7.2不等式的解集 (2)

7.2不等式的解集

（重点）例3

例4

例1

例2

例5

例1

基础题型一检验不等式的解

【例1】（中）x= -1不是下列哪一个不等式的解？（）

A. 2x+1≤-3

B. 2x-1≥-3

C.-2x+1≥3

D.-2x-1≤3

分析：用代入法是检验,结合不等式的解意义进行判定.

解：A 把x=-1代入A、B、C、D四个选项中检验：把x=-1代入A,左边=2×（-1）+1=-1,而-1>-3,所以x= -1不是A的解.

方法⋅点拨：代入法是检验不等式的解的重要方法.只要把字母的值代入不等式的左右两边，如果符合不等号所表示的关系，就是不等式的解，否则就不是.特例法是说明不是不等式解集的主要方法.只要找一个不等式的解，它不在所给出的范围内，就可以说明这个解集

不是不等式的解集.

变试练习

1．方程2x+1=5的解是不等式x+1<4的解吗？

1. 分析：判断一个数是否为不等式的解，只要使不等式成立，这个数就是不等式的解；若不等式不成立，则不是不等式的解．

解：解方程2x+1=5，得x=2，把x=2代入不等式x+1<4，得2+1<4，成立，所以方程2x+1=5的解是不等式x+1<4的解.

基础题型二不等式解集的判别

【例2】（易）下列说法正确的是( )

A.x=3是不等式x＋1＞2的解集

B.不等式－4x＞8的解是x＜－2

C.不等式－6x＜18的解集为x＜－3

D.

1

2

x>是不等式2x－1＞0的解集

分析：因为x=3是不等式x＋1＞2的一个解，而不是不等式的解集，所以A错；因为x ＜－2是不等式－4x＞8的解集，而不是解，所以B错；取一个小于-3的数带入不等式，例如当x=-5时，不等式的左边是（-6）×（-5）=30＞18，所以C错；选项D正确.

答案：选D.

概念⋅点拨：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，它包含不等式的每一个解.

变试练习

2．下列说法中，正确的是 ( )

A．x=2是不等式3x>5的一个解 B.x=2是不等式3x>5的唯一解

C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2不是不等式3x>5的解

2. A 分析：将未知数的值代入不等式检验即可．

知识点3 不等式的解集表示方法（重点、难点）

基础题型三用数轴表示不等式的解集

【例3】（易）在数轴上表示下列不等式的解集:

(1)x>1; (2)x≥1; (3)x<-2.

分析:（1）x>1可以用数轴上表示1的点的右边部分表示,因为不包含1,所以在表示1的点上画一空心圆圈,如图7-2-1;（2）x ≥1可用数轴上表示1的点和它的右边部分来表示,并在表示1的点上画实心圆点,表示包含1,如图7-2-2；（3）x<-2可用数轴上表示-2的点的左边部分表示,如图7-2-3. 解：

技巧⋅点拨：不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线． 变试练习

3. （2011湛江中考）不等式的解集2≤x 在数轴上表示为（ ）

A B

C D

3.B 分析：选项A 表示x ≥2，选项C 表示x ＞2，选项D 表示x ＜2，只有选项B 表示2≤x .

③典型例题分类解读

类型一 用不等式表示数轴上的解集

【例4】（易）（2010邵阳中考）如图7-2-4，数轴上表示的关于x 的一元一次不等式的解集为（ ） A ．x ≤1

B ．x ≥1

C ．x <1

D ．x >1

图7-2-4

分析：从图看往右方向延伸，且1是空心小圆圈，说明是大于1． 答案：D

方法⋅点拨：把数轴上表示的解集用不等式表示出来，要注意：位置、方向、实心点或空心圈．

要点总结用不等式表示数轴上的解集和在数轴上表示不等式的解集正好相反，但道理是一样的. 变式练习

4．(2009武汉中考)不等式x ≥2的解集在数轴上表示为 ( )

-2 -1 0 1 2

（1）图7-2-1

-3 -2 -1 0

（3）图7-2-3

0 1 2 （2）图7-2-1

4. C 分析：x ≥2表示数轴上2及其右边的点，故选C ． 题型二 确定不等式解集中的特殊解

【例5】（中） 填空：

(1)写出不等式x<3的所有正整数解： ； (2)写出不等式x ≥-4的所有负整数解： ； (3)写出不等式x ≤2的所有非负整数解： ； (4)写出不等式x>-3的最小整数解： ．

分析：第(1)题，要求出小于3的正整数；第(2)题，要求出大于等于-4的负整数；第(3)题，要求出小于等于2的非负整数(包括正整数和0)；第(4)题，大于-3的整数有-2、-l 、0、1……其中最小的整数为-2．

答案: (1)1、2；(2)-1、-2、-3、-4； (3)0、1、2；(4)-2.

技巧 点拨：本题也可借助数轴确定符合条件的特殊点,从而确定符合条件的特殊解. 要点总结借助画数轴可以很容易得出正确答案. 变式练习

5. 不等式|x|＜

3

7

的整数解是 . 5. -1，0，1，2. 分析：根据绝对值的意义，分情况讨论：1、当x ≥0时，x ＜3

7

，因为x 是整数，所以x=0，1，2．2、当x<0时，-x ＜

3

7

，因为x 是整数，所以x=-2，-1.．所以不等式|x |＜

3

7

的整数解是-2，-1，0，1，2. ④拓展创新能力提升

类型三 根据不等式的解确定字母的取值范围

【例6】（难）已知不等式x ≤a 的正整数解为l ，2，3，求a 的取值范围．

分析：由于本题的正整数解为1、2、3，可以对本题解集可能通过的边界所在的范围进行讨论，从而求得a 的取值范围．

解：因为x<3的正整数解为l ，2； x ≤3的正整数解为l ，2，3； x ≤3.1的正整数解为1，2，3； x<4的正整数解为l ，2，3； x ≤4的正整数解为1，2，3，4； 所以3≤a<4．

即a 的取值范围是3≤a<4．

技巧·点拨：（1）借助画数轴可以很容易得出正确答案，如图7-2-5：表示数a 的点应在表示3和4的两点之间(a 可以等于3，但不能等于4)．

图7-2-5