专题27推理与证明(原卷版)
最新精选2019年高中数学单元测试试题-推理与证明专题模拟考核题库(含答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1． 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4第三次第二次第一次开始3．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的， 称为杨辉三角形， 根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是-------------------------------（ ） (A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 84．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则a b a b -=⇒=”；②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则a b a b ->⇒>”．其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．有下列各式：11111131111 ,1 1 ,1... ,1 (222323722315)>++>++++>++++>，……则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为： ．6．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a ⊥==，则ABC ∆的外接圆半径1 12 1 13 3 1 14 a 4 1 15 10 10 5 1r =，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =____________．7．已知命题：△ABC 的顶点A(−P ，0)，C(P ，0)，顶点B 在椭圆x 2m 2 + y 2n 2 = 1(m >n >0，P = m 2−n 2)上，椭圆的离心率为e ，则sinA+sinC sinB = 1e 。
中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)
中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题【方法归纳】据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+ 1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；②若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；②若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a2的取值范围．17．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y 轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+ 6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+ 4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；②当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；②若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+ m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D 两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n< 1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值（用含a；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ） （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - （2010山东文10）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖_________________块.3．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 ▲ .4．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >， 则m m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .5．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…，叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为 ．6．若ABC 的三边长分别为a, b, c ，其内切圆半径为r ，则S △ABC =12 （a+b+c ）·r ，类比这一结论到空间，写出三棱锥中的一个正确结论为7．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记()g x 为)(x f 的导函数，则)(x g -与()g x 的关系是 ▲ ．8．已知下列结论： ① 1x 、2x 都是正数⇔⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，② 1x 、2x 、3x 都是正数⇔⎪⎩⎪⎨⎧>>++>++000321133221321x x x x x x x x x x x x ，则由①②猜想：1x 、2x 、3x 、4x 都是正数⇔9．下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第1+n 个不等式为 ▲ （*n N ∈） 10．用反证法证明结论“a ，b ，c 至少有一个是正数”时，应假设 ▲ ．11．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则其四维测度W ＝ ▲ .12．观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n ≥3，n ∈N *时，= （﹣）×．（3分）13．如图，将全体奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第(4)n n ≥行的从左到右的第4个数是 ▲ ．14．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时应假设 ▲ . 15．整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第61个数对是 ▲ ．04321>+++x x x x434232413121>+++++x x x x x x x x x x x x12340.x x x x >▲13 5 7 9 11 13 15 17 19 ………………16．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nn y x +能被y x +整除”的第二步是__________.17．若三角形内切圆半径为ｒ，三边长分别为ａ，ｂ，ｃ,则三角形面积Ｓ＝21ｒ（ａ＋ｂ＋ｃ），根据类比推理方法，若一个四面体的内切球半径为Ｒ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则四面体的体积Ｖ＝__________三、解答题18．（本小题满分10分）如图，圆周上有n 个固定点，分别为A 1，A 2，…，A n （n *∈N ，n ≥2），在每一个点上分别标上1，2，3中的某一个数字，但相邻的两个数字不相同，记所有的标法总数为a n ． （1）写出a 2，a 3，a 4的值；（2）写出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．已知n x x f )2()(+=, 其中*N n ∈．（1）若展开式中含3x 项的系数为14, 求n 的值；（2）当3=x 时, 求证：)(x f*)s N ∈的形式. （本小题满分15分）20．试用两种方法证明： （1）；（2）．（15分）21．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．A A证明：（1）当2n =时，有()2221212122a a a a a a +=++，命题成立． ………2分 （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即()22221212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅+ +⋅⋅⋅]1k k a a -+成立， ………4分 那么，当1n k =+时，有()2121k k a a a a +++⋅⋅⋅++ ()()221212112k k k k a a a a a a a a ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22212k a a a =++⋅⋅⋅+()1232k a a a a ⎡+++⋅⋅⋅+⎣()234k a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1k k a a -+ (12a +2a ++⋅⋅⋅)211k k k a a a ++++．2222121k k a a a a +=++⋅⋅⋅++()12312k k a a a a a +⎡+++⋅⋅⋅++⎣+(234a a a ++⋅⋅⋅k a +)1k a ++ +⋅⋅⋅ ]1k k a a ++．所以当1n k =+时，命题也成立． ………8分根据（1）和（2），可知结论对任意的n ∈*N 且2n ≥都成立． ………10分22．在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k n ka aa a ++≤对任意n *∈N 均成立． 本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n 项和公式、数列求和、不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．（Ⅰ）解法一：22222(2)22a λλλλ=++-=+，2232333(2)(2)222a λλλλλ=+++-=+， 3343444(22)(2)232a λλλλλ=+++-=+．由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)2n nn a n λ=-+．以下用数学归纳法证明．