(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第五章 数列第4课时 数列的求和

第五章 数列第4课时 数列的求和

第六章 (对应学生用书(文)、(理)76～78页

)

1. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n≥1)，则该数列的通项a n ＝________． 答案：a n ＝2n －1

解析：由已知{a n }为等差数列，d ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴ a n ＝2n －1.

2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n∈N *

)，则该数列的通项公式a n ＝________． 答案：a n ＝1n

解析：a n a 1＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n .

3. (必修5P 44习题2(2)改编) 20

n =å

（1+2 n ）=________．

答案：441 解析：

20

n =å

(1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋2×20)＝21＋

2×20（1＋20）

2

＝441.

4. (必修5P 60复习题8(1)改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n （n ＋1）

，则S 4＝

________．

答案：45

解析：a n ＝

1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝4

5

.

5. (必修5P 51例3改编) 数列112，214，318，41

16

，…的前n 项和是 __________．

答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－1

2

n

解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12

2＋…＋12n ＝

n （n ＋1）2＋12⎣⎢

⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12

n

.

1. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .

2. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1

a n

＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n .

3. (1) a n ＝⎩

⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，

S n －S n －1，n ≥2.

(2) 等差数列前n 项和S n ＝

n （a 1＋a n ）

2

，推导方法：倒序相加法． (3) 等比数列前n 项和S n ＝⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.

推导方法：错位相减法．

4. 常见数列的前n 项和： (1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）

2；

(2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)；

(3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2

；

(4) 12＋22＋32＋…＋n 2

＝n （n ＋1）（2n ＋1）6

．

5. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．

(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6. 常见的拆项公式有：

(1) 1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

；

(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫12n －1－12n ＋1；

(3) 1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；

(4)

1a ＋b

＝

1

a －

b

(a －b).

题型1 求简单数列的通项公式 例1 求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1；

(2) a 1＝1，a n ＋1＝2n

a n .

解：(1) a n ＝n 2

(2) a n ＝2n （n －1）

2

变式训练

求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2a n

2＋a n ；

(3) a 1＝2，a n ＋1＝a 2

n .

解：(1) a n ＝2n －1 (2) a n ＝2n ＋1 (3) a n ＝22n －1

题型2 分组转化求和

例2 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，71

16

， … 解：S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n －1）＋12n

＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋1

8＋ (12)

＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝ ⎛

⎭⎪

⎫1－12n 1－12＝n 2－12

n ＋1.

备选变式（教师专享）

已知a n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧5n ＋1，n 为奇数，

2n

2，n 为偶数.

(1) 求数列{a n }的前10项和S 10；

(2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .

解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25

) ＝5（6＋46）2＋2（1－25

）1－2

＝192.

(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，

k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋…＋(10k －4)]＋(2＋2

2