以南京大学的自主招生试题为例谈一类不等式的证明
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
能 找 刽常 数 ， ｕ使 不 等 式 ／（ ） ｘ＋ 怛 成 立 ， 则 ≥２
２０ 年南京大学 自 ０８ 主招生考试第二大题为： 设 ａ ｂ ｃ 为 正 数 ， 且 口 ＋ ＝１ ， 求 ，， ＋ｂ ｃ
ｆ ａ ≥２ ＋ ， （） ｂ ∥ ， ／ ≥２ ＋ ｔ （） ａ ６ ≥２ ＋ ） ｃ Ｉ ，相 加 得 ｆ ａ ＋厂 ６ ＋ （） （ ＋ ＋ｃ＋３ （） ＿ ） ／ ｃ ≥ 口 ６ ） ：五＋ ． （ ３
参考 文献 【］ 卫 东 ， 凤 ．圆系方来自百度文库 法释 疑 【 ．中小 学数 学 （ 中版 ） ２ ０ （） １ 高 乔 Ｊ 】 高 ， ０９ ５ ，
３ － ９ ４ｌ
整 理 得 ， （ ＋ ＋ ＋ ＋ （ ＋ ２） ｃ ｑ ） ｋＧｘ ｅｙ ＋ ＝０
（ ，接下来求常数 ｃ 料） ， 由 于 点 （ Ｙ）在 圆 Ｃ 与 直 线 上 ， 满 足 ，１ ｌ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 与 ４ｘ＋ ２￣ ： ． ０ ，ｅ ＋ ｙ ０ 又 点 Ａ也 在 圆 ｃ 上 ，所 以满 足（ 式 ， ２ ¨）
．
２ ２ ） ， － ｘ ￣＝—ｘ １ （ ５ ｘ＋９ （） ２ － （ ３ ）ｘ ＋ ４
－
—
—
．
下
当Ｘ （ ， 时，Ｘ ＋ ４ ＋ 恒大于零， ∈０ Ｉ ） 。 ５ｘ ９
所 以当 ＝
成 立 ，所 以
口 ＋ ，
面证：＋ （ 来明（ ６ 口 ＋
把 上式改 写为
（ ） ６４ ，６ ２ ，４ — ７ １
［］ 维 勇 ． 用 圆系方 程简 化解题 过 程［］ ３谢 巧 Ｊ．中学教 研 （ 数学 ） ２ ０ ４ ， 。 ０ ８（）
】 ．９ ８１
以南京大学 的 自主招生试题为例谈 一类不等 式的证 明
陆建 根
１ 引例 ．
江 苏省镇 江 中学 （ １ ０ ７ ２ ２ １）
（ ） ＋ 口 ＋ ） ＋ 口 ＋ ｚ （ ｚ …＋（ ＋ ） 的 最 小 值 为 ｚ
ａｌ ０２ “
若 能 使 ＋ ｐ＝０，即 ：一 ，则 问 题 就 解 决 ３ ３ 了 ．下面 我们来 寻 找满足 上 述条件 的 常数 ， ∥ ．
Ｘ－， －（ － Ｉ ＋ ． Ｉ
＋ ＋ 。
一
）０ ２０ ． 了 １
Ｈ ＋ ≥ 。，
一 时
ｘ ￣＞０ － ｔ 恒
构造 函数 ／ ： ＋ ： ０， ∈ ０ １ ，如 果 （） ）一１ （ ，） ０
６＋
，
２ １ 年第 ３ ０１ 期
福建中学数学
４ １
） ＞－
，
：
＝ 一
（ ＋ ｌ＋ ， ｅ ｊ＋ （ ｌ ｅＹ） ＝ Ｙ ４ｘ ＋ ｊ ） 尼 ＋ ２｝＋ｃ ０， ｙ
推 得 ＝ ＋ ．
整 理（ ） ， 到 （ ＋ ｄｘ ｅ ） ｋＧｘ ２） 式 得 Ｙ ＋ ｌ ＋ ， ＋ （ ＋ｅ ｙ Ｙ 十 ＋ ） （ ＝０，推 得
【］ ２马健 ．圆 系方 程 中圆 的存在 性 、性 质及 应用 ［ ．数 学教 学通 讯 ，２ １ Ｊ ］ ００
（ｘ ） ３ ＋Ｘ 一 ７ 一 ） ９ ｘ】 ３ 一１ （ ［ ２ ｘ ９ ＋ ｐ
— — — — — — — — 一 ’
要使 上 式 当 ∈ ０ １ 时 大于 等 于 零 恒成 立 ，则 （ ，）
３３ Ｘ － ７ － ＋ ｕ ２ Ｘ ＋ ｚ ２Ｘ ９ ９ ｘ 中必含因子 ３ 一 ， １ 把 ＝１ ｊ 代
（ ）６）ｃ）最值 ＋ ＋ 的 、 ＋ ＋ （ ． （ ＋
该 题 是 不等 式 的一 个 常 见 问题 ，可 以用基 本不 等 式 或 柯 西 不 等 式 求 解 ，还 可 以推 广 为 ： ａ，２ ．ａ 为 正 数 ， ａ＋ ＋…＋ ：１ 求 证 ｌ０ … ，ｎ均 ｝ ，
