直的线焦点l :为x-焦y+点9=作0上椭的圆动,问点M,在过何M且处 12 3
方法总结3： 1、椭圆上点到焦点与一定点距离之和（差）的 最值问题往往可用定义转化到另一焦点距离之 差（和）进而求解。 2、本题利用了三角形三边关系，求最值的方法。
AB - AC BC
y
Mmax
M
o
F1
PMmin
x
例6
如运图动，，已点Q知在点椭P在圆圆xA2 :xy22+(1y上-2运)2=动，14 试上