西安交通大学医用物理学ch7-1-5静电场

1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面. 3）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负. 4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 5）静电场是有源场.
讨论
将q2从 A移到 B
点P 电场强度是否变化？
穿过高斯面s 的Φe有否变化？
q2 A P*
s
q1
q2 B
r
1
l 2
2
r
1
l 2
2
v i
2qrl
v
i
4 0 r
4
1
l 2r
2
1
l 2r
2
因为 lr,且P
ql
qli, 所以得
EA
1
4 0
2ql r3
i
1
4 0
2P r3
2求EB
:
q和
q在B点产生的场强E和E
分别为
E
y
EB • B
E
r
θl
l
r
E
EA
•
E
Ax
侧
侧
根据高斯定理 E 2πrl l / 0
E
2π 0r
r dS
r E
l
E r
例6 求无限大均匀带电薄板的场强分布，设电荷面密度为σ。
解：由对称性分析，平板两侧离
该板等距离处场强大小相等，方
向均垂直平板。
S
取一轴垂直带电平面，高为 2 r
的圆柱面为高斯面，通过它的电 E
通量为
r
r
S
S
P
E
求 电场强度分布 解 电场分布具有轴对称性
例5 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+
求 电场强度分布
解 电场分布具有轴对称性 , 以高为l
r
的同轴圆柱面为高斯面，电通量
rr
e ÑS E dS rr rr
r r nv
E dS E dS E dS
侧
上底
下底
EdS E dS E 2πrl
Ex
e
E dS
S
E dS
S侧面
E dS 2ES
S两底
x
O
S 内包围的电荷为
q内 S
由高斯定理 2ES S
0
S
所以得
E 20
E
r
r
S
当 0时，Ev的方向垂直平板指向外； 当 0时，Ev的方向垂直平板指向平板。
vv • 库仑力遵守牛顿第三定律。 F12 F21
4、静电力的叠加原理：
作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作
用于该电荷的静电力的矢量和。
离散状态
N
F Fi
i 1
Fi
qqi
4 0ri 2
ri 0
F
F2
r10 q
F1
q1
q2 r20
连续分布 F dF
qdq
dF 4 0r 2 r0
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
4
Q 0r
2
电场分布曲线如图
+
+R
+
+
+
+
结果表明，均匀带电球面 E
内部的场强处处为零；球
E 1
面外的场强分布，好像球
r2
面上的电荷都集中在球心
E=0
时形成的点电荷产生的场
强分布一样。
O
r
例4 均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为
求 电场强度分布
2
1E P; 2E r 3
例2 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为
0 sin ，式中 0 为一常数， φ为半径R与x轴
所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度。
解：如图，
dE
dl 40 R2
0 sin d 40 R
dEx dE cos dEy dE sin
考虑到对称性，有： Ex 0
E Ei
i
强的矢量和。 ——场强叠加原理
电荷连续分布情况
v Байду номын сангаасE
4
1
π 0
dq r2
rv0
v
E
v dE
dq rv0
4 π0 r 2
qdq
r
P
dE
电荷体密度
点 P处电场强度
dq dq dV
dV
v
E
V
dV 4 π0
rv0 r2
电荷面密度 dq
ds
v
E
S
4
1
π 0
σrv0 r2
§7-2 高斯定理（Gauss theorem)
一、电场线
1.规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小.
E E dN / dS
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)，终止于负电荷，
不会在没有电荷处中断； 2)两条电力线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。 4)电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。
产生的电场。
二、电场强度 (electric field strength)
• 描述电场性质的物理量之一，反映力的作用。
• 引入试验电荷 q0 —— 点电荷（电量足够小，不影响原
电场分布;线度足够小。）
1. 定义：
电场强度
F E
q0
q0
F
q
试验
场源
电荷
电荷
单位：牛顿/库仑 或伏特/米
电场中某点的电场强度，其大小等于单位电荷放在该 处所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受电场 力的方向一致。
2. 点电荷电场：
根据库仑定律，有
E
P
v F
1
40
qq0 r3
rv0
1
40
qq0 r2
rv0
r
+q
式中rv0为q指向场点P的单位矢径。
-q
q0
r
P q0 E
根据E的定义 , 得
v
v E
F q0
1
40
q r2
rv0
当q0时, E与r同向； 当q0时, E与r反向。 （呈球对称分布）
三、电场强度叠加原理
2、库仑定律的数学表达式： r
F
k
q1q2 r2
rˆ
q1
F q2
3、讨论：
• 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。
• 库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。 • 比例系数k可以表示为：
k 1
4 0
即： 0
1
4 k
8.851012
c2 m2N
这里ε0称为真空中的介电常数。 • 实验发现：在10-15米至103米范围内库仑定律都成立。这 表明库仑力是长程力。
+
几 种
-
电
荷
分
布
的
+
电
力 线
+
图
+
-
带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
二、电通量（electric flux)
1、定义：垂直穿过某一有向曲面的电场线条数，用Φe表示。 2、电场强度通量的计算公式：
S n
E
e ES cos E • S
均匀电场，S 法线方向与
电场强度方向成角
取过场点的 以球心 o 为心的球面
先从高斯定理等式的左方入手
Q
Ro
r
P
E
S
dS
先计算高斯面的电通量
E dS EdS E dS
E4 r 2
S
S
S
E dS E4 r 2
S
再根据高斯定理解方程
Q P
Ro r
E
S
dS
E 4 r 1
0
i
qi
E
1
40r 2
i
qi
过场点的高斯面内电量代数和?