福建中学数学
推得 Ｄ（下 ＋ｋ２ ２一 ￣ ｄ ｄ
２ １ 年第 ３ ０１ 期
， 一
堕）
（ ＋Ｙ ＋ｄｘ ｔ ） ｄｘ ｅＹ ） Ｉ＋ｅ Ｙ＋ ＋ （ ２ ＋ ２ ＋ ＝０，
，
故 圆 ｃ 的方程 可表 为 ２
＋ ｄ ＋ｋ ２ ＋ ｅ＋七 ＋ ＝０， Ｙ ＋（ｌ ｄ ） （ｌ ） ｃ ｘ
０，
＋ 的上方， 而直线 ＝ 一
＋ ６ 恰为 了０ １
厂 口 ＋ ６ ＋ ｃ 一１ 【 ＋６ ｃ ＋１ ０ （） ／（） （） — ０． ６ 口 ＋ ） ６
曲 ＝ （ 在点ｆ，Ｉ 切线． 我们 不 线Ｙ 厂 ） ０处的 １ 所以 可以
必 用 待 定系 数 法 来寻 找 常 数 ， ，而 可 以直 接 求
结论 得证 ．
本文 主 要 讨论 了圆 系 方程 及 其推 导 ，该 方法 可
以引伸到其它二次曲线 中——如过两个二次曲线所 有交点的二次曲线 ，其 方程可以设成这两个二次曲 线 方程 的线 性 组 合 ．经 验 告 诉 我们 ，在 尽 可 能 的情 况下 ，转化为曲线与直线 的组合更为筒捷一些．
出函数在 Ｘ ０， 时 的切 线 ，只 要再 加 以验 证 即可 ． ∈（ １ ）
即 （ ＋ ６ １ ＋ ｃ ） ≥１０ 口 ）＋（＋＿ （ ＋ 。 ） ０
，
当 且 仅 当
：
６ ： 时取得 最小 值 ０ ： １ ０
．
２ ．待定系数法的应用 以上 方法并 不一 定 限于条 件 ａ ｂ ｃ ， 它情 ＋ ＋ ＝１ 其
况可 以通过 调整 函数 来解 决 问题 ．
本文用构造 函数 ，进一步寻找函数切线的方法 来求解，并例谈该方法在解决一类不等式时的运用． 解 由于 所要求解的代数式关于 口 ｂ ｃ ， ， 轮换 对
称 ，所以猜 想 ，当 口：６ － 时取得 最小 值 ０ ＝Ｃ ： １ ０
．
入得 ＝１０ 再 把 ： 代 入 上式整 理得 了 ６
２０ 年南京大学 自 ０８ 主招生考试第二大题为： 设 ａ ｂ ｃ 为 正 数 ， 且 口 ＋ ＝１ ， 求 ，， ＋ｂ ｃ
ｆ ａ ≥２ ＋ ， （） ｂ ∥ ， ／ ≥２ ＋ ｔ （） ａ ６ ≥２ ＋ ） ｃ Ｉ ，相 加 得 ｆ ａ ＋厂 ６ ＋ （） （ ＋ ＋ｃ＋３ （） ＿ ） ／ ｃ ≥ 口 ６ ） ：五＋ ． （ ３
参考 文献 【］ 卫 东 ， 凤 ．圆系方来自百度文库 法释 疑 【 ．中小 学数 学 （ 中版 ） ２ ０ （） １ 高 乔 Ｊ 】 高 ， ０９ ５ ，
３ － ９ ４ｌ
整 理 得 ， （ ＋ ＋ ＋ ＋ （ ＋ ２） ｃ ｑ ） ｋＧｘ ｅｙ ＋ ＝０
（ ，接下来求常数 ｃ 料） ， 由 于 点 （ Ｙ）在 圆 Ｃ 与 直 线 上 ， 满 足 ，１ ｌ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 与 ４ｘ＋ ２￣ ： ． ０ ，ｅ ＋ ｙ ０ 又 点 Ａ也 在 圆 ｃ 上 ，所 以满 足（ 式 ， ２ ¨）
．
２ ２ ） ， － ｘ ￣＝—ｘ １ （ ５ ｘ＋９ （） ２ － （ ３ ）ｘ ＋ ４
－
—
—
．
下
当Ｘ （ ， 时，Ｘ ＋ ４ ＋ 恒大于零， ∈０ Ｉ ） 。 ５ｘ ９
所 以当 ＝
成 立 ，所 以
口 ＋ ，
面证：＋ （ 来明（ ６ 口 ＋
把 上式改 写为
（ ） ６４ ，６ ２ ，４ — ７ １
［］ 维 勇 ． 用 圆系方 程简 化解题 过 程［］ ３谢 巧 Ｊ．中学教 研 （ 数学 ） ２ ０ ４ ， 。 ０ ８（）
】 ．９ ８１
以南京大学 的 自主招生试题为例谈 一类不等 式的证 明