（1）当1n =时，12a =，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即(1)2k kk a k λ=-+，那么111(2)2k k k a a λλλ++=++-11(1)222k k k k kk λλλλλ++=-+++-11[(1)1]2k k k λ++=+-+．这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n nn a n λ=-+对任何n *∈N 都成立．解法二：由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*+=++-∈N ，0λ>，可得111221n nn nn n a a λλλλ+++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2nn n a λλ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n λ=-+．（Ⅱ）23．已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，n S 是它的前n 项和.求证：131n n S n S n++≤.(江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试) 24．观察下面运算结果：22393941641624,24,3,3,441122223333+=⨯=+=⨯=+=⨯=，，525525554444+=⨯=，，…，根据这些运算结果，归纳出一个关于正整数n 的等式，这个等式为________________25．已知,m n 是正数，证明：33m n n m+≥22m n +．26． 已知各项均为整数的等比数列{}n a ，公比q>1，且满足a 2a 4=64，a 3+2是a 2,a 4的等差中项。
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2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1． [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+< (n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈ (C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题2．观察下表 ：....... (2711978531)1=++=+= 你可以猜出的结论是________3． 观察下列不等式：121⋅≥2111⋅，⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭⎫⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第n 个不等式为 ▲ ．（*n N ∈）4．有n 名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
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2019年高中数学单元测试试题推理与证明专题（含答案）学校：__________第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知2()(1),(1)1()2f xf x ff x+==+*x N∈（），猜想(f x）的表达式为A.4()22xf x=+B.2()1f xx=+C.1()1f xx=+D.2()21f xx=+2．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是-------------------------------（）(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11 2 1 1 3 3 1 1 4 a 4 11 5 10 10 5 13．在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 .4． 对于函数)0()(2>=x x x f 图象上任意两点),(2a a A ,),(2b b B ，直线段AB 必在曲线段AB的上方，则由图象的特征可得不等式22222a b a b ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.请分析x y lg =的图象特征，类比上述不等式可以得到 .5．已知各项为正数的等比数列}{n b ，若m b a =，n b b =，)(n m >，则m m n b +=，类比上述性质，得出在等差数列{}n a 中的相关性质，若s a m =，t a n =，)(n m >，则 .6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为7．若点O 在三角形ABC 内,则有结论S OBC ∆·OA + S OAC ∆·OB +S OAB ∆·OC = 0,把命题类比推广到空间,若点O 在四面体ABCD 内,则有结论: .8．有名同学在玩一个哈哈镜游戏,这些同学的编号依次为:1,2,…n,在游戏中,除规定第k 位同学看到的像用数对(p,q)（p<q ）(其中q-p=k)表示外,还规定:若编号为k 的同学看到的像用数对（p,q ）,则编号为k+1的同学看到的像为（q,r ）,(p,q,r *N ∈)，已知编号为1的同学看到的像为（4,5），则编号为5的同学看到的像是 。
2021年中考数学一轮复习基础考点及题型-专题27尺规作图与命题的证明(含解析)
2021年中考数学一轮复习基础考点及题型-专题27 尺规作图与命题的证明考点总结【思维导图】【知识要点】知识点一尺规作图尺规作图的概念：用无刻度直尺和圆规作图，叫做尺规作图。
基本作图方法：1、作一条线段等于已知线段2、作一个角等于已知角3、作已知角的角平分线4、过一点作已知线段的垂线5、作已知线段的垂直平分线【考查题型汇总】考查题型一运用基本作图确定几何图形特殊位置1．（2019·江苏中考模拟）按要求作图，并保图作图痕迹．如图，已知线段a、b、c，用圆规和直尺作线段AD，使AD=a+2b﹣c．【答案】见解析.【详解】解：如图所示：AE即为所求．2．（2019·山东中考模拟）如图，已知点C是∠AOB的边OB上的一点，求作⊙P，使它经过O、C两点，且圆心在∠AOB的平分线上．【答案】见试题解析【解析】如图所示：．3．（2019·广东中考模拟）如图，在锐角△ABC 中，AB ＝2cm ，AC ＝3cm ．（1）尺规作图：作BC 边的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D 、E （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连结BD ，求△ABD 的周长．【答案】（1）作图见解析；（2）ABD 的周长为5cm.【解析】（1）如图，DE 为所作；（2）∵DE 垂直平分BC ，∴DB=DC ，∴△ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm ）．4.（2018·山东中考模拟）如图：求作一点P ，使PM PN =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等．【答案】见解析【详解】如图所示：P点即为所求．5．（2019·江苏中考模拟）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）（1）作△ABC的外接圆圆心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点F，点H分别在边BC和AC上；（3）在（2）的基础上作出一个正六边形DEFGHI．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【详解】（1）如图所示：点O即为所求．。
高考数学压轴专题新备战高考《推理与证明》全集汇编含解析
【高中数学】数学《推理与证明》试卷含答案一、选择题1．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====“穿墙术”，则n =（ ） A ．35 B ．48C ．63D ．80【答案】C 【解析】 【分析】通过观察四个等式，发现存在相同性质，从而得出78763n =⨯+=即可. 【详解】因为======，==所以===63n =. 故选：C. 【点睛】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．2．二维空间中圆的一维测度(周长)2lr π=，二维测度(面积)2S r π=；三维空间中球的二维测度(表面积)24S r π=，三维测度(体积)343V r π=.若四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）A ．42r πB ．43r πC ．44r πD ．46r π【答案】A 【解析】分析：由题意结合所给的性质进行类比推理即可确定四维测度W .详解：结合所给的测度定义可得：在同维空间中，1n +维测度关于r 求导可得n 维测度， 结合“超球”的三维测度38V r π=，可得其四维测度42W r π=. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查类比推理，导数的简单应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设x 为某某”.如图2所示的天元式表示方程10110n n n n a x a x a x a --++⋅⋅⋅++=，其中0a ，1a ，…，1n a -，n a 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A ．228617430x x ++= B ．4227841630x x x +++= C ．2174328610x x ++= D ．43163842710x x x +++=【答案】C 【解析】 【分析】根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为2174328610x x ++=.【点睛】本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意， 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意， 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了， 故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.6．分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q ，这两个相距R 的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U .