1
q
E
4 0
r2
l 2
2
1
q
E
4 0
r2
l 2
2
（方向如图）
v
EB E cos E cos i 2Ex 2E cos
1
40
r2
q
l
2
2
由于 rl 得
r2
l
l 2 2
v i
40
ql
r2
l2 4
3
2
v i
EB
ql
4 0r 3
i
P
4 0r 3
cos
l/2
r2
l 2
2、电荷的种类：正电荷和负电荷；
3、电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。
4、电量的单位：C（库仑） 1库仑 1安培1秒钟
5、电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子 电量的正负整数倍。
q Ne e 1.6021019C
二、电荷守恒定律
电荷守恒定律的表述： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物
E
dEy
dE sin 0 sin2 d 0 0 40R 40R
(1 cos 2)d 0
0
2
80R
方向沿Y轴负向。
解题思路：
(1) 选取 dq
(dl,
ds,
dV )
v 确定 dE
(2)
建立恰当的坐标系，将
v dE
投影，写出
dEx
,
dEy ,
dEz
(3) 统一变量，计算积分
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
解
r E
沿球面法线方向。取同心球面
为高斯面，电通量为
Ñ r E
r dS
E4π
r2
q内
0
• 球外( r > R )
q内
4 3
πR3
E
30
R3 r2
• 球内 ( r < R )
q内
4 3
πr 3
E r
30
r+
++r+
+ +
R+++
E
E 1
r2
R
O
r
电场分布曲线
例5 “无限长” 均匀带电直线，电荷线密度为+
§7-1 电场 电场强度
一、电场（electric field)
实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，
但其相互作用是怎样实现的？
电荷
电场
电荷
场 实物
物质
场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。
电场可以脱离电荷而独立存在，在空间具可叠加性。 电场对场中电荷施以电场力作用。 静电场——相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷
Φe
E dS
S
E cosdS
S
E
dS
S
E
规定：法线的正方向为指向 闭合曲面的外侧。
三、高斯定理（Gauss theorem)
1. 内容：
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,等
于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0.
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
Φe
E dS
1
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
i
s qi
i(内）S Ei dS i（外） S Ei dS
i（外） S Ei dS 0
Φe
i（内）
S
Ei dS
1
0
qi
i (内）
E
dS
高斯定理
1n
Φe
E dS
S
0
qi
i 1
总结
e de E cos dS
Sv E
v dS
Sv
E
dSnv
S
S
电场不均匀，
S为任意曲面
通量有正负之分！
•θ小于90度，即电场线顺着法向穿过曲面，通量为正； •θ等于90度，即电场线顺着平面，通量为零； •θ大于90度，即电场线逆着法向穿过曲面，通量为负；
闭合曲面的电场强度通量
dΦe E dS
在点电荷 q 和 q的静电场中，做
如下的三个闭合面 S1, S2 , S3 ,求通过各
闭合面的电通量 .
Φe1
E dS
q
S1
0
Φe2 0
Φe3
q
0
q
q
S1
S2 S3
四、高斯定理的应用
例3 均匀带电球面 总电量为Q 半径为R 求：电场强度分布
解: 根据电荷分布的对称性， 选取合适的高斯面(闭合面)
第七章 静电场
本章教学基本要求
一、掌握描述静电场的两个物理量——电场强度 E和电势U的概念，
二、理解静电场两条基本规律——高斯定理及静 电场的环路定理
三、掌握电场强度与电势梯度的关系
四、掌握计算电场强度和电势的基本方法
五、理解静电场与电介质之间的相互作用
静电的基本现象和基本规律：
一、两种电荷
1、定义：带电的物体叫电荷。 （或能够参与电磁相互作用的物体）
点电荷 q对i 的q0作用力
Fi
1
4π 0
qi q0 ri3
ri
由力的叠加原理得q0所受合力
q1
q2 q3
r2
r1 r3
q0
F Fi
F3
F2 F1
i
故q0处总电场强度
E
F Fi
q0 i q0
点电荷系在某点产生的场 强，等于各点电荷单独存 在时在该点分别产生的场
电场强度的叠加原理
S
0
n
qi
i1
请思考：1）高斯面上的E与那些电荷有关 ？
2）哪些电荷对闭合曲面s 的Φe有贡献 ？
2. 推证：
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
4π
q
0r 2
Φe
E dS
S
S
4π
q
0r2
dS
r
dS
+
Φe
q
0
点电荷在任意封闭曲面内
dΦe
4π
q
0r2
ds
电荷线密度 dq
dl
v
E
l
4
1
π 0
rv0
r2
dl
q ds
r
P
dE
dl
q
r
dE
P
例1 求电偶极子连线上一点A 和中垂线上一点B 的场强。
解：两个相距为 l 的等量异号点电荷 +q 和 -q 组成的点电荷
系，当讨论的场点到两点电荷连线中点的距离远大于 l 时，称
这一带电系统为电偶极子。
体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分 ，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。
Qi c
电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律