陆建 根
１ 引例 ．
江 苏省镇 江 中学 （ １ ０ ７ ２ ２ １）
（ ） ＋ 口 ＋ ） ＋ 口 ＋ ｚ （ ｚ …＋（ ＋ ） 的 最 小 值 为 ｚ
ａｌ ０２ “
若 能 使 ＋ ｐ＝０，即 ：一 ，则 问 题 就 解 决 ３ ３ 了 ．下面 我们来 寻 找满足 上 述条件 的 常数 ， ∥ ．
Ｘ－， －（ － Ｉ ＋ ． Ｉ
＋ ＋ 。
一
）０ ２０ ． 了 １
Ｈ ＋ ≥ 。，
一 时
ｘ ￣＞０ － ｔ 恒
构造 函数 ／ ： ＋ ： ０， ∈ ０ １ ，如 果 （） ）一１ （ ，） ０
６＋
，
２ １ 年第 ３ ０１ 期
福建中学数学
４ １
） ＞－
，
：
＝ 一
（ ＋ ｌ＋ ， ｅ ｊ＋ （ ｌ ｅＹ） ＝ Ｙ ４ｘ ＋ ｊ ） 尼 ＋ ２｝＋ｃ ０， ｙ
推 得 ＝ ＋ ．
整 理（ ） ， 到 （ ＋ ｄｘ ｅ ） ｋＧｘ ２） 式 得 Ｙ ＋ ｌ ＋ ， ＋ （ ＋ｅ ｙ Ｙ 十 ＋ ） （ ＝０，推 得
【］ ２马健 ．圆 系方 程 中圆 的存在 性 、性 质及 应用 ［ ．数 学教 学通 讯 ，２ １ Ｊ ］ ００
（ｘ ） ３ ＋Ｘ 一 ７ 一 ） ９ ｘ】 ３ 一１ （ ［ ２ ｘ ９ ＋ ｐ
— — — — — — — — 一 ’
要使 上 式 当 ∈ ０ １ 时 大于 等 于 零 恒成 立 ，则 （ ，）
３３ Ｘ － ７ － ＋ ｕ ２ Ｘ ＋ ｚ ２Ｘ ９ ９ ｘ 中必含因子 ３ 一 ， １ 把 ＝１ ｊ 代
（ ）６）ｃ）最值 ＋ ＋ 的 、 ＋ ＋ （ ． （ ＋
该 题 是 不等 式 的一 个 常 见 问题 ，可 以用基 本不 等 式 或 柯 西 不 等 式 求 解 ，还 可 以推 广 为 ： ａ，２ ．ａ 为 正 数 ， ａ＋ ＋…＋ ：１ 求 证 ｌ０ … ，ｎ均 ｝ ，
福建中学数学
推得 Ｄ（下 ＋ｋ２ ２一 ￣ ｄ ｄ
２ １ 年第 ３ ０１ 期
， 一
堕）
（ ＋Ｙ ＋ｄｘ ｔ ） ｄｘ ｅＹ ） Ｉ＋ｅ Ｙ＋ ＋ （ ２ ＋ ２ ＋ ＝０，
，
故 圆 ｃ 的方程 可表 为 ２
＋ ｄ ＋ｋ ２ ＋ ｅ＋七 ＋ ＝０， Ｙ ＋（ｌ ｄ ） （ｌ ） ｃ ｘ
０，
＋ 的上方， 而直线 ＝ 一
＋ ６ 恰为 了０ １
厂 口 ＋ ６ ＋ ｃ 一１ 【 ＋６ ｃ ＋１ ０ （） ／（） （） — ０． ６ 口 ＋ ） ６
曲 ＝ （ 在点ｆ，Ｉ 切线． 我们 不 线Ｙ 厂 ） ０处的 １ 所以 可以
必 用 待 定系 数 法 来寻 找 常 数 ， ，而 可 以直 接 求
结论 得证 ．
本文 主 要 讨论 了圆 系 方程 及 其推 导 ，该 方法 可
以引伸到其它二次曲线 中——如过两个二次曲线所 有交点的二次曲线 ，其 方程可以设成这两个二次曲 线 方程 的线 性 组 合 ．经 验 告 诉 我们 ，在 尽 可 能 的情 况下 ，转化为曲线与直线 的组合更为筒捷一些．
出函数在 Ｘ ０， 时 的切 线 ，只 要再 加 以验 证 即可 ． ∈（ １ ）
即 （ ＋ ６ １ ＋ ｃ ） ≥１０ 口 ）＋（＋＿ （ ＋ 。 ） ０
，
当 且 仅 当
：
６ ： 时取得 最小 值 ０ ： １ ０
．
２ ．待定系数法的应用 以上 方法并 不一 定 限于条 件 ａ ｂ ｃ ， 它情 ＋ ＋ ＝１ 其
况可 以通过 调整 函数 来解 决 问题 ．
本文用构造 函数 ，进一步寻找函数切线的方法 来求解，并例谈该方法在解决一类不等式时的运用． 解 由于 所要求解的代数式关于 口 ｂ ｃ ， ， 轮换 对
称 ，所以猜 想 ，当 口：６ － 时取得 最小 值 ０ ＝Ｃ ： １ ０
．
入得 ＝１０ 再 把 ： 代 入 上式整 理得 了 ６