其计算式子为212121111U kcq R R x x R x R x ⎛⎫=+-- ⎪+-+-⎝⎭，其中，kc 为静电常量，1x 、2x 分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且()1211x x x -+≈-+，则U 的近似值为（ ）A ．2123kcq x x RB ．2123kcq x x R -C ．21232kcq x x RD ．21232kcq x x R -【答案】D 【解析】 【分析】将12121x x R x x R R -⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，111x R x R R ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，221x R x R R ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭代入U ，结合()1211x x x -+≈-+化简计算可得出U 的近似值.【详解】221212121211111111111U kcq kcq x x x x R R x x R x R x R R R R R R R ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥=+--=+-- ⎪-+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎝⎭++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2222121211221111x x x x x x x x kcq RR R R R R R ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21232kcq x x R =-. 故选：D. 【点睛】本题考查U 的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.7．已知2a b c ++=，则ab bc ca ++的值（ ） A ．大于2 B ．小于2C ．不小于2D ．不大于2【答案】B 【解析】 【分析】把已知变形得到a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，把2()ab bc ac ++拆开后提取公因式代入a b c +=-，a c b +=-，b c a +=-，则可判断2()ab bc ac ++的符号，从而得到ab bc ac ++的值的符号． 【详解】解：2a b c ++=Q ，2a b c ∴+=-，2a c b +=-，2b c a +=-．则2()ab bc ac ++222ab ac bc =++ab ac bc ac ab bc =+++++()()()a b c c b a b a c =+++++ (2)(2)(2)b b a a c c =-+-+- 222222b b a a c c =-+-+- ()()2222a b c a b c =-+++++()2224a b c =-+++，2a b c ++=Q ，()2220a b c ∴++>，即()2220a b c -++<，2()4ab bc ac ++<Q ，()2ab bc ac ∴++<即ab bc ac ++的值小于2． 故选：B ． 【点睛】本题考查不等式的应用，考查了学生的灵活处理问题和解决问题的能力．8．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，……，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．5050【答案】C【解析】【分析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，可得2123()nf nn+++⋅⋅⋅+=，即得解.【详解】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等，所以n阶幻方对角线上数的和()f n就等于每行（或每列）的数的和，又n阶幻方有n行（或n列），因此，2123()nf nn+++⋅⋅⋅+=，于是12399100(10)50510f+++⋅⋅⋅++==．故选：C【点睛】本题考查了数阵问题，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.9．平面内的一条直线将平面分成2部分,两条相交直线将平面分成4部分,三条两两相交且不共点的直线将平面分成7部分,…则平面内的六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为( )A．20B．21C．22D．23【答案】C【解析】【分析】一条直线可以把平面分成两部分,两条直线最多可以把平面分成4部分,三条直线最多可以把平面分成7部分,四条直线最多可以把平面分成11部分,可以发现,两条直线时多了2部分,三条直线比原来多了3部分,四条直线时比原来多了4部分,即可求得答案.【详解】设画n条直线,最多可将面分成()f n个部分,1,(1)112n f==+=Q;2,(2)(1)24n f f==+=;3,(3)(2)37n f f==+=;,4,(4)(3)411n f f==+=; ,5,(5)(4)516n f f==+=;6,(6)(5)622n f f==+=.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握根据题意能写出函数递推关系,在求解中寻找规律,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．11．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙【答案】B【解析】【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B 【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证12．桌面上有3枚正面朝上的硬币，如果每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转（ ）A ．都不可能使3枚全部正面朝上B ．可能使其中2枚正面朝上，1枚反面朝上C ．都不可能使3枚全部反面朝上D ．都不可能使其中1枚正面朝上，2枚反面朝上 【答案】C 【解析】 【分析】先推理出正确答案，再利用反证法进行证明，对错误选项可举反例说明即可. 【详解】对A ，对两枚硬币连续翻转2次，能使3枚全部正面朝上，故A 错误；对B ，如果能1枚反面朝上，则就有可能3枚全部反面朝上，利用C 选项的证明，发现此种情况不可能，故B 错误；对C ，假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上，都需要翻转奇数次，所以3枚硬币全部反面朝上时，需要翻转(3×奇数)次，即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币，3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数，即偶数次，这个矛盾说明假设错误，所以原结论成立.故C 正确；对D ，只要翻转一次，就可实现两枚反面朝上，一枚正面朝上，故D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查合情推理和反证法的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题.13．三角形面积为()12S a b c r =++，a ，b ，c 为三角形三边长，r 为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（ ） A ．13V abc = B ．13V Sh = C ．()13V ab bc ac h =++⋅（h 为四面体的高） D ．()123413V s s s s r =+++⋅（其中1s ，2s ，3s ，4s 分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解． 【详解】设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是r ， 根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O 与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和， 即()123413V s s s s r =+++⋅，故选D ． 【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．14．为了调节高三学生学习压力，某校高三年级举行了拔河比赛，在赛前三位老师对前三名进行了预测，于是有了以下对话：老师甲：“7班男生比较壮，7班肯定得第一名”．老师乙：“我觉得14班比15班强，14班名次会比15班靠前”．老师丙：“我觉得7班能赢15班”．最后老师丁去观看完了比赛，回来后说：“确实是这三个班得了前三名，且无并列，但是你们三人中只有一人预测准确”．那么，获得一、二、三名的班级依次为( ) A ．7班、14班、15班 B ．14班、7班、15班 C ．14班、15班、7班 D ．15班、14班、7班【答案】C 【解析】 【分析】分别假设甲、乙、丙预测准确，分析三个人的预测结果，由此能求出一、二、三名的班级． 【详解】假设甲预测准确，则乙和丙都预测错误，14∴班名次比15班靠后，7班没能赢15班，故甲预测错误； 假设乙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠前，7班没能赢15班， 则获得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班； 假设丙预测准确，则甲和乙都预测错误，7∴班不是第一名，14班名次比15班靠后，7班能赢15班，不合题意．综上，得一、二、三名的班级依次为14班，15班，7班． 故选：C ． 【点睛】本题考查获得一、二、三名的班级的判断，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．三角形的三个顶点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则该三角形的重心（三边中线交点）的坐标为123123,33x x x y y y ++++⎛⎫⎪⎝⎭.类比这个结论，连接四面体的一个顶点及其对面三角形重心的线段称为四面体的中线，四面体的四条中线交于一点，该点称为四面体的重心.若四面体的四个顶点的空间坐标分别为111(,,)x y z ，222(,,)x y z ，333(,,)x y z ，444(,,)x y z ，则该四面体的重心的坐标为（ ）A ．()123412341234,,x x x x y y y y z z z z +++++++++B ．