不等式证明——分析法

逐步倒推， 从14〈18逐步倒推，有什么发现？ 〈 逐步倒推 有什么发现？
已知： 例 已知：
，求证： 求证：
（用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误， 用分析法）请思考下列证法有没有错误？若有错误， 错在何处？ 错在何处？ ，所以 证法一： 证法一：因为 去分母， 去分母，化为 就是 由已知 成立 所以求证的不等式成立． 所以求证的不等式成立． 错误的原因是：虽然是从结论出发， 错误的原因是：虽然是从结论出发，但不是逐步 逆证结论成立的充分条件 。
③分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐 分析法的特点是： 结论”探求“需知” 步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找结论 步靠拢“已知” 的充分条件． 的充分条件． 综合法的特点是： 已知”推出“可知” 综合法的特点是：从“已知”推出“可知”， 逐步推向“未知” 逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找已 知的必要条件． 知的必要条件． 各有其优缺点： ④各有其优缺点： 从寻求解题思路来看：分析法是执果索因， 从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利 于思考，方向明确，思路自然，有希望成功； 于思考，方向明确，思路自然，有希望成功；综合 法由因导果，往往枝节横生， 法由因导果，往往枝节横生，不容易达到所要证明 的结论． 的结论． 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞 从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁， 冗长；综合法形式简洁，条理清晰． 冗长；综合法形式简洁，条理清晰． 也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达． 也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达．
，求证 ，
2．研究性题：已知函数 ．研究性题： ，若 证明 、 ，且
关于分析法与综合法
①分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法． 分析法与综合法是思维方向相反的两种思考方法． 在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需 ②在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需 求问题出发，一步一步地探索下去， 求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的 已知条件．即推理方向是： 已知． 已知条件．即推理方向是：结论 →已知． 已知 综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步 综合法则是从数学题的已知条件出发， 则是从数学题的已知条件出发 的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题． 的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题．即：已 知→结论 结论 一般来说，对于较复杂的不等式，直接运用综合 一般来说，对于较复杂的不等式， 法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此， 法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦．因此， 通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明， 通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明， 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的． 所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的．
不等式证明——分析法 分析法 不等式证明
• 教学目标 1．掌握分析法证明不等式； ．掌握分析法证明不等式； 2．理解分析法实质 执果索因； ．理解分析法实质——执果索因； 执果索因 3．提高证明不等式证法灵活性 ．提高证明不等式证法灵活性. • 教学重点 分析法 • 教学难点 分析法实质的理解
导入新课
…
③用分析法证明不等式的逻辑关系是： 用分析法证明不等式的逻辑关系是： B← B1← B2←… Bn← A 已知B）逐步推演不等式成立的必要条件（结论A） （已知 ）逐步推演不等式成立的必要条件（结论 ） 分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分” ④分析法的本质是从结论分析出使结论成立的“充分” 条件,要正确使用连接有关 分析推理） 要正确使用连接有关（ 条件 要正确使用连接有关（分析推理）步骤的关键 为了证明”“只需证明”“ ”“只需证明”“即 以及“ 词．如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假 成立” 定……成立”等． 成立 ⑤分析法是证明不等式时一种常用的基本方法．当证明 分析法是证明不等式时一种常用的基本方法． 不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决． 不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决．特 别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效． 别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效．
证法二
证法二： 证法二：欲证 只需证 即证 即证 因为 所以 成立 成立． 成立． 因为
用分析法证明时要注意书写格式． 用分析法证明时要注意书写格式．
• 分析法论证“若A则B”这个命题的书写格 分析法论证“ 则 这个命题的书写格 式是： 式是： • 要证命题 为真， 要证命题B为真 为真， • 只需证明 1 为真，从而有 只需证明B 为真，从而有…… • 这只需证明B2 为真，从而又有…… 这只需证明B 为真，从而又有…… • …… • 这只需证明 为真． 这只需证明A为真 为真． • 而已知 为真，故命题 必为真． 而已知A为真 故命题B必为真 为真， 必为真．
［问题1］我们已经学习了哪几种不等式的证 问题 ］ 明方法？什么是比较法？什么是综合法？ 明方法？什么是比较法？什么是综合法？ ［问题 2］能否用比较法或综合法证明不等式 ］ ：
关于分析法
①从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充 从求证的不等式出发， 分条件，直至所需条件被确认成立， 分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不 等式成立，这种证明方法就是分析法 分析法． 等式成立，这种证明方法就是分析法． 有时， 有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成 逐步推出一个已知成立的不等式， 立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出 过程中的每一步都是可以逆推 每一步都是可以逆推的 过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所 给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“ 给的不等式成立．这也是用分析法，注意应强调“以 上每一步都可逆” 并说出可逆的根据． 上每一步都可逆”，并说出可逆的根据． 分析法的思路是“执果导因” ②分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式出 发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式 它与综合法是对立统一的两种方法． ．它与综合法是对立统一的两种方法．
例题示范、 例题示范、学会应用
求证 2 + பைடு நூலகம் 3 + 6 7
证明：因为 2 + 7和 3 + 6都是正数，所以要证 2+ 〈 3+ 6 7
只需证
展开得
只需证
2 2 （ 2 + 7） 〈（ 3 + 6）
9 + 2 14 9 + 2 18 〈
14 18 〈
只需证
14 18 〈
因为14 18成立，所以 2 + 〈 3 + 6。 〈 7
练习
1.求证 求证 2.求证： 求证： 求证
3.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管 证明：通过水管放水，当流速相同时， 证明 截面（指横截面，下同）的周长相等， 截面（指横截面，下同）的周长相等，那么截面是 圆的水管比截面是正方形的水管流量大． 圆的水管比截面是正方形的水管流量大．
1．思考题：若 ．思考题：