123412341234,,222x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭C ．123413341234,,333x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭D ．123412341234,,444x x x x y y y y z z z z +++++++++⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意，三角形的重心的坐标是三个顶点坐标的算术平均数，从平面扩展到空间，从三角形扩展到四面体，得到四面体的重心的坐标是四个顶点的算术平均数，从而得到答案. 【详解】根据题意，三角形重心的坐标是三个顶点的坐标的算术平均数， 从平面扩展到空间，从三角形推广到四面体， 就是四面体重心的坐标是四个顶点的算术平均数， 故选D. 【点睛】该题考查的是类比推理，由平面图形的性质类比猜想得出空间几何体的性质，一般思路是：点到线，线到面，或是二维到三维，属于简单题目.16．用数学归纳法证明()111111111234212122n N n n n n n*-+-+-=+++∈-++L L ，则从k 到1k +时左边添加的项是（ ）A ．121k + B ．112224k k -++ C ．122k -+D ．112122k k -++ 【答案】D 【解析】 【分析】根据式子的结构特征，求出当n k =时，等式的左边，再求出1n k =+ 时，等式的左边，比较可得所求． 【详解】当n k =时，等式的左边为111111234212k k-+-+⋯+--， 当1n k =+ 时，等式的左边为111111112342122122k k k k -+-+⋯+-+--++， 故从“n k =到1n k =+”，左边所要添加的项是112122k k -++． 故选：D ． 【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化．17．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆的面积S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）AB．CD．【答案】A 【解析】 【分析】根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据sin 0C ≠，得1cos 3A =-，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=，代入公式=S . 【详解】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-， 由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =， 由ABC ∆的面积公式得S ===故选：A 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇数列{}n a 中，k a =（ ）A ．n -B ．n -C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.19．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（ ） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2 D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】 由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112226x y z x y z≥⋅+⋅+⋅=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2， 故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f =，…，可推出(10)f =（ ） A ．271 B ．272C ．273D ．274【答案】A 【解析】 【分析】观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】由图可知，()11f =，()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，…()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=故选A. 【点睛】此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-。
高中数学高考专题28 推理与证明(原卷版)
专题28 推理与证明命题规律内容典型１以断臂维纳斯为素材考查合情推理2019年高考全国I卷文数２以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理2019年高考北京卷文数３以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理2019年高考全国II卷文数命题规律一以断臂维纳斯为素材考查合情推理【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论.【三年高考】1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1命题规律三以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论.【三年高考】1.【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）。
高中数学专题 推理与证明(完整知识点梳理及经典例题答案详解)
专题——推理与证明【知识概要】本章知识网络：一.考纲目标掌握合情推理与演绎推理；熟练的运用综合法和分析法、反证法证题；信息转化、逻辑分析；数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定. 二.知识梳理1．合情推理包括归纳推理和类比推理． 2．归纳推理(1)概念：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理(简称归纳)． (2)特点：归纳是从特殊到一般的过程． (3) 归纳推理的思维过程大致如图：3．类比推理(1)概念：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理，叫做类比推理(简称类比)． (2) 4．演绎推理(1)概念：根据一般性原理(或逻辑规则)导出特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理． (2)特征：当前提为真时，结论必然为真． (3)“三段论”是演绎推理的一般模式：推理与证明推理 证明合情推理 演绎推理 归纳类比 综合法 分析法 反证法直接证明 间接证明 数学归纳法M——P （M是P）①S——M （S是M）②S——P （S是P）③其中：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．5．直接证明(1)综合法①定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法（也叫由因导果法）．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法（也叫执果索因法）．②框图表示：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件.6．间接证明（1）反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（2）反证法的一般步骤是：反设——推理——矛盾——原命题成立。
五年级下册数学试题培优专题讲练：第27讲巧解逻辑推理问题(二)人教版
第27讲巧解逻辑推理问题（二）巧点晴——方法和技巧进一步运用“矛盾律”“排中律”“同一律”解决逻辑推理问题巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点晴【例1】在一所公寓里有一个人被杀害了，在现场共有甲、乙、丙三人。
已知这三人中，一个是主犯，一个是从犯，一个与案件无关。
警察从现场的人口中得到下列证词：①甲不是主犯；②乙不是从犯；③丙不是与案件无关的人。
在这三条证词中，提到的名字都不是说话者本人，三条证词不一定分别出自三人之口，但至少有一条是与案件无关的人讲的。
经过调查证实，只有与案件无关的人说了真话。
问：主犯是谁？分析与解由“在这三条证词中，提到的名字都不是说话者本人”可知，这三条证词至少出自两人之口。
又由“只有与案件无关的人说了真话”可知，这三条证词中至少有一条是与案件无关的人讲的真话。
下面我们先对“只有与案件无关的人说了真话”进行假设。
假设①是真话，②、③是假话，则甲与丙都是与案件无关的人，或者丙与乙都是从犯，这与已知矛盾。
假设②是真话，①、③是假话，同上面情况类似，仍与已知矛盾。
假设③是真话，①、②是假话，则三人全是罪犯，也与已知矛盾。
这说明三条证词中应有两条是与案件无关的人讲的真话。
假设①是假话，②、③是真话，则②、③应出自与案件无关的人甲之口，但①是假话，又推出甲是主犯，矛盾。
假设②是假话，①、③是真话，其结果与前一段假设类似，仍然矛盾。
所以只有③是假话，①、②是真话，此时可知丙是与案件无关的人，甲是从犯，乙是主犯。
答：主犯是乙。
做一做1 甲、乙、丙三人分别是学校足球队、乒乓球队和篮球队的队员，下面的说法中只有一种是对的：①甲是足球队员；②乙不是足球队员；③丙不是篮球队员。
问：甲、乙、丙分别是哪个队的队员？【例2】甲、乙、丙三人对小强的藏书数目作了一个估计。
甲说：“他至少有1 000本书。
”乙说：“他的书不到1 000本。
”丙说：“他最少有一本书。
”这三个估计中只有一句是对的。
问：小强究竟有多少本书？分析与解因为本例的三个估计中只有一句是对的，因此可以此为突破口，提出假设，进行推理，找出符合要求的结论。
三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——不等式、推理与证明(原卷版)
脐至足底的长度之比是 5 -1（ 5 -1≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳
2
2
斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉1．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度 2
为 26 cm，则其身高可能是
!
A．165 cm
z = -4x + y 的最大值为
A．2 C．5
B．3 D．6
15．【2019 年高考天津卷文数】设 x Î R ，则“ 0 < x < 5”是“ | x -1|< 1”的
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
!
ìx -3y + 4 ³ 0 16．【2019 年高考浙江卷】若实数 x, y 满足约束条件 ïí3x - y - 4 £ 0，则 z = 3x + 2 y 的最
B．
y
=
sin x
+
4 sin
x
C． y = 2x + 22-x
4 D． y = ln x +
ln x
3．【2021
年全国新高考
II
卷数学】已知
a
=
log5
2，
b
=
log8
3，
c
=
1 2
，则下列判断正确
的是（ ）
A． c < b < a
B． b < a < c
C． a < c < b
D． a < b < c
ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为
专题 推理与证明(理)(解析版)
专题46 推理与证明(理)专题知识梳理1.合情推理:2(1)定义:从一般性得原理出发,推出某个特殊情况下得结论,我们把这种推理称为演绎推理、简言之,演绎推理就是由一般到特殊得推理、(２)“三段论”就是演绎推理得一般模式,包括:①大前提—-已知得一般原理;②小前提——所研究得特殊情况;③结论--根据一般原理,对特殊情况作出得判断.3。
直接证明:直接从原命题得条件逐步推得命题成立得,这种证明通常称为直接证明。
直接证明得一般形式为:错误!⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论.综合法与分析法,就是直接证明中最基本得两种证明方法,也就是解决数学问题时常见得思维方式.综合法与分析法得推证过程如下:(1)综合法——＼x(已知条件)⇒…⇒…⇒结论,实际上就是寻找它得充分条件、(2)分析法——错误!未定义书签。
⇐…⇐…⇐错误!未定义书签。
,实际上就是寻找它得必要条件。
在解决问题时,经常就是把综合法与分析法结合起来使用:根据条件得结构特点去转化结论,得到_＿中间结论Q _;根据结论得结构特点去转化条件,得到中间结论P ,若由P 可以推出Ｑ成立,就可以证明结论成立。
4。
间接证明:不就是直接从原命题得条件逐步推出命题成立,像这种不就是直接证明得方法通常称为间接证明.其证明方法有同一法、枚举法、反证法.反证法就是一种常用得间接证明方法.用反证法来证明时,要从否定结论开始,经过正确得推理,导致逻辑矛盾,从而达到新得否定(即肯定原命题)得过程。
(1)用反证法证明命题“若ｐ则q ”得过程如下:①反设:假定所要证得结论不成立,而设结论得反面成立;②归谬:将“反设"作为条件,由此出发经过正确得推导,导出矛盾——与已知条件、已知得公理、定义、定理及明显得事实矛盾或自相矛盾;③存真:因为推理正确,所以产生矛盾得原因在于“反设”得谬误。
既然结论得反面不成立,从而 肯定了结论成立.(２)常见得“结论词”与“反设词”如下:考点探究考向１ 归纳推理 【例】(1)观察下列等式:1－错误!=错误!未定义书签。
高考数学(理)真题专题汇编：推理与证明
高考数学（理）真题专题汇编：推理与证明一、选择题1.【来源】2017年高考真题——理科数学（全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩 2.【来源】2014年高考真题理科数学（山东卷）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根3.【来源】2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科） 设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是( )A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈4.【来源】辽宁省大连24中2012届高三模拟考试理科数学 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线：已知直线bα平面，直线a α⊂平面，直线b ∥平面α，则b ∥a ”的结论显然是错误的，这是因为 A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误5.【来源】2012年高考真题——理科数学（江西卷）观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b+=A．28 B．76 C．123 D．1996.【来源】2012年高考真题——理科数学（湖北卷）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式316 9d V≈.人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断，下列近似公式中最精确的一个是A．316 9d V≈ B．32d V≈ C．3300 157d V≈ D．321 11d V≈7.【来源】2012年高考真题——理科数学（全国卷）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（A）16（B）14（C）12(D)108.【来源】2011年高考数学理（江西）如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点。
精编新版高中数学单元测试试题-推理与证明专题考核题库完整版(含参考答案)
2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ） （A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - （2010山东文10）2．有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误3．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）： ①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则a b a b -=⇒=”；②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则a c a c,b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则a b a b ->⇒>”．其中类比结论正确的个数是（ ）.(A) 0(B) 1(C) 2(D) 34． [文科]若nn n a n 212111+⋅⋅⋅++++=（n 是正整数），则+=+n n a a 1（ ）.(A))1(21+n (B)11221+-+n n (C) 11221121+-+++n n n (D) 221121+++n n [理科] 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，可以猜想结论为( ) .(A)2221112n 1123n n ++++⋅⋅⋅+<(n N*)∈ (B) 2221112n 1123(n 1)n-+++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈(C) 2221112n 1123(n 1)n 1++++⋅⋅⋅+<++(n N*)∈ (D) 2221112n 1123n n 1++++⋅⋅⋅+<+(n N*)∈5．下列推理正确的是----------------------------------------------------------（ ）(A) 把()a b c + 与 log ()a x y + 类比，则有：log ()log log a a a x y x y +=+ ． (B) 把()a b c + 与 sin()x y + 类比，则有：sin()sin sin x y x y +=+．(C) 把()n ab 与 ()na b + 类比，则有：nnn()x y x y +=+．(D) 把()a b c ++ 与 ()xy z 类比，则有：()()xy z x yz =．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6．用数学归纳法证明: (31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈的第二步中,当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 ▲ .7．观察下列等式：231111222⨯=-⨯，2231411112223232⨯+⨯=-⨯⨯⨯， 2333141511112223234242⨯+⨯+⨯=-⨯⨯⨯⨯，……由以上等式推测到一个一般的结论： 对于n ∈*N ，2314121122232(1)2n n n n +⨯+⨯++⨯=⨯⨯+ ▲ ．()1112nn -+⋅8．半径为r 的圆的面积()2S r r π=，周长()2C r r π=，若将r 看作()0,+∞上的变量，则()22rr ππ'=，① ①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
专题27 推理与证明(解析版)
第27讲推理与证明考点一推理(一)合情推理与演绎推理1.推理概念：根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫结论．2.合情推理概念：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情理．合情推理分类：1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．3.演绎推理概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论包括：1）大前提---已知的一般原理；2）小前提---所研究的特殊情况；3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．4.演绎法：概念：如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的．象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．典例精讲1．观察下列一组数据12a=246a=+381012a=++414161820a=+++⋯则20a从左到右第三个数是()A．380 B．382 C．384 D．386【分析】观察数列{}na中，各组和式的第一个数：2，4，8，14，⋯找出其规律，从而得出20a从左到右第三个数为386．【解答】解：观察数列{}na中，观察下列一组数据12a=246a=+381012a=++414161820a=+++⋯各组和式的第一个数为：2，4，8，14，⋯即2，22+，2222++⨯，222223++⨯+⨯，⋯，其第n项为：2222232(1)n++⨯+⨯+⋯+⨯-．∴第20项为：(119) 22222321922193822+++⨯+⨯+⋯+⨯=+⨯⨯=．从20a从左到右第三个数是386．故选：D．【点评】本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题．2．已知{a n}为等差数列，a1010＝5，a1+a2+a3+…+a2019＝5×2019．若{b n}为等比数列，b1010＝5，则{b n}类似的结论是（）A．b1+b2+b3+…+b2019＝5×2019B．b1b2b3…b2019＝5×2019C．b1+b2+b3+⋯+b2019=52019D．b1b2b3⋯b2019=52019【分析】根据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，由类比规律得出结论即可．【解答】解：在等差数列{a n}中，令S＝a1+a2+…+a2019，则S＝a2019+a2018+…+a1所以2S＝（a1+a2019）+（a2+a2018）+…+（a2019+a1）＝2019（a1+a2019）＝2019×2a1010＝10×2019，所以S＝a1+a2+a3+…+a2019＝5×2019．故相应的在等比数列{b n}中，令T＝b1b2...b n＝b1b2 (2019)则T＝b2019b2018 (1)所以T2＝（b1b2019）（b2b2018）…（b2019b1）＝（b21010）2019，所以T＝b1b2…b n＝b1b2…b2019＝（b1010）2019＝52019．故选：D．【点评】本题考查类比推理的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列与等比数列的通项公式的合理运用．3．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申，乙酉，丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，那么2019年是“干支纪年法”中的（）A．乙亥年B．戊戌年C．己亥年D．辛丑年【分析】从2010到2019年经过10年，天干从庚到己，地支从寅到亥，故答案为己亥年．【解答】解：天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，若2010年是“干支纪年法”中的庚寅年，则2011年“干支纪年法”中的辛卯年，则2012年“干支纪年法”中的壬辰年，则2013年“干支纪年法”中的癸巳年，则2014年“干支纪年法”中的甲午年，则2015年“干支纪年法”中的乙未年，则2016年“干支纪年法”中的丙申年，则2017年“干支纪年法”中的丁酉年，则2018年“干支纪年法”中的戊戌年，则2019年“干支纪年法”中的己亥年，故选：C．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．4．2018年4月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊．比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A．甲B．丁或戊C．乙D．丙【分析】分别假设三个人的猜测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得．【解答】解：假设爸爸的猜测是对的，则冠军是丙；假设妈妈的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意．故选：D．【点评】本题考查了简单的合情推理，属中档题．5．杨辉是中国南宋时期的杰出数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，其中蕴藏了许多优美的规律．设f（n）＝（a+b）n（n∈N*，n≥2），若f（n）的展开式中，存在某连续三项，其二项式系数依次成等差数列．则称f（n）具有性质P．如f（7）＝（a+b）7的展开式中，二、三、四项的二项式系数为7，21，35，依次成等差数列，所以f（7）具有性质P．若存在n≤25，使f（n）具有性质P，则n 的最大值为（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】假设存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使C n k−1，C n k，C n k+1成等差数列，所以C n k−1+C n k+1=2C n k，整理得：4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，即（2k﹣n）2＝n+2，根据n+2为完全平方数，且n≤25可得n的最大值为23．【解答】解：若存在n≤25，使f（n）具有性质P，假设存在k∈N*，1≤k≤n﹣1，使C n k−1，C n k，C n k+1成等差数列，所以C n k−1+C n k+1=2C n k，利用组合数公式整理得：4k2﹣4nk+n2﹣n﹣2＝0，即（2k﹣n）2＝n+2，所以n+2为完全平方数，又n≤25，25+2＝27不是完全平方数，24+2＝26也不是完全平方数，23+2＝25是完全平方数．所以n的最大值为23．故选：B．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．．6．如图所示的数阵中，第64行第2个数字是12017【分析】观察这个数列每一行第二个数的倒数，观察发现连续两项的差成等差数列，然后利用叠加法求出第21行第2个数的倒数，从而求出所求．【解答】解：不妨令a2＝2，a3＝4，a4＝7，则由题意可得a3﹣a2＝2，a4﹣a3＝3，…a64﹣a63＝63，将以上各式相加得a64﹣a2＝2+3+4+ (63)解得：a64＝2017，，∴第64行的第2个数是12017．故答案为：12017【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意观察，认真思考，注意寻找规律，属于中档题．7．在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐．将这四支大学生团队分别记作A、B、C、D，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有甲、乙、丙、丁四位同学对这四支参赛团队的获奖结果预测如下：甲说：A或B团队获得冠军；乙说：D团队获得冠军；丙说：B、C两个团队均未获得冠军；丁说：A团队获得冠军．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是D．【分析】分别假设A、B、C、D为冠军，结合四人说法找到矛盾即可．【解答】解：若A获得冠军，则甲丁正确，乙丙也正确，与题意不符若B获得冠军，则甲正确，乙丙丁错误，与题意不符；若C获得冠军，则四人都错误，与题意不符；若D获得冠军，则乙丙正确，甲丁错误，符合题意，综上，获得冠军的团队为D，故答案为：D【点评】本题考查学生合情推理的能力，属于中档题．8．在直角坐标系xOy 中，AB 是圆O 的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率k AB ，k OM ，则k AB •k OM ＝﹣1．类比于圆，在直角坐标系xOy 中，AB 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率k AB ，k OM ，则k AB •k OM ＝ −b 2a 2 ．【分析】对于圆O ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0）圆的方程为x 2+y 2＝r 2，则{x 12+y 12=r 2①x 22+y 22=r 2②，且x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，则①﹣②得，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(y 1−y 2)2y0(x 1−x 2)2x 0=−1＝k AB •k OM ，所以在椭圆中，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，又{x 12a 2+y 12b 2=1①x 22a 2+y 22b 2=1②，所以(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(y 1−y 2)2y0(x 1−x 2)2x 0=−b 2a 2．【解答】解：依题意，对于圆O ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0） 圆的方程为x 2+y 2＝r 2，则{x 12+y 12=r 2①x 22+y 22=r 2②，且x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，则①﹣②得，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(y 1−y 2)2y 0(x 1−x 2)2x 0=−1＝k AB •k OM ，所以在椭圆中，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x 0，y 0），则x 1+x 2＝2x 0，y 1+y 2＝2y 0，又{x 12a 2+y 12b 2=1①x 22a +y 22b =1②， 所以(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=(y 1−y 2)2y 0(x 1−x 2)2x 0=−b 2a 2=k AB •k OM ．故答案为：−b 2a 2．【点评】本题考查了类比推理，考查了点差法求斜率的乘积．属于中档题．9．甲、乙、丙、丁四位同学中仅有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：“丙或丁申请了”；乙说：“丙申请了”；丙说：“甲和丁都没有申请”；丁说：“乙申请了”，如果这四位同学中只有两人说的是对的，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 ．【分析】先假设甲乙丙丁中一个人说的是对的．然后再逐个去判断其他三个人的说法．最后看是否满足题意，不满足排除．【解答】解：假设申请了北京大学自主招生考试的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四个人的说法都是错误的，不符合题意；假设申请了北京大学自主招生考试的同学是乙，则甲、乙两人的说法错误，丙、丁两人的说法正确，符合题意；假设申请了北京大学自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙三人的说法正确，丁的说法错误，不符合题意；假设申请了北京大学自主招生考试的同学是丁，则甲的说法正确，乙、丙、丁的说法错误，不符合题意故答案为：乙．【点评】本题考查了合情推理的应用，属于中档题．考点二证明(一)直接证明与间接证明1.综合法概念：综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法．2.分析法概念：分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法．3.反证法概念：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法．证明的一般步骤：1）假设命题的结论不成立；2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；3）断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立(二)常见结论结论：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体多边形；面边；体积面积；二面角平面角；面积线段长；典例精讲1．以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（ ） A ．①﹣分析法，②﹣反证法 B ．①﹣分析法，②﹣综合法 C ．①﹣综合法，②﹣反证法 D ．①﹣综合法，②﹣分析法【分析】根据综合法和分析法的定义，可知由已知到可知进而得到结论的应为综合法，由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，进而得到答案． 【解答】解：根据已知可得该结构图为证明方法的结构图：∵由已知到可知，进而得到结论的应为综合法， 由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法， 故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为： ①﹣综合法，②﹣分析法， 故选：D ．【点评】本题以结构图为载体，考查了证明方法的定义，正确理解综合法和分析法的定义，是解答的关键．2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么√a 3＞√b 3”时，假设的内容应为 √a 3＜√b 3或√a 3=√b 3． 【分析】用反证法证明数学命题“如果a ＞b ，那么√a 3＞√b 3”时，应假设它的否定 【解答】解：由于命题“√a 3＞√b 3”的否定为“√a 3＜√b 3或√a 3=√b 3”，故用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么√a 3＞√b 3”时， 应假设√a 3＜√b 3或√a 3=√b 3， 故答案为：√a 3＜√b 3或√a 3=√b 3．【点评】本题考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定的方法，得到命题“√a 3＞√b 3”的否定为“√a 3＜√b 3或√a 3=√b 3”，是解题的关键．3．用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，要做的假设是“假设a，b，c都不大于1 ”．【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立．根据要证命题的否定，从而得出结论．【解答】解：用反证法证明，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于1”，或假设a，b，c全部小于等于1故答案为：都不大于1．【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．4．计算：√2−1≈0.414，√3−√2≈0.318；∴√2−1＞√3−√2；又计算：√5−2≈0.236，√6−√5≈0.213，√7−√6≈0.196，∴√5−2＞√6−√5，√6−√5＞√7−√6．（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题．（2）判断该命题的真假，并给出证明．【分析】（1）根据所给结论，可写出一个一般性的命题．（2）利用综合法证明命题是真命题．【解答】解：（1）一般性的命题n是正整数，则√n+1−√n＞√n+2−√n+1．（2）命题是真命题．∵√n+1−√n=√n+1+√n ，√n+2−√n+1=√n+2+√n+1，√n+1+√n√n+2+√n+1，∴√n+1−√n＞√n+2−√n+1．【点评】本题考查归纳推理，考查综合法的运用．5．已知数列{a n}各项均为正数，且不是常数列．（1）若数列{a n}是等差数列，求证：√a1+√a3＜2√a2；（2）若数列{a n}是等比数列，求证：1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2不可能成等比数列．【分析】（1）利用分析法借助等差数列的性质即可证明，（2）利用反证法借助等比数列的性质即可证明【解答】证明：（1）要证√a1+√a3＜2√a2，只要证a1+a3+2√a1a3＜4a2，因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3＝2a2，只要证√a1a3＜a2，只要证a1a3＜a22＝（a1+a32）2，∵数列{a n}各项均为正数，∴a1a3＜a22＝（a1+a32）2成立，∴√a1+√a3＜2√a2；（2）假设1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2可能成等比数列，则（1﹣a n+1）2＝（1﹣a n）（1﹣a n+2），即1﹣2a n+1+a n+12＝1+a n a n+2﹣（a n+a n+2），∵数列{a n}是等比数列，∴a n+12＝1+a n a n+2，∴2a n+1＝a n+a n+2，∴数列{a n}是等差数列，∴数列{a n}是常数列，这与已知相矛盾，故假设不成立，∴1﹣a n，1﹣a n+1，1﹣a n+2不可能成等比数列．【点评】本题考查了分析法和反证法，考查推理论证能力，属于中档题．6．（1）证明：1，√3，√5不可能成等差数列；（2）证明：1，√3，√5不可能为同一等差数列中的三项．【分析】（1）根据题意，用反证法证明：假设1，√3，√5成等差数列，由等差数列的性质可得1+√5=2√3，分析易得矛盾，即可得结论；（2）根据题意，用反证法证明：假设1，√3，√5为同一等差数列中的三项，由等差数列的通项公式可得√3=1+md和√5=1+nd，变形可得：（√3−1）n＝（√5−1）m，进而可得mn=√3−1√5−1=√3+√15−√5−14，由实数的运算性质分析可得矛盾，即可得结论．【解答】证明：（1）假设1，√3，√5成等差数列，则有1+√5=2√3，即√5=3，明显不成立，故1，√3，√5不可能成等差数列；（2）假设1，√3，√5为同一等差数列中的三项，则有√3=1+md，①√5=1+nd，②变形可得：（√3−1）n＝（√5−1）m，则有mn =√3−1√5−1=√3+√15−√5−14，又由m、n为正整数，则mn 为有理数，而√3+√15−√5−14为无理数，则mn =√3−15−1明显不成立，故1，√3，√5不可能为同一等差数列中的三项．【点评】本题考查等差数列的定义以及判断，涉及反证法的应用，关键是掌握等差数列的定义．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布综合练习一．选择题（共3小题）1．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n个图案中正六边形的个数是f（n）．由f（1）＝1，f（2）＝7，f（3）＝19，…，可推出f（10）＝（）A．271 B．72 C．73 D．74【分析】根据图象的规律可得f（4）和f（5）的值．根据相邻两项的差的规律可分析得出f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），进而根据合并求和的方法求得f（n）的表达式，即可求得f（10）的值．【解答】解：由于：（1）f（4）＝37，f（5）＝61．由于：f（2）﹣f（1）＝7﹣1＝6，f（3）﹣f（2）＝19﹣7＝2×6，f（4）﹣f（3）＝37﹣19＝3×6，f（5）﹣f（4）＝61﹣37＝4×6，因此：当n≥2时，有f（n）﹣f（n﹣1）＝6（n﹣1），所以：f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+…+[f（2）﹣f（1）]+f （1）＝6[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1]+1＝3n2﹣3n+1．又：f（1）＝1＝3×12﹣3×1+1，所以：f（n）＝3n2﹣3n+1．所以：f（10）＝3×102﹣3×10+1＝271．故选：A．【点评】本题主要考查了数列的求和问题．数列的求和是数列的重要内容之一，出等差数列和等比数列外，大部分的数列求和都需要一定的技巧，如裂项法、倒序相加，错位相减，分组求和等．2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体（√5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5−12且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【分析】充分运用黄金分割比例，结合图形，计算可估计身高．【解答】解：头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，≈0.618，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5−12≈42cm，可得咽喉至肚脐的长度小于260.618，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12=110，可得肚脐至足底的长度小于42+260.618即有该人的身高小于110+68＝178cm，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105＝170cm，故选：B．【点评】本题考查简单的推理和估算，考查运算能力和推理能力，属于中档题．3．一项针对都市熟男（三线以上城市30～50岁男性）消费水平的调查显示，对于最近一年内是否购买过以下七类高价商品，全体被调查者，以及其中包括的1980年及以后出生（80后）被调查者、1980年以前出生（80前）被调查者回答“是”的比例分别如下：全体被调查者80后被调查者80前被调查者电子产品56.9% 66.0% 48.5%服装23.0% 24.9% 21.2%手表14.3% 19.4% 9.7%运动、户外用品10.4% 11.1% 9.7%珠宝首饰8.6% 10.8% 6.5%箱包8.1% 11.3% 5.1%个护与化妆品 6.6% 6.0% 7.2%以上皆无25.3% 17.9% 32.1%根据表格中数据判断，以下分析错误的是（）A．都市熟男购买比例最高的高价商品是电子产品B．从整体上看，80后购买高价商品的意愿高于80前C．80前超过三成一年内从未购买过表格中七类高价商品D．被调查的都市熟男中80后人数与80前人数的比例大约为2：1【分析】根据表中的数据逐项进行分析可得．【解答】解：对于选项A，从表中的数据可得都是熟男购买电子产品的比例为56.9%，为最高值，所以A正确；对于选项B，从表中后两列的数据可以看出，前6项的比例均是80后得意愿高于80前的意愿，所以B正确；对于选项C，从表中的最后一列可看出，80前一年内从未购买过表格中7类高价商品的比例为32.1%，约为3成，所以C正确；对于选项D，根据表中数据不能得到被调查者的都是熟男中800后人数与80前人数的比例，所以D不正确．故选：D．【点评】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．二．填空题（共4小题）4．观察下列算式：1＝13，3+5＝23，7+9+11＝33，13+15+17+19＝43，……111+113+115++m＝n3，则m+n＝142 ．【分析】观察已知等式的规律，可猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1），由第n行第一个数为111，即：111＝（n﹣1）n+1，解得n＝11，可得：m＝（11﹣1）×11+（2×11﹣1）＝131，即可得解．【解答】解：观察各个等式左侧，第n个奇数之和，分析各行的第一个奇数依次为1，3，7，13，21，…进一步可写成0+1，2+1，6+1，12+1，20+1，…即0×1+1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…故可猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，进而后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n ﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1）．由于第n行第一个数为111，即：111＝（n﹣1）n+1，解得n＝11，可得：m＝（11﹣1）×11+（2×11﹣1）＝131，可得：m+n＝131+11＝142．故答案为：142．【点评】本题主要考查了归纳与推理，猜想第n行左边第一个奇数为（n﹣1）n+1，进而后续奇数依次为：（n﹣1）n+3，（n﹣1）n+5，…，（n﹣1）n+（2n﹣1）是解题的关键，属于中档题．5．甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有20道选择题，每题均有4个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们有2道题的选项不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{48，51，54，57，60}．【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了8道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲乙至少答对16道题，分情况讨论即可．【解答】解：甲最终的得分为54分，∴甲答对了20道题目中的19道，甲和乙都解答了所有的试题，∴甲必然有2道题目答错了，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，∴他们至少有16道题目答案相同，设剩下的4道题目正确答案为AAAA，甲的答案为BBAA，则乙的答案可能为BBCC，BCBA，CCAA，CAAA，AAAA，则乙的得分可能为{48，51，54，57，60}，故答案为：{48，51，54，57，60}．【点评】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推．排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推．已知2017年为丁酉年，那么到改革开放100年时，即2078年为戊戌年．【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以2017年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从2017年到2078年经过61年，且2017年为丁酉年，以2017年的天干和地支分别为首项，则61÷10＝6余1，则2078的天干为戊，61÷12＝5余1，则戊的地支为戌，故答案为：戊戌【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．7．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：r =13h ，把这个结论推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 r =14ℎ ．【分析】连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，正四面体的体积，就是四个三棱锥的体积的和，求解即可．【解答】解：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点． 把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S ×r =13×S ×h ，所以r =14ℎ（其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故答案为：r =14ℎ．【点评】本题考查类比推理，解题的关键是明确类比的方法，明确正三角形面积、正四面体体积的计算